北師大版數(shù)學八年級下課件（第一章）等腰三角形的性質(zhì)一、復習1、什么叫軸對稱圖形和軸對稱？

答：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。2、軸對稱與軸對稱圖形的聯(lián)系和區(qū)別是什么？

對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱。這條直線就是對稱軸。二、復習1、角是軸對稱圖形嗎？對稱軸是什么？性質(zhì)有哪些？

答：是，對稱軸是角平分線所在的直線角平分線上的點到角兩邊的距離相等。2、線段是軸對稱圖形嗎？對稱軸是什么？性質(zhì)有哪些呢？答：是，對稱軸是它的垂直平分線，線段的垂直平分線到線段的兩個端點的距離相等。復習

1、什么樣的三角形叫做等腰三角形？（有兩邊相等的三角形）結合以下圖形，指出等腰三角形的腰，底邊，頂角，底角。定義：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩條邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.底邊ABC腰腰頂角底角做一做現(xiàn)在請同學們將剛才所畫的等腰三角形對折，使兩腰AB、AC重疊在一起，折痕為AD，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？DABC

等腰三角形是軸對稱圖形

∠B=∠C等腰三角形兩個底角相等簡寫成“等邊對等角”

BD=CD，AD為底邊上的中線

∠ADB=∠ADC，AD為底邊上的高線

∠BAD=∠CAD，AD為頂角平分線等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

互相重合

簡稱“三線合一”性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。幾何書寫：∵AB=AC（已知）∴B=C（等邊對角）CAB∴AD⊥BC

BD=CD（等腰三角形三線合一）幾何書寫：∵AB=AC

（已知）

∠1=∠2

（已知）推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。（三線合一）DCAB12·→畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一“三線合一”應該對應等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高為什么不一樣?填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，1、如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠______,BD=______2、如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥___,BD=____3、如果BD=CD,那么∠BAD=∠_____，AD⊥___,

∠ADB=∠_____=___°DCADCDBCCDCADBCADC90同步練習1１.等腰三角形是軸對稱圖形２.等腰三角形兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”３.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

互相重合.簡稱“三線合一”等腰三角形的三個性質(zhì)要記得哦!!判斷正誤（口答）如圖，在△ABC中，∵AC＝BC，∴∠ADC＝∠BDC.

(等邊對等角)CABD同步練習2練習：判斷正誤（口答）

“等邊對等角”只能在同一個三角形中使用．(2)如圖，在△ABC中，∵AC＝BC，∴∠ADC＝∠BEC.CABDE“等邊對等角”必須在同一個等腰三角形中才成立“三線合一”是對等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高而言的請注意哦！

1填空：（根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理及推論） (1)∵

AB=AC,∴∠____=∠____;(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠_____=∠______, _____=_____;(3)∵AB=AC,AD是中線，∴_____⊥_____, ∠_____=∠_______;(4)∵AB=AC,AD是角平分線，∴_____⊥_____, _____=_____.BADCADBDCDADBC

BADCADADBC

BDCD

BC課堂練習：等腰三角形中，有一種特殊的情況．就是底邊與腰相等．這時三角形三邊都相等．我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形圖8.3.3那么，等邊三角形具有什么性質(zhì)呢？圖8.3.3根據(jù)“等邊對等角”可得：所以而三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形2

在△

ABC中，若AB=BC=CA，則∠A=______∠B=______∠C=______3、推論2：

等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

。課堂練習：60°60°60°已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80。求∠C和∠A的度數(shù)．例1解:（已知）（等邊對等角）（三角形內(nèi)角和等于）已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=80。求∠C和∠B的度數(shù)．解:結論:在等腰三角形中,已知一個角,可以求另外兩個角同步練習3∵AB=AC，∴∠C=∠B(等邊對等角)∵∠A+∠B

+∠C=180。（三角形內(nèi)角和等于180。）

∠A=80。

∴∠B=∠C=50。

動腦筋70°,70°或40°,100°30°,30°1.等腰三角形一個角為40°,它的另外兩個角為

________________________2.等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為_________________同步練習4例２如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30。求∠１和∠ADC的度數(shù)．解:∵AB=AC，D是BC邊上的中點∠ADC＝90?！摺螧AC=180。-30。-30。=120

