福建省漳州市龍海民族中學2021年高一數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則P，Q，R的大小關(guān)系是（）A．Q＜P＜R B．P＜Q＜R C．Q＜R＜P D．P＜R＜Q參考答案：D【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】5＜x＜6，可得P=＜1．利用幾何畫板可得：y=log2x，y=的圖象．可知：4＜x＜16時，2＜＜log2x．即可得出．【解答】解：∵5＜x＜6，∵P=＜1．利用幾何畫板可得：y=log2x，y=的圖象．可知：當x=4時，=log2x=2．當x=16時，=log2x=4．當4＜x＜16時，2＜＜log2x．綜上可得：P＜R＜Q．故選：D．2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，則(

)A．

B．C．

D．

參考答案：B4.已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B畫出二元一次不等式所示的可行域，目標函數(shù)為截距型，，可知截距越大值越大，根據(jù)圖象得出最優(yōu)解為，則的最大值為2，選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍．5.中，若，，則等于(

)A．

B．

C.

D．參考答案：C6.若a，b是方程的兩個根，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值為(

)A.－4 B.－3 C.－2 D.－1參考答案：D【分析】由韋達定理確定，，利用已知條件討論成等差數(shù)列和等比數(shù)列的位置，從而確定的值?！驹斀狻坑身f達定理得：，，所以，由題意這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，且，則2一定在中間所以，即因為這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，且，則2一定不在的中間假設(shè)，則即故選D【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要掌握三個數(shù)成等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，如成等比數(shù)列，且，，則2必為等比中項，有。7.命題，，則是（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：C【分析】將全稱命題的量詞改變，否定結(jié)論，可得出命題.【詳解】命題，，由全稱命題的否定可知，命題，.故選：C.【點睛】本題考查全稱命題否定，要注意全稱命題的否定與特稱命題的之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8.與函數(shù)y=x相等的函數(shù)是（）A．y=（）2 B．y= C．y= D．y=參考答案：B【考點】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．【分析】本題可以通過函數(shù)的定義域、解析式、值域是否相同來判斷函數(shù)是否為同一個函數(shù)，得到本題結(jié)論．【解答】解：選項A中，x≥0，與函數(shù)y=x的定義域R不符；選項B中，，符合題意；選項C中，y≥0，與函數(shù)y=x的值域R不符；選項D中，x≠0，與函數(shù)y=x的定義域R不符；故選B．9.在內(nèi)，使成立的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：在同一坐標系中分別作出函數(shù)的圖象，觀察：剛剛開始即時，；到了中間即時，；最后階段即時，10.已知點,點B在直線上運動．當最小時，點B的坐標是（

）A.(－1,1)B.(－1,0)C.(0,－1)D.(－2,1)參考答案：B【分析】設(shè)出點B的坐標，利用兩點間距離公式，寫出的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最小時，點的坐標.【詳解】因為點在直線上運動，所以設(shè)點的坐標為，由兩點間距離公式可知：，顯然時,有最小值，最小值為，此時點的坐標是，故本題選B.【點睛】本題考查了兩點間距離公式、二次函數(shù)求最值問題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量的夾角為，，則____參考答案：1【分析】利用向量數(shù)量積的定義式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，故答案是1.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到的知識點有平面向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.12.設(shè)函數(shù)f（x）=1+sin，x∈（﹣3π，π），若不等式a≤f（x）≤b的解集為[a，b]，則a+b=_________．參考答案：

13.某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中取一個容量為n的樣本；如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，無須剔除個體；如果樣本容量增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時需要在總體中先剔除一個個體，則n的值為

．參考答案：6【考點】分層抽樣方法；系統(tǒng)抽樣方法．【分析】由題意知采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個體；如果樣本容量增加一個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，算出總體個數(shù)，根據(jù)分層抽樣的比例和抽取的工程師人數(shù)得到n應是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，由系統(tǒng)抽樣得到必須是整數(shù)，驗證出n的值．【解答】解：由題意知采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個體；如果樣本容量增加一個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，∵總體容量為6+12+18=36．當樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為，分層抽樣的比例是，抽取的工程師人數(shù)為?6=，技術(shù)員人數(shù)為?12=，技工人數(shù)為?18=，∵n應是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n=6，12，18．當樣本容量為（n+1）時，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為，∵必須是整數(shù)，∴n只能取6．即樣本容量n=6．故答案為：6．14.（5分）給出下列命題：①存在實數(shù)α，使sinα?cosα=1；②存在實數(shù)α，使；③函數(shù)是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ；其中正確命題的序號是

