8.10零點(diǎn)定理（精練）（基礎(chǔ)版）

題組一零點(diǎn)的求解

1.(2022?上海)若函數(shù)”幻=奴+仇”0)的零點(diǎn)為2,則函數(shù)g(x)一6的零點(diǎn)是()

A.0,—B.0,gC.0,2D.2,—

222

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/。)=以+公。工0)的零點(diǎn)為2,所以f(2)=2a+8=0,

2a+h=00,-7=--.

b2

令加_奴=0，得x=0或x=f=_g.

b2

故選:A.

2.(2022?北京)已知“+c=O且arc,貝ljy=依?+4>x+c的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.不能確定

【答案】C

2

【解析】,a+c=0,a=-c,又a*c、：.ac<0,:.A=b-4ac>()

，二次函數(shù)y=*+法+c有2個零點(diǎn).

故選：C.

l,x>0

3.(2022?福建福州)(多選)已知函數(shù)s(x)=<0,x=0,則函數(shù)〃(x)=s(x)—x的零點(diǎn)是()

—l,x<0

A.-1B.0C.1D.2

【答案】ABC

【解析】令Mx)=s(x)—x=0,

當(dāng)x>0時，有.l-x=0,則x=l；

當(dāng)x=0時，有0—x=0,則x=0；

當(dāng)x<0時，有—1—x=O,則x=-l：

故函數(shù)"x)=s(x)-x的零點(diǎn)是-1,0,1

故選：ABC

4.(2021高三上?吉林月考)(多選)等比數(shù)列｛4｝中，4與的是函數(shù)/(X)=X2-5X+2的兩

個零點(diǎn)，則a3a9的值為()

A.-2B.2C.-5D.5

【答案】B

【解析】由題意，?4與?8是函數(shù)/(x)=f-5x+2的兩個零點(diǎn)

令X2-5X+2=O,A=25-8>0

由韋達(dá)定理，%為=2

由于｛%｝為等比數(shù)列，故%%=。4。8=2

故答案為：B

5.(2022?全國?專題練習(xí))函數(shù)丫=1。82》-3的零點(diǎn)是_.

【答案】8

【解析】由log?x-3=0得log2_r=3,解得X=23=8,即V=log2犬一3的零點(diǎn)為8.故答案為：8

XPx4-—X<0

6.(2022?福建?廈門外國語學(xué)校)已知函數(shù)〃刈=,e'一'則方程〃x)=0的根.

x2-2x,x>0,

【答案】T或2

【解析】當(dāng)x40時，〃x)=x/+：,所以/'(x)=e'+M=(x+l)e*,

令((x)=0,得x=—1,

當(dāng)x<-l時，r(x)<o,

當(dāng)-1cx40時，/"(x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(—,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以〃幻而,="—1)=0，

故當(dāng)X40時，“力=0有唯一根-1,

當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x,

令〃x)=0,解得x=0(舍去)或2,

故當(dāng)x>0時，/（力=0的根為2,

綜上，“司=0根為-1或2.

故答案為：-1或2.

7.（2022?廣東?佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)）函數(shù)y=（x-2）3（3x+iy的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)組成的集合為

【答案】H12}

【解析】y=（x—2）3（3x+1）2,

=（3X+1）2+（X-2）3［（3X+1）2J

-3（X-2）2（3X+1）2+（X-2）3［6（3X+1）］

=3（5x-3）（3x+l）（x-2）2

令y=0,則》='|或x=_（或X=2

故答案覆蓋,2}____________________________________________________________________

題組二零點(diǎn)區(qū)間

1.（2021高三上?陜西月考）函數(shù)/（x）=log3x+x-3的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【解析】函數(shù)/（x）=log3x+x-3在（0,+8）上單調(diào)遞增且連續(xù)，

且/（2）=log32+2-3=log32-l<0,

/（3）=log33+3-3=1>0；

故函數(shù)/（x）=log3x+x-3的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（2,3）.

故答案為：B.

2.（2021高三上?月考）下列區(qū)間中，包含函數(shù)f（x）=logLx+-的零點(diǎn)的是（）

2X

A.（34）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】C

【解析】函數(shù)/（X）在（0，+8）上單調(diào)遞減，且/（1）=1＞0,/（2）=-1+1＜0,

.?./（X）的零點(diǎn)在（1,2）內(nèi).故答案為：C

3.（2022高三上?興寧期末）若Xo=cos^＞,則（）

【答案】C

【解析】設(shè)函數(shù)/（x）=x—COSX,則/（%）在l0,^j上單調(diào)遞增,

71572

又/（0）=-1<0,/

~4__2~

所以有/口/閨＜?！|＞°化〃圖＞°北卜圖＞°

（元jr

所以由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)/（X）的一個零點(diǎn)位于I-,-

故答案為：C

4.（2022高三上?遼寧期中）已知函數(shù)f（x）=（g）-x5

,那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)f（x）零點(diǎn)的

是（）

D.