。（三線合一）1.等腰三角形的底角可以是直角或鈍角嗎？為什么？同步練習5練習第97頁1２.等腰三角形的底角可以是直角或鈍角嗎？為什么？不能因為如果底角大于或等于，則２倍底角大于或等于，這樣三角形的內(nèi)角和就大于，顯然不可能練習

建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點，就說房梁是水平的，你知道其中反映了什么數(shù)學原理?情境創(chuàng)設例2如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30。求∠１和∠ADC的度數(shù)．解:∵AB=AC，D是BC邊上的中點∠ADC＝90?！摺螧AC=180。-30。-30。=120

。（三線合一）小結本節(jié)課你學到了什么?1、等腰三角形的定義以及相關概念。2、等腰三角形的性質(zhì)：2）等腰三角形的底邊上的中線,底邊上的高和頂角平分線、互相重合（簡稱“三線合一”）1）等腰三角形的兩底角相等（簡寫“等邊對等角”）3）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，都等于90度練習課堂練習：口答：（1）已知等腰三角形的一個底角為70°,那么此等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)分別是（）.

（2）已知等腰三角形的頂角為70°，那么此等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)分別是(）。70°70°

（3）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，那么此等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)分別是（）。

等腰三角形的底邊長為4cm，腰長為7cm，則周長為；等腰三角形的一邊長為４，另一邊長為７，則周長為；等腰三角形的兩邊為３cm、７cm，則周長

等腰三角形的周長為２１，其中一邊長為９，則另兩邊的長

；１8cm15或１８１７cm9、３或６、６８、８其中一邊長為５呢？

75°,30°70°,40°或55°,55°1.等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為_______⒉等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為________________⒊等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為___________

35°,35°４、等腰三角形一個外角為110°

，那它的三個內(nèi)角為

５、等腰三角形一個外角為５０°呢？７０°

７０°

４０°或５５°５５°７０°例題

已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC。求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)。已知△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。ABCD解：∵

AB=AC，（已知）∴

∠ABC=∠C(等角對等邊)∵BD=BC=AD，（已知）∴

∠C=∠BDC(等角對等邊)

∠A=∠ABD設∠A=x°，則∠ABD=x°，

∠BDC=2x°，∠C=2x°

X°X°2X°2X°根據(jù)題意得：x+2x+2x=180X=36即∠A=36°∠ABC=∠ACB=72°⊿ABC是等腰三角形,分別以它的兩腰為邊向外作等邊三角形⊿ADB和⊿ACE,已知∠DAE=∠DBC,求⊿ABC三個內(nèi)角的度數(shù).如圖,⊿ABC中,AB=AC,∠BAD=30°,且AD=AE求∠EDC的度數(shù).ABCDEABCDE關于撐傘的數(shù)學問題已知：如圖，AB=AC，DB=DC問：AD與BC有什么關系？猜想：AD垂直平分BC證明:∵AB=AC,∴A在線段BC的垂直平分線上∴AD垂直平分BCABCD∵BD=CD∴D在線段BC的垂直平分線上已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組

X+2Y=43X+Y=7的解，求這個三角形的各邊長

解：解方程組得：Ｘ＝２，Ｙ＝１當取腰長為２，則三角形三邊２，２，１（滿足三角形三邊要求）

當取腰長為１，則三角形三邊１，１，２（不滿足三角形三邊）所以這個三角形的邊為２，２，１等邊三角形的性質(zhì)及判定…名稱圖形性質(zhì)

