§13.5數(shù)學歸納法要點梳理1.歸納法由一系列有限的特殊事例得出

的推理方法叫歸納法.根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為

歸納法和

歸納法.一般結論完全不完全基礎知識自主學習2.數(shù)學歸納法(1)數(shù)學歸納法：設{Pn}是一個與正整數(shù)相關的命題集合，如果①證明起始命題P1（或P0)成立；②在假設Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立.(2)數(shù)學歸納法證題的步驟①(歸納奠基)證明當n取第一個值

時,命題成立.②(歸納遞推）假設

(k≥n0,k∈N+)時命題成立，證明當

時命題也成立.只要完成這兩個步驟就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.n=n0n=kn=k+1基礎自測1.用數(shù)學歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1(a≠1)”在驗證n=1時，左端計算所得的項為()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3C2.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為條時，第一步檢驗第一個值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.C3.如果命題p(n)對n=k成立，則它對n=k+2也成立.若p(n)對n=2成立，則下列結論正確的是()A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立C.p(n)對所有正奇數(shù)n都成立D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立解析歸納奠基是：n=2成立.歸納遞推是：n=k成立，則對n=k+2成立.∴p（n）對所有正偶數(shù)n都成立.B4.某個命題與自然數(shù)n有關，若n=k(k∈N+)時命題成立，那么可推得當n=k+1時該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得()A.n=6時該命題不成立B.n=6時該命題成立C.n=4時該命題不成立D.n=4時該命題成立

解析方法一由n=k(k∈N+)成立,可推得當

n=k+1時該命題也成立.因而若n=4成立，必有

n=5成立.現(xiàn)知n=5不成立，所以n=4一定不成立.

方法二其逆否命題“若當n=k+1時該命題不成立，則當n=k時也不成立”為真，故“n=5時不成立”“n=4時不成立”.C5.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當

n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2解析∵當n=k時，左邊=1+2+3+…+k2，當n=k+1時，左邊=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2，∴當n=k+1時，左端應在n=k的基礎上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2.C題型一用數(shù)學歸納法證明等式用數(shù)學歸納法證明:對任意的n∈N+,

用數(shù)學歸納法證明的步驟為：①歸納奠基：驗證當n=1時結論成立；②歸納遞推：假設當n=k（k∈N+）時成立，推出當n=k+1時結論也成立.題型分類深度剖析證明

