河南省鶴壁市煤業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司綜合高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列和，滿足，.若存在正整數(shù)，使得成立，則稱數(shù)列為階“還原”數(shù)列.下列條件：①；②；③，可能使數(shù)列為階“還原”數(shù)列的是

A．①

B．①②

C．②

D．②③參考答案：C2.若不等式kx2+kx﹣1≤0（k為實(shí)數(shù)）的解集為R，則直線kx+y﹣2=0的斜率的最大值等于（）A．2 B．4 C．5 D．8參考答案：B3.已知，則函數(shù)的最小值為

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C4.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)

A．

B．C．

D．參考答案：C5.在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（

）A.眾數(shù) B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差參考答案：D試題分析：由方差意義可知，選D.考點(diǎn)：方差、平均數(shù)、中位數(shù)、種數(shù)6.在等比數(shù)列中，，則=

A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：等比數(shù)列中若則所以即考點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用7.已知三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是，，。則（

）A.＜＜

B.

＜＜

C.＜＜

D.＜＜參考答案：B8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A.1008 B.1009 C.1010 D.1011參考答案：C【分析】利用，結(jié)合數(shù)列的遞推公式可解決此問題．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，①，故②由②－①得，，即所以故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，含有時(shí)常用進(jìn)行轉(zhuǎn)化．9.下列各項(xiàng)中，值等于的是(

)

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略10.設(shè)集合，，若，則

．參考答案：7略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖1中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作，第2個(gè)五角形數(shù)記作，第3個(gè)五角形數(shù)記作，第4個(gè)五角形數(shù)記作，……，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則

，若，則

．參考答案：35

，1012.已知扇形的周長(zhǎng)為6，圓心角為1，則扇形的半徑為___；扇形的面積為____.參考答案：2

2【分析】設(shè)扇形的半徑是，由扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，解得半徑，再求面積?！驹斀狻吭O(shè)扇形的半徑是，因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為，圓心角為，所有，解得，即扇形的半徑為，所以扇形的面積為【點(diǎn)睛】本題考查扇形有關(guān)量的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題。13.設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．參考答案：(1)

(2)[0，]【分析】（1）先求出分段函數(shù)的每一段的最小值，再求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)分兩種情況討論，若a＜0，不滿足條件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝（x）2≥（）2，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)的最小值為，（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）≥2，此時(shí)的最小值為2，若a＜0，則當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）＝0，此時(shí)f（0）不是最小值，不滿足條件．若a≥0，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2為減函數(shù)，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，則f（0）＝a2≤2，即0≤a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，]【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值的求法，考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是________.

參考答案：15.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為，從{2,4,6}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為，則的概率是__________．參考答案：見解析共有種，有2141，2，361，2，3，4，5共9種，∴．16.已知圓與圓內(nèi)切，則r=______.參考答案：【分析】根據(jù)兩圓相內(nèi)切的知識(shí)求解.【詳解】因?yàn)閳A所以，，因?yàn)閳A所以，，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以，解得：，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓相切的位置關(guān)系，熟練運(yùn)用兩圓相切的公式是解題的關(guān)鍵.17.函數(shù)（是常數(shù)，，）的部分如右圖，則A=

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知在數(shù)列和中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求.

參考答案：解：（Ⅰ）時(shí)，，兩式相減得：()，故

()經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)上式成立，所以由,得：()故=+1()經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)上式成立，所以（Ⅱ）則兩式相減得：19.如圖，海上有A，B兩個(gè)小島相距10km，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為60°，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)，且OC=BO．設(shè)AC=xkm．（1）用x分別表示OA2+OB2和OA?OB，并求出x的取值范圍；（2）晚上小艇在C處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)OC=BO，分別在△OAC與△OAB中利用余弦定理，可得x2=OA2+OB2+OA?OB且100=OA2+OB2﹣OA?OB．兩式聯(lián)解即可得出用x表示OA2+OB2、OA?OB的式子，再根據(jù)基本不等式與實(shí)際問題有意義建立關(guān)于x的不等式組，解之即可得到x的取值范圍；（2）根據(jù)AO是△AOB的中線，利用三角形的面積公式算出S△ABC=2S△AOB=?AC?BD，解出BD=．設(shè)BD=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性可得f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（10，10]上是增函數(shù)，可得當(dāng)x=10時(shí)f（x）有最大值，由此可得當(dāng)AC=10時(shí)BD的最大值為10．【解答】解：（1）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，根據(jù)余弦定理，可得OA2+OC2﹣2OA?OCcos120°=AC2=x2，又∵OC=BO，∴x2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos120°，即x2=OA2+OB2+OA?OB…①在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°，∴由余弦定理，得OA2+OB2﹣2OA?OBcos60°=100，即100=OA2+OB2﹣OA?OB…②，①+②，可得OA2+OB2=（x2+100），①﹣②，可得2OA?OB=x2﹣100，即OA?OB=（x2﹣100），又∵OA2+OB2≥2OA?OB，∴（x2+100）≥2×（x2﹣100），解得x2≤300，∵OA?OB=（x2﹣100）＞0，即x2＞100，∴100＜x2≤300，解之得10＜x≤10；（2）∵O是BC的中點(diǎn)，可得S△AOC=S△AOB，∴S△ABC=2S△AOB=2×OA?OBsin60°=×（x2﹣100）=（x2﹣100）．又∵S△ABC=，∴=（x2﹣100），得BD=．設(shè)BD=f（x），可得f（x）=，其中x∈（10，10]∵f'（x）=＞0，∴f（x）在區(qū)間（10，10]上是增函數(shù)，可得當(dāng)x=10時(shí)，f（x）的最大值為=10，即BD的最大值為10．20.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，且a11=﹣26，a51=54，求an和S20的值．參考答案：【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：∵a11=﹣26，a51=54，∴，解得a1=﹣46，d=2．∴an=﹣46+2（n﹣1）=2n﹣48．S20==﹣540．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（Ⅰ）若方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值與最小值；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【分析】（I）方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，推出a的關(guān)系式求解即可．（II）利用a=1，化簡(jiǎn)f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，推出在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)論．解法二，當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，x≥2時(shí)，f（x）的最小值≥2﹣a，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，推出a的范圍．【解答】（本小題共13分）解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）…（I）方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，…∴（2a+1）2=0，解得…∴…（II）∵a=1∴f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]若f（x）max=f（﹣1）=3…若f（x）min=f（1）=﹣1…（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，即：在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，…設(shè)，顯然函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，…gmax（x）=g（2）=2…當(dāng)且僅當(dāng)a≥gmax（x）時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a2在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，因此a≥2…解法二、因?yàn)?/p>

當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，所以x≥2時(shí)，f（x）的最小值≥2﹣a…當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=a（x2﹣2x）在