．參考答案：③④考點： 命題的真假判斷與應用．專題： 計算題；綜合題．分析： 由二倍角的正弦公式結(jié)合正弦的最大值為1，可得①不正確；利用輔助角公式，可得sinα+cosα的最大值為，小于，故②不正確；用誘導公式進行化簡，結(jié)合余弦函數(shù)是R上的偶函數(shù)，得到③正確；根據(jù)y=Asin（ωx+?）圖象對稱軸的公式，可得④正確；通過舉出反例，得到⑤不正確．由此得到正確答案．解答： 對于①，因為sinα?cosα=sin2α，故不存在實數(shù)α，使sinα?cosα=1，所以①不正確；對于②，因為≤，而，說明不存在實數(shù)α，使，所以②不正確；對于③，因為，而cosx是偶函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故③正確；對于④，當時，函數(shù)的值為=﹣1為最小值，故是函數(shù)的一條對稱軸方程，④正確；對于⑤，當α=、β=時，都是第一象限的角，且α＞β，但sinα=＜=sinβ，故⑤不正確．故答案為：③④點評： 本題以命題真假的判斷為載體，考查了二倍角的正弦公式、三角函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱軸等知識，屬于中檔題．15.cos1740°=．參考答案：【考點】運用誘導公式化簡求值．【專題】計算題；規(guī)律型；函數(shù)思想；三角函數(shù)的求值．【分析】直接利用誘導公式化簡求值即可．【解答】解：cos1740°=cos（﹣60°）=cos60°=故答案為：；【點評】本題考查誘導公式的應用，特殊角的三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．16.計算：＋＝_________參考答案：4317.（5分）若點P（x，y）在圓C：（x﹣2）2+y2=3上，則的最大值是 ．參考答案：考點： 直線與圓的位置關(guān)系．專題： 直線與圓．分析： 設(shè)k=，即y=kx，根據(jù)直線和圓相切即可得到結(jié)論．解答： 解：設(shè)k=，即y=kx，則∵點P（x，y）在圓C：（x﹣2）2+y2=3上，∴圓心（2，0）到直線kx﹣y=0的距離d，即，平方得4k2≤3+3k2，即k2≤3，解得﹣，故的最大值是，故答案為：．點評： 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應用，根據(jù)點到直線的距離公式和半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求證：①

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=參考答案：證明：①cos6°cos42°cos66°cos78°

=cos6°cos54°cos66°

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=

又

即所以19.（12分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個動點．若=x+y，求x+3y的取值范圍．參考答案：考點： 平面向量的基本定理及其意義．專題： 平面向量及應用．分析： 可設(shè)扇形的半徑為r，根據(jù)已知條件，對兩邊平方即可得到y(tǒng)2+xy+x2﹣1=0，x∈[0，1]．根據(jù)y∈[0，1]，這個關(guān)于y的方程有解，并且解為y=，所以，可設(shè)f（x）=，通過求導容易判斷f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以x+3y的值域便是[f（1），f（0）]=[1，3]．解答： 設(shè)扇形的半徑為r；考慮到C為弧AB上的一個動點，=x+y．顯然x，y∈[0，1]；兩邊平方：=；所以：y2+x?y+x2﹣1=0，顯然△=4﹣3x2＞0；∵y＞0，∴解得：，故；不妨令，x∈[0，1]；∴；∴f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，f（0）=3，f（1）=1，∴f（x）∈[1，3]；即x+3y的取值范圍為[1，3]．點評： 考查數(shù)量積的運算，由判別式判斷一元二次方程解的情況，求根公式解一元二次方程，根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．20.如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．（Ⅰ）將四邊形ABCD的面積S表示成關(guān)于θ的函數(shù)；（Ⅱ）求S的最大值及此時θ的值．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（Ⅰ）在△ABD中，根據(jù)余弦定理可表示BD，根據(jù)S=absinc可表示出△ABD，△BCD的面積，從而表示出四邊形ABCD的面積；（Ⅱ）由（Ⅰ）可把四邊形面積S化為S=Asin（ωx+φ）+B形式，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求其最值．【解答】解：（Ⅰ），，，∴（0＜θ＜π）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，∵0＜θ＜π，∴，當時，即時，S有最大值．21.如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A1．（1）求證：A1D⊥EF；（2）求三棱錐A1﹣DEF的體積．參考答案：考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A1D⊥A1F且A1D⊥A1E，所以A1D⊥平面A1EF．結(jié)合EF?平面A1EF，得A1D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A1EF是以EF為斜邊的直角三角形，而A1D是三棱錐D﹣A1EF的高線，可以算出三棱錐D﹣A1EF的體積，即為三棱錐A1﹣DEF的體積．解答： 解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A1D⊥A1F，A1D⊥A1E，∵A1E∩A1F=A1，A1E、A1F?平面A1EF．∴A1D⊥平面A1EF．又∵EF?平面A1EF，∴A1D⊥EF．（2）∵A1F=A1E=，EF=∴A1F2+A1E2==EF2，得A1E⊥A1F，∴△A1EF的面積為，∵A1D⊥平面A1EF．∴A1D是三棱錐D﹣A1EF的底面A1EF上的高線，因此，三棱錐A1﹣DEF的體積為：．點評：本題以正方形的翻折為載體，證明兩直線異面垂直并且求三棱錐的體積，著重考查空間垂直關(guān)系的證明和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．22.已知.

（1）求函數(shù)的定義域；（2）