所以等式成立.(2)假設當n=k(k∈N+)時等式成立,即有所以層當n=k+1時,等式格也成摟立.由（1）（2）可惹知,對一送切n∈N+等式米都成找立.用數(shù)逐學歸質(zhì)納法爸證明輸與正凈整數(shù)嗓有關顆的一些等間式時終，關無鍵在味于“灣先看仍項”眉，弄鬼清等箭式兩外邊的構欺成規(guī)壺律，洞等式妹的兩解邊各包有多挎少項依，項類的多生少與n的取湯值是姿否有矮關，訪由n=k到n=k+1時等遭式的知兩邊戰(zhàn)變化的哄項，逗然后職正確適寫出桌歸納姻證明結的步梅驟，卷使問巴題得以壤證明.知能來遷移1用數(shù)化學歸桃納法泄證明羊：證明（1）當n=1時，癢等式同左邊等式接右邊幻玉所以齡等式陵成立.（2）假拳設n=k（k∈N+）時鑄等式承成立艙，那么飲當n=k+1時，即n=k+1時等孕式成突立.由（1）（2）可細知，奧對任澡意n∈N+等式嫌均成執(zhí)立.題型顏二賊用漏數(shù)學過歸納筑法證棟明整叛除問拿題用數(shù)犯學歸掌納法兩證明an+1+(a+1宋)2n-1(n∈N+）能被a2+a+1整除.解（1）當n=1時，a2+(a+1憑)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假共設n=k(k∈N+)時，ak+1+(a+1丘)2k-1能被a2+a+1整除鏈，驗證n=1時命短題是外否成蹦立假設n=k時命石題成刪立推證n=k+1時命溪題成閑立得結拾論則當n=k+1時，ak+2+(a+1元)2k+1=a·ak+1+(a+1侮)2(a+1紀)2k-1=a·ak+1+a·(a+1俱)2k-1+(a2+a+1注)(a+1直)2k-1=a［ak+1+(a+1待)2k-1］+(a2+a+1追)(a+1呼)2k-1,由假披設可謙知a［ak+1+(a+1稀)2k-1］能伏被a2+a+1整除教，(a2+a+1當)(a+1狡)2k-1也能便被a2+a+1整除站，∴ak+2+（a+1）2k+1也能鑼被a2+a+1整除援，即n=k+1時命兄題也貿(mào)成立棍，∴對備任意n∈N+原命汽題成毛立.證明趙整除公問題左的關佛鍵是謀“湊訂項”掘，而采用歷增項作、減摧項、恥拆項惹和因屯式分款解等色手段仆，湊巨出n=k時的克情形孔，從街而利源用歸荷納假道設使倡問題昂獲證.知能導遷移2求證喜：（3n+1）×7n-1眠(n∈N+)能被9整除.證明(1削)當n=1時,(3n+1跡)×化7n-1萌=2鎖7能被9整除.(2究)假設n=k(k∈N+)時命先題成單立，邁即(3k+1亭)×溪7k-1能被9整除裹，那么n=k+1時：［3(k+1估)+車1］×7k+1-1駕=［(3k+1另)+酒3］×(象1+菌6)使7k-1=(3k+1寺)7k-1蘿+(川3k+1諷)×捆6×躺7k+2膀1×去7k=［(3k+1諒)7k-1］+3k×6敘×7k+(減6+雷21塊)×賤7k.以上壩三項葵均能羞被9整除.則由閘（1）（2）可證知，出命題固對任朗意n∈N+都成皆立.題型肯三腹用段數(shù)學闊歸納服法證很明不勤等式用數(shù)閘學歸彼納法陪證明禽：對失一切寸大于1的自墾然數(shù)，秋不等句式均成剃立.應注某意到燭題目遍條件團，第揮一步間應驗牢證n=2時不氏等式爆成立.證明（1）當n=2時，極左邊∵左渠邊>右邊齒，∴感不等父式成鞏立.（2）假異設n=k(k≥2噴,且k∈N+)時不藝等式屈成立包，則當n=k+1時，∴當n=k+1時，駕不等隙式也汗成立.由（1）（2）知裙，對乖于一森切大意于1的自穗然數(shù)n,不等式都互成立.在由n=k到n=k+1的推盆證過插程中得，應移用放縮技洲巧，坡使問貸題得剝以簡南化.用數(shù)悟學歸桂納法蘇證明倍不等式問殼題時火，從n=k到n=k+1的推祖證過插程中春，證冒明不尖等式的宋常用陶方法剩有比揮較法憂、分背析法留、綜膊合法歪、放弊縮法等.知能境遷移3已知腰函數(shù)f(x)=x-s粘inx,數(shù)列{an}滿足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1瞎,2拾,3棚,…拋.證明:(1覆)0<an+1<an<1澆,(記2)證明(1牙)先用堤數(shù)學殲歸納罵法證稀明0<an<1遠,n=1眼,2脖,3最,…壁.(ⅰ保)當n=1時，丸由已報知結母論成欠立.(ⅱ變)假設桃當n=k(k∈N+)時結閘論成扣立，邀即0<ak<1仁.因為0<x<1時，f′(x)=瞞1-co曬sx>0精,所以f(x)在(0腔,1馳)上是糠增函棉數(shù).又f(x)在［0，1］上嚼連續(xù)帽，從而f(0藝)<f(ak)<f(1食),即0<ak+1<1航-s雁in綢1令<1叼.故當n=k+1時，巴結論嚷成立.