高等數(shù)學(xué)第八章空間曲線第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六基本練習(xí)：

能繪出常見(jiàn)曲面（球面、錐面、柱面，平面等）相交構(gòu)成的曲線的圖形,會(huì)求交線在坐標(biāo)面上的投影。應(yīng)注意的事項(xiàng)：

繪出常見(jiàn)曲面（球面、錐面、柱面，平面等）相交構(gòu)成的曲線的圖形，求交線在坐標(biāo)面上的投影（求以交線為準(zhǔn)線的投影柱面）是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，從本節(jié)開(kāi)始到本章第七節(jié)都應(yīng)注意進(jìn)行這方面的練習(xí)。第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

特點(diǎn)：

曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如,方程組表示怎樣的曲線？

C第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線L上的動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):稱(chēng)它為空間曲線的參數(shù)方程.

當(dāng)給定t時(shí)，就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)；隨著參數(shù)的變化，可得到曲線L上全部的點(diǎn)。第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六上升高度例1

如果空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度ω繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中ω、ν都是常數(shù)),那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線.試建立其參數(shù)方程.解：取時(shí)間t為參數(shù)，動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，M點(diǎn)在xoy面上的投影為M’

稱(chēng)為螺距

.第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線L為準(zhǔn)線，母線垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：注意：曲線L上的所有點(diǎn)都在該柱面上。

投影柱面與xoy面的交線稱(chēng)為曲線L在xoy面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)投影。三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)空間曲線L

的一般方程為消去

z

得投影柱面則L

在xoy面上的投影曲線L′為消去x得L

在yoz

面上的投影曲線方程消去y得L

在zox面上的投影曲線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六如圖:投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線投影曲線投影柱面第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）確定投影柱面與xoy面的交線在xoy

面上的投影曲線方程的一般步驟（1）消去變量z后得xoy面上的投影柱面：求空間曲線：即為所求投影曲線的方程第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例3求在xoy面上的投影曲線方程。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:先從兩方程消去z，可得交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程（母線平行于z軸）為：故C在xoy面上的投影曲線方程為第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例4

求曲線L在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影。第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例4

求曲線L在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得L在面上的投影為第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例4

求曲線L在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影。解（2）因?yàn)榍€在平面上，所以在yoz

面上的投影為線段.（3）同理在xoz

面上的投影也為線段.第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5所圍的立體在xoy

面上的投影。求上半球面和錐面C在xoy面上的投影曲線解：半球面和錐面的交線為所求立體在xoy面上的投影為圓域:交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注：所求投影區(qū)域?yàn)?C從方程組中消去z，可得交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程為第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六截線方程為解第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六截線方程為解第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六補(bǔ)充:空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六空間曲線的一般方程、參數(shù)方程．四、小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影．第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面的交線在

xoy平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為此曲線在xoy面上的投影曲線方程為,它與所給平面的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束畫(huà)出下列曲線的圖形：第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返