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（；）-x5,是連續(xù)單調(diào)函數(shù),

故答案為：B.

2

5.(2022高三上?海安月考)函數(shù)/(x)=lnx——+1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

x

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,+oo)

【答案】A

2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx--+l在(0,+8)上單調(diào)遞增，

22

且/(l)=lnl—j-+l=-l<0,/(2)=ln2--+l=ln2>0,

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(1,2).

故答案為：A.

題組三零點(diǎn)的個數(shù)

%2—2%/%>0

1.(2022高三上?河南期中)已知函數(shù)/(%)=4—，則函數(shù)丁=/(力一3的零點(diǎn)個數(shù)為

x——，%<0

x

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】當(dāng)x>0時，令X2-2X-3=0，解得x=3或一1(舍)；

4

當(dāng)x<0時，令x——3=0,解得x=-l或4(舍)

x

..?x=3或一1為函數(shù)y=fM-3的零點(diǎn)，

則函數(shù)y=f(x)-3有2個零點(diǎn).

故答案為：B.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)”力=丁一3x,則函數(shù)=a[-2,2]的零點(diǎn)個數(shù)

()

A.5或6個B.3或9個C.9或10個D.5或9個

【答案】D

【解析】設(shè)，=/(x),則由Mx)=/[f(x)]—c=O,

得/[〃x)]=c,即/⑺=c,r=〃x)

又/z(x)=3x2-3=3(x-l)(x+l),

由ra)>o得x<-i或%>1,此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由ra)<o得此時函數(shù)單調(diào)遞減，

即函數(shù)在x=—1處取得極大值f(-l)=(-l)3-3x(T)=2,

函數(shù)在x=l處取得極小值"1)=13-3xl=-2,

又由f(-2)=(-2y-3x(-2)=-2,/(2)=23—3x2=2可得圖象:

若〃。=c,ce(-2,2),則方程有三個解，

滿足-2<4<-1,—1</2<1,1</3<2,

則當(dāng)-2a<7時，方程f=/(x),有3個根,

當(dāng)時，方程t=〃x),有3個根，

當(dāng)1<與<2時，方程f=/(x),有3個根，

此時共有9個根，

若/⑺=c,c=2,則方程有兩個解，

滿足4=-1,=2,

則當(dāng)”-1時，方程f=/(x),有3個根，

當(dāng)L=2,有2個根,

此時共有5個根,

同理〃f)=c,。=-2,也共有5個根

故選：D.

e-x-2,x<l

3.(2022?黑龍江)已知函數(shù)/(力=,，則函數(shù)g(x)=f[7?(切-2〃力+1的零點(diǎn)個數(shù)是()

|ln(x-l)|,x>1

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】令f=/(x),g(x)=O,則/(/)-2/+1=0,B|J/(r)=2r-l,

分別作出函數(shù)y=/(f)和直線y=2-1的圖象，如圖所示,

由圖象可得有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為*%,

則％=0,1<Z2<2,

對于f=J(x),分別作出函數(shù)y=/(x)和直線3=右的圖象,如圖所示,

當(dāng)/(x)=%=0時，即方程/(x)=0有兩個不相等的根，

當(dāng)=時,函數(shù)y=/(x)和直線丫=馬有三個交點(diǎn),

即方程G="x)有二個不相等的根，

綜上可得g(x)=o的實(shí)根個數(shù)為5,

即函數(shù)g(x)=F[F(x)]-2〃x)+l的零點(diǎn)個數(shù)是5.

故選：B.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))若定義在R上的偶函數(shù)段)滿足人x+2)=/(x),且當(dāng)?shù)犊赱0,1]時，Hx)=x，則

函數(shù)y=./(x)-iog3陽的零點(diǎn)個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由題意知，_Xx)是周期為2的偶函數(shù).

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=/(x)及y=log、川的圖象，如下：

觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點(diǎn)，

即函數(shù)y=/(x)—log3慟有4個零點(diǎn).

故選：D.