由(ⅰ刪)(摔ⅱ)可知想，0<an<1對一怠切正膀整數(shù)限都成壤立.又因闊為0<an<1時，an+1-an=an-s辮inan-an=-難si舉nan<0摩,所以an+1<an.綜上花所述,0虎<an+1<an<1蠶.（2）設足函數(shù)g(x)=釋si池nx-x+由（1）知暫，當0<x<1時，si機nx<x.從而g′(x)=所以g(x)在（0，1）上饞是增潔函數(shù).又g(x)在［0，1］上斧連續(xù)匹，且g(0快)=剖0，所以糟當0<x<1時，g(x)>僚0成立.于是g(an)>惜0,即題型任四與歸逆納、億猜想除、證墨明（12分）柿已知慶等差挎數(shù)列{an}的公略差d大于0,且a2,a5是方小程x2-1立2x+2幻玉7=笨0的兩多根，黎數(shù)列{bn}的前n項和傾為Tn，且（1）求但數(shù)列{an}、{bn}的通露項公朗式；（2）設校數(shù)列{an}的前n項和英為Sn，試依比較挑與Sn+1的大毛小，惰并說票明理賽由.(1魂)由a2、a5是方被程的前根，棄求出an，再由傘求圖出bn.(2躺)先猜趙想光與Sn+1的大奸小關械系，暖再用呼數(shù)學螞歸納法證鞠明.解又∵{an}的公偶差大計于0，∴a5>a2,∴a2=3旋,a5=9判.5分6分下面失用數(shù)伸學歸蓬納法喜證明并：①當n=4時，粱已證.9分=(k2+4k+4抗)+貼2k2+2k-1蝴>［(k+1換)+蜓1］2=S(k+1顏)+勿1,11分12分（1）歸艱納——猜想——證明桌是高命考重舅點考查流的內(nèi)健容之宮一，容此類惜問題悶可分快為歸恒納性遺問題纖和存在際性問錫題，架本例荷中歸跪納性僻問題霞需要捏從特西殊情拋況入手喘，通廣過觀解察、充分析昨、歸促納、擁猜想美，探快索出蟻一般規(guī)掃律.（2）數(shù)劉列是虜定義棗在N+上的繼函數(shù)雙，這扶與數(shù)真學歸姐納法運用線的范學圍是敬一致誓的，掙并且討數(shù)列腳的遞釋推公障式與制歸納原糞理實植質(zhì)上愛是一喝致的碧，數(shù)乖列中斧有不滿少問嶼題常綢用數(shù)學貪歸納鎮(zhèn)法解射決.知能晚遷移4如圖斤所示設，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0<y1<y2<…梢<yn）是拴曲線C：y2=3x（y≥0）上隔的n個點及，點Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的桃正半霞軸上勸，且ΔAi-1AiPi是正三鞠角形屈（A0是坐釀標原曠點）.(1玩)寫出a1、a2、a3；(2厚)求出裝點An（an，0）（n∈N+）的密橫坐飼標an關于n的表箱達式嫩并證豆明.解（1）a1=2喚,a2=6粘,a3=1廟2.(2講)依題隊意，制得即(an-an-1)2=2(an-1+an).由（1）可弱猜想秋：an=n(n+1)嚇(n∈N+).下面糟用數(shù)他學歸曠納法判予以秋證明凡：①當n=1時，性命題喬顯然資成立永；②假東設當n=k(k∈N+)時命傭題成高立,即有an=k(k+1),則當n=k+1時，煉由歸佩納假信設及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得［ak+1-k(k+1)］2=2［k(k+1憤)+ak+1］,即(ak+1)2-2惜(k2+k+1漸)ak+1+［k(k-1接)］·［（k＋1）（k+2）］=0，解之秀得，ak+1=(k+1荒)(k+2臺)(ak+1=k(k-1沿)<ak不合楊題意,舍去)，即霜當n=k+1時，遠命題微成立.由①西②知補，命壟題成鴉立.思想艱方法突感悟熄提高方法粗與技追巧1.利用指數(shù)學概歸納喉法可炮以對世不完勉全歸絮納的導問題同進行嚴格話的證番明.2.利用笨數(shù)學哭歸納腔法可枝以證煤明與疾正整齊數(shù)有庭關的粗等式問題.3.利用堡數(shù)學眼歸納愁法可童以證薦明與輪正整堤數(shù)有餅關的例不等式問帳題.4.利用吸數(shù)學乖歸納即法可兆以證存明整息除問辦題，遠在證且明時常常緊利用抖湊數(shù)盆、湊臺多項飯式等棋恒等刻變形.5.利用刪數(shù)學研歸納瞧法可捎以證描明幾本何問取題.失誤值與防優(yōu)范1.數(shù)學拿歸納舞法僅千適應招于與岡正整其數(shù)有醬關的襯數(shù)學艇命題.2.嚴格究按照地數(shù)學英歸納座法的首三個莊步驟篇書寫拴，特枝別是對初缸始值獅的驗禍證不柏可省宏略，戴有時錦要取析兩個有（或兩個揪以上喪）初弟始值梅進行奪驗證嚷；初繳始值昨的驗豪證是歸納雹假設服的基級礎.3.注意n=k+1時命胡題的灑正確摘性.4.在進蜻行n=k+1命題純證明輝時，菠一定擱要用n=k(k∈N+)時的梯命題絮，沒孫有用禿到該散命題法而推猛理證州明的盛方法不是妥數(shù)學鑰歸納酸法.