判定等腰三角形ABC等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形知識回顧等邊三角形:(正三角形)三條邊都相等的三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形.學習園地1、等邊三角形的內(nèi)角都相等嗎?為什么?∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C(在同一個三角形中等邊對等角)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°探索星空：探究性質(zhì)一2、等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?為什么?結論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線都三線合一。（所有的高線，角平分線，中線的長度相等。）探索星空：探究性質(zhì)二3、等邊三角形是軸對稱圖形嗎?有幾條對稱軸?探索星空：探究性質(zhì)三等邊三角形的性質(zhì)2.等邊三角形的內(nèi)角都相等,且等于60°3.等邊三角形各邊上中線,高和所對角的平分線都三線合一.4.等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.1.三條邊相等∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(在同一個三角形中等角對等邊)探索星空：探究判定一1、三個內(nèi)角都等于60°的三角形是等邊三角形?∴△ABC是等邊三角形2、有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形?探索星空：探究判定二當頂角為60°時，兩個底角各為60°.當?shù)捉菫?0°時，頂角為60°.等邊三角形的判定方法:1.三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個內(nèi)角都等于60°（或三個內(nèi)角都相等）的三角形是等邊三角形.3.有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.嘗試舞臺例4等邊三角形ABC的周長等于21㎝，求：（1）各邊的長；（2）各角的度數(shù)。解：（1）∵AB＝BC＝CA，又∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知）∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7（㎝）（2）∵AB＝BC＝CA，（已知）∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°）

ABC試一試你能行

１、下列四個說法中，不正確的有（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個三個角都相等的三角形是等邊三角形。有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形。有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形。２、等邊三角形的對稱軸有（）（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條

３、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（）（A）3條（B）6條（C）9條（D）7條

（選擇）ＢＣＡ探究：如圖,等邊三角形ABC,以下三種方法分別得到的三角形ADE都是等邊三角形嗎？為什么？（1）在邊AB，AC，分別截取AD=AE（2）∠ADE=60°，D，E分別在邊AB，AC上（3）過邊AB上D點，作DE∥BC，交

AC于E點ABCDE這是兩個等邊三角形,那么請移動三根火柴,將此圖變成四個等邊三角形.提示:此題并不難,如果外部不能解決,那么想想里面吧.考考你名稱圖形性質(zhì)

等邊三角形等邊三角形的性質(zhì):三個角都相等，且都為60°三線合一三條邊都相等軸對稱圖形，有三條對稱軸名稱圖形

判定

等邊三角形等邊三角形的判定:三個角都等于60°的三角形三條邊都相等的三角形有一個角等于60°的等腰三角形BACD將兩個含有30°的直角三角板如圖擺放在一起你能借助這個圖形,找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關系嗎?探究∵△ABC與△ADC關于AC軸對稱∴AB＝AD△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB你還能用其他方法證明嗎?BACD在直角三角形中,如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.A┓）30°BC在直角△ABC中∵∠A＝30°∴AC＝2BC下圖是屋架設計圖的一部分,點D是斜梁AB的中點,立柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多長?ABDEC解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°可得2BC＝AB,2DE＝AD∴BC＝1/2×7.4＝3.7m又AD＝1/2AB

∴DE＝1/2AD＝1/2×3.7＝1.85m答:立柱BC的長是3.7m,DE的長是1.85m.

1如圖,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之長.作業(yè)題:MCBDA

2如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分線

MN交BC于M,交AB于N,

求證:CM=2BMNMCBA2、在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°

，

∠A＝30°，CD是高，（1）BD=1，則BC、AB各等于多少；（2）求證：BD=1/2BC=1/4AB解（1）由已知可求得∠BＣD=30°

于是在Rt△ADC與Rt△BDC中用本定理得BC=2，AB=4

（2）在Rt△ADC與Rt△BDC運用本定理

BD=1/2BCBC=1/2AB

∴BD=1/2BC=1/4AB

ACBD要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶去種植,如果∠C＝90°∠A＝30°,要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小和形狀都相同,請你試著分一分,在圖上畫出來.ACB┓請你分一分體會.分享請你說一說這節(jié)課的收獲和體驗讓大家與你一起分享？愿你用勤奮的汗水澆灌智慧的花朵教師寄語第一章三角形的證明第4課時等腰三角形（四）1等腰三角形1.三個角都_____的三角形是等邊三角形；有一個角等于________的等腰三角形是等邊三角形.2.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于__________.3.若等邊△ABC的邊長為2cm，那么△ABC的面積為（）A.cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm24.已知直角三角形中30°角所對的直角邊為4cm，則斜邊的長為（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm課前預習相等60°斜邊的一半AD課堂講練新知1等邊三角形的判定定理

典型例題【例1】已知，如圖1-1-38，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形.證明:∵∠B=∠C，AB∥DE，∴∠DEC=∠C.∵EC=ED，∴∠C=∠EDC.∴∠DEC=∠C=∠EDC=60°.∴△DEC為等邊三角形.課堂講練【例2】圖1-1-40如圖1-1-40，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長線上的一點，CE平分∠ACD，CE=BD.求證：△ADE為等邊三角形.