5.(2022?西安模擬)已知/(幻是定義在［-10,10］上的奇函數(shù)，且/(%)=/(4-予),則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)

個數(shù)至少為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】“X)是定義在上的奇函數(shù)，

.?./(0)=0,且零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

二零點(diǎn)個數(shù)為奇數(shù)，排除選項(xiàng)8D,

又?/(x)=/(4-x)

.?.〃0)=〃4)=0,

"(~4)=/(4+4)=〃8)=0,

/(-8)=-〃8)=0,

.??/(%)的零點(diǎn)至少有0,±4,±8,5個,

故答案為：C.

,/、fx3+2,x<0

6.(2022?新疆三模)函數(shù)={.*八的零點(diǎn)個數(shù)為

x-3+e”,x>0

【答案】2

【解析】當(dāng)x<0時，令丁+2=0，解得了=■二工，。方<0,此時有1個零點(diǎn)；當(dāng)％>0時，

f(x)=x-3+ex,顯然/(x)單調(diào)遞增,

乂7]3]=一'1+/<()'/a)=-2+e>。，由零點(diǎn)存在定理知此時有1個零點(diǎn)；綜上共有2個零點(diǎn).

故答案為：2.

7.(2022?全國?課時練習(xí))函數(shù)/(x)=lnx+x2-3的零點(diǎn)個數(shù)為.

【答案】1

【解析】解法一：令〃x)=0,可得方程lnx+x2-3=0,即lnx=3-P

故原函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)V=1nx與y=3-V圖象的交點(diǎn)個數(shù).

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的大致圖象(如圖).

由圖可知，函數(shù)y=3-x?與y=lnx的圖象只有一個交點(diǎn)，

故函數(shù)f(x)=Inx+%?一3只有一個零點(diǎn)，

故答案為：1

解法二：/(l)=lnl+l2-3=-2<0,/(2)=ln2+22-3=ln2+l>0,

/(1)/(2)<0,

又/(司=111犬+/-3的圖象在(1,2)上是不間斷的，

〃力在(1,2)上必有零點(diǎn),

又/(x)=lnx+x2-3在(0,+8)上是單調(diào)遞增的，

函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有且只有一個，

故答案為：1

8.(2022?全國?課時練習(xí))函數(shù)/0)=?一唾產(chǎn)的零點(diǎn)個數(shù)為

2

【答案】1

【解析】令〃x)=O,可得方程石T°g：.

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)＞=?與y=1°g；x的圖象，如圖，

由圖可知，函數(shù)y=J7與y=l°g；x的圖象只有一個交點(diǎn),

故方程五=l°glX只有一個解，

2

故函數(shù)/(X)只有一個零點(diǎn).

故答案為：L

e-x-2,x,,1

9.(2022?河南?鄭州十九中高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(幻=則函數(shù)g(x)=/"(?]-2/(x)+l

|ln(x-l)|,x)l

的零點(diǎn)個數(shù)是.

【答案】5

【解析】令f=/(x)，g(x)=O,

則〃f)-2f+l=0,

分別作出y=f(x)和直線y=2x-i,

由圖象可得有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為乙，t2,

則，1=0，1<。<2,

即有/(x)=0有2根；

l<f(x)<2時,灰=〃。有3個不等實(shí)根,

綜上可得g(x)=0的實(shí)根個數(shù)為5,

即函數(shù)g(x)=/V(x)l-2/(x)+l的零點(diǎn)個數(shù)是5.

故答案為：5.

10.(2023?全國?高三專題練習(xí))若偶函數(shù)/(x)滿足l)=f(x+l),在xw［0,l］時,/(x)=x2,則關(guān)于x

的方程/(x)=('J在［0,4］上根的個數(shù)是

【答案】4

【解析】〃x)滿足/卜―l)=f(x+l)，故可得/(x)=/(x+2),所以函數(shù)〃x)是以2為周期的周期函數(shù)，

且“同是偶函數(shù)

根據(jù)xe［0,l］,〃x)=x2得該函數(shù)在［0,4］上的圖象為：

再在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)的圖象，當(dāng)x=l時，/(!)=1,當(dāng)x=3時，f(3)=l,而當(dāng)x>0時,

0<fe)<!

如圖，當(dāng)xe［0,4］時，兩函數(shù)圖象有四個交點(diǎn).

所以方程/(x)=在［0,4］上有4個根.

故答案為：4.

11.(2022?全國?專題練習(xí))奇函數(shù)“X)定義在R上，且對常數(shù)T>0,恒有〃x+T)=/(x),則在區(qū)間［0,2T］

上，方程〃x)=0根的個數(shù)最小值為.

【答案】5

【解析】函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

故〃0)=0,

又一(x+T)=〃x),即周期為T,

.?J(2T)=/(T)=〃0)=0,

又由

故在區(qū)間［0,2刀，方程;"(力。根有x=0,T,言，2T,

個數(shù)最小值是5個，

故答案為：5.