一、及選擇攀題1.用數(shù)蠅學歸房誠納法岸證明借命題屯“當n是正緞奇數(shù)豆時，xn+yn能被x+y整除葉”，胡在第栽二步想時，滋正確遲的證數(shù)法是(吃)A.假設n=k(k∈N+),證明n=k+1命題章成立B.假設n=k(k是正險奇數(shù))，證永明n=k+1命題繭成立C.假設n=2k+1平(k∈N+)，證大明n=k+1命題競成立D.假設n=k(k是正澇奇數(shù))，證內(nèi)明n=k+2命題殊成立解析A、B、C中，k+1不一棍定表沙示奇習數(shù),只有D中k為奇搜數(shù)，k+2為奇損數(shù).D定時京檢測2.用數(shù)面學歸瓶納法置證明愈“(n∈N+,n>1竭)”時，舟由n=k(k>1誦)不等泡式成效立，推證n=k+1時，與左邊欣應增棉加的漸項數(shù)到是(愧)A.票2k-1B.乳2k-1C.醋2kD.堪2k+1解析增加貞的項候數(shù)為咽（2k+1-1）-(虜2k-1包)=2k+1-2k=2k.C3.對于嶄不等潤式(n∈N+)，某呢同學耕用數(shù)遲學歸晨納法的證悉明過綱程如趣下：（1）當n=1時，省不等克式成挺立.（2）假江設當n=k(k∈N+)時，屈不等孕式成澆立，即淘則當n=k+1時，所以野當n=k+1時，厲不等培式成沙立，佳則上勾述證淺法(似)A.過程次全部罰正確B.n=1驗得焦不正勒確C.歸納努假設耐不正棉確D.從n=k到n=k+1的推賓理不販正確解析在n=k+1時，剖沒有舞應用n=k時的億假設,不是它數(shù)學歸虹納法.D4.用數(shù)腎學歸嗽納法野證明禮“n3+(n+1癢)3+(n+2瞞)3(n∈N+)能被9整除獎”，蟲要利腸用歸痛納假擺設證n=k+1時的絨情況,只需蠻展開(年)A.川(k+3形)3B.筐(k+2導)3C.凡(k+1疾)3D.治(k+1年)3+(k+2局)3解析假設返當n=k時，鞋原式折能被9整除,即k3+(k+1肯)3+(k+2蝦)3能被9整除.當n=k+1時,(k+1賠)3+(k+2攔)3+(k+3叛)3為了姓能用原上面的歸祝納假橫設，姥只需牽將(k+3取)3展開倘，讓點其出驢現(xiàn)k3即可.A5.證明挽當n=2時，左邊棟式子走等于(受)A.蕩1塔B廟.C.怖D亡.解析當n=2時，反左邊渡的式磨子為D6.用數(shù)剪學歸插納法尺證明視不等次式(n≥2震,n∈N+)的過克程中每，由n=k遞推什到n=k+1時不層等式左桐邊(料)A.增加傘了一魯項B.增加制了兩伯項C.增加承了B中兩咸項但捐減少辱了一裙項D.以上陳各種拔情況推均不旦對解析答案C二、汪填空獲題7.若f(n)=顆12+22+32+…因+(階2n)2,則f(k+1)與f(k)的遞漲推關系紫式是.解析∵f(k)=象12+22+…校+(般2k)2，f(k+1)=嚇12+22+…仍+(2k)2+(慣2k+1麻)2+(壤2k+2角)2，∴f(k+1)=f(k)+肥(2k+1榨)2+(艘2k+2捉)2.f(k+1)=f(k)+秧(2k+1茅)2+(梢2k+2撕)28.用數(shù)疲學歸小納法道證明(n∈N,且n>1吧),第一勵步要旱證的周不等你式是.解析n=2時，感左邊9.已知賢整數(shù)甲對的招序列窮如下喂：(1,壞1)左,(陰1,姐2)涉,(經(jīng)2,天1)摔,(憲1,難3)些,(2去,2校),熄(3惡,1忘),鑼(1煤,4效),稈(2行,3觀),捐(3焦,2京),加(4貧,1行),犬(1序,5眨),(2健,4損)，…，則民第60個數(shù)姨對是.解析本題濾規(guī)律卻：2=院1+裳1；3=始1+息2=污2+仁1；4=驢1+百3=貢2+產(chǎn)2=確3+魚1；5=半1+壞4=烈2+教3=升3+飲2=倡4+屯1；…；一個登整數(shù)n所擁守有數(shù)彩對為(n-1石)對.設1+也2+瓜3+怠…+黃(n-1針)=獸60打,∴n=1朗1時還沸多5對數(shù)叨，且果這5對數(shù)寫和都銀為12，12蹦=1睡+1疫1=廊2+壩10挑=3拒+9悠=4虧+8革=5全+7，∴第60個數(shù)儀對為條（5，7）.(5虜,7棕)三、揪解答劫題10我.已知肅數(shù)列{an}中，(n∈N+).證明：0<an<an+1<1秒.證明(1喪)n=1時，∴0<a1<a2<1商,故結洲論成冰立.(2甚)假設n=k（k∈N+）時撕結論燥成立靠，即0<ak<ak+1<1仆,即0<ak+1<ak+2<1糖,也就峰是說n=k+1時，爆結論盜也成廳立.由(1露)(念2)可知換，對券一切n∈N+均有0<an<an+1<1畏.11語.用數(shù)消學歸菌納法抱證明戰(zhàn)對于蠢任意面正整曬數(shù)n,(n2-1所)+2(n