12.(2022?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=cos(3x+9)(-J<e<￡)圖象關(guān)于直線x=當(dāng)對稱，則函數(shù)

2218

“X)在區(qū)間［0,句上零點(diǎn)的個數(shù)為.

【答案】3

【解析】函數(shù)/(x)=cos(3x+s)圖象關(guān)于直線x=對■稱，

1O

57r

:.3x—+(p=k7r(y=cosx的對稱軸是工=左乃)

18t

54，1r

(P—---—+K7T,kE.Z,

?717T,,._?71

由一二<8<二■知，k=\時，(P=—

226

故f(x)=cos&x+2)，

令jf(x)=O得3%+工=]+44,kwZ,x=—+^~

keZ.

因?yàn)閤e[O,可，所以&=0,1,2時，9=]等,g滿足條件,

故零點(diǎn)有三個.

故答案為：3

題組四求參數(shù)

2x-l,(x>0)....

1.(2022?四川雅安)已知函數(shù)"x)=，/?(A-+1)(x<0),若函數(shù)尸(力=/(力+》+加有兩個不同的零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-1,+<?)B.(0,+巧C.(-1,0)D.[0,1)

【答案】A

【解析】函數(shù)F(x)=f(x)+x+m有兩個不同的零點(diǎn)，即方程f(x)+x+“=0有兩個不同的根，從而函數(shù)

y=/(力的圖象和函數(shù)v=~x-m的圖象有兩個不同的交點(diǎn),

由"x)h，■/C、可知，當(dāng)x<0時，函數(shù)/(X)是周期為1的函數(shù),

y(x+i),(x<o)

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=/(x)的圖象和函數(shù)y=-x-〃，的圖象,

數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)-%<1即旭?-1,+8)時，兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點(diǎn),

故函數(shù)尸(X)有兩個不同的零點(diǎn).

故選：A.

2.(2021?全國?單元測試)已知函數(shù)〃力=2兇+*+。有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.1B.-1C.0D.-2

【答案】B

【解析】函數(shù)〃8)=2兇+/+。定義域?yàn)镽,函數(shù)/(一可=2向+(—幻2+4=/(幻，即函數(shù)”力為偶函數(shù),

當(dāng)X20時，/(同=2*+/+〃，則“X)在[0,內(nèi))上單調(diào)遞增，在(—,0)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=0時，f(x)n,n=a+\,因函數(shù)/(司=泗+/+。有唯一的零點(diǎn)，于是得。+1=0,解得a=—1,

所以實(shí)數(shù)。的值為-1.

故選：B

,、12V+2-1I,X<0

3.(2022?遼寧?東北育才雙語學(xué)校一模)已知函數(shù)/x=J,若關(guān)于x的方程

|log2x|,x>0

[/(x)F+MXx)+4=0有6個不同的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是()

,13八「13八(131、(131

A.s,-5)<j-y,-4B.-y,-4IC.IA4,yU(5,+oo)D.I4A,y

【答案】A

【解析】畫出/(x)的圖象如圖，令f=/(x),則先討論產(chǎn)+皿+4=0的零點(diǎn).

當(dāng)A=〃P-4x4<0,即T<〃z<4時，不合題意；

當(dāng)A=M-4x4=0,即加=±4時，易得f=2或r=-2,此時當(dāng)〃x)=2或〃力=-2時均不滿足有6個零點(diǎn),

不合題意；

故△=>-4x4>0，m>4或加<-4,設(shè)/+削+4=0的兩根為乙出，不妨設(shè)由韋達(dá)定理%=4,

且右山二2.

口當(dāng)轉(zhuǎn)2<0時,〃力=%與〃力=4均無零點(diǎn),不合題意;

□當(dāng)%>0時：

1.若0<仆1,則”4,此時/(x)=4有4個零點(diǎn)，有2個零點(diǎn)，合題意；

2.若1%<2,此時行3個零點(diǎn)，則〃x)=f2有且僅有3個零點(diǎn)，此時2<與43,故g斗<2；

4

綜上可得。＜乙＜1或

，4、4/4、

又6+G=一",故〃2=-（4+，2）=-4—,結(jié)合y=/+-在（0,2）上為減函數(shù)口J*得胴=—fjH—在（0,1）,

\nJt\A7

g,2）上為增函數(shù).

故選：A

4.（2022?河南模擬）已知函數(shù)〃x）=2"-e"/至多有2個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）.

A.0B.1C.2D.e

【答案】C

【解析】令“尤）=勿/_"=0,得到0=芻