證明:∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=60°.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.∴∠BAC=∠DAE.又∠BAC=60°，∴∠DAE=60°.∴△ADE為等邊三角形.1.如圖1-1-39，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB.（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形.

模擬演練課堂講練（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.（2）證明：∵∠B=∠C=30°，AD⊥AC，AE⊥AB,∴∠ADC=∠AEB=60°.∴∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°.∴△ADE是等邊三角形.2.已知如圖1-1-41，△ABC是等邊三角形，D為AC上任意一點，∠ABD=∠ACE，BD=CE.求證：△ADE是等邊三角形.

課堂講練證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴AD=AE，∠BAD=∠DAE=60°.∴△ADE是等邊三角形.【例3】圖1-1-42已知，如圖1-1-42，BC⊥AC，DE⊥AC，D為AB的中點，∠A=30°，AB=8.求BC，DE的長.課堂講練新知2含30°角的直角三角形的性質(zhì)典型例題解:∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠DEA=∠BCA=90°.∵D為AB的中點，AB=8，∴AD=DB=4（cm）.∵∠A=30°，∴BC=AB=4（cm），DE=AD=2（cm）.課堂講練【例4】如圖1-1-44，在△ABC中，∠ACB=90°，CM是高，∠B=30°.求證：AM=AB.

證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CM是高，∠B=30°，∴∠ACM=∠B=30°，AC=AB.∴AM=AC.∴AM=AB.3.如圖1-1-43，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，求BD的長.

模擬演練課堂講練解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD是高，∴∠ADB=90°，∠BAD=∠C=30°.∴在Rt△ABC中，AB=BC=2.∴在Rt△ABD中，BD=AB=1.4.如圖1-1-45，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DA⊥AC交BC于點D.求證：BC=3AD.課堂講練證明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.又∵DA⊥AC，∴∠DAC=90°.∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°.∴AD=DB.∴BC=BD+CD=AD+CD=AD+2AD=3AD.

1.以下敘述不正確的是（）A.等邊三角形的每條高線都是角平分線和中線B.有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形C.等腰三角形一定是銳角三角形D.在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等；反之，如果兩個角不相等，那么它們所對的邊也不相等課后作業(yè)新知1等邊三角形的判定定理夯實基礎C2.如圖1-1-46，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=__________.課后作業(yè)2課后作業(yè)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°.∵AB=BC=CA，AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,∴AF=BD=CE.∴AE=BF=CD.∴△AEF≌△BFD≌△DCE（SAS）.∴EF=FD=DE,即△DEF是等邊三角形.3.如圖1-1-47，△ABC是等邊三角形，分別延長AB至點F，BC至點D，CA至點E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求證：△DEF是等邊三角形.4.如圖1-1-48，△ABC中，∠C=90°，AB=6，∠B=30°，點P是BC邊上的動點，AP的長不可能是（）A.2.5B.4.2C.5.8D.3.65.將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖1-1-49，則三角板的最大邊的長為__________cm.課后作業(yè)新知2含30°角的直角三角形的性質(zhì)

A課后作業(yè)解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∴△EDC是等邊三角形.∴DE=DC=2.在Rt△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=2，∠F=30°,∴DF=2DE=4.∴EF=DF2-DE2=42-22=23.6.如圖1-1-50，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，若CD=2，過點D作DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.求EF的長.課后作業(yè)能力提升7.已知：如圖1-1-51，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F.（1）求證：AN=BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形.課后作業(yè)證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB（SAS）.∴AN=BM.（2）由（1）知△ACN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB.又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE.在△CAE和△CMF中，∴△CAE≌△CMF（ASA）.∴CE=CF.∴△CEF為等腰三角形.又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形.證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB（SAS）.∴AN=BM.（2）由（1）知△ACN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB.又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE.在△CAE和△CMF中，∴△CAE≌△CMF（ASA）.∴CE=CF.∴△CEF為等腰三角形.又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形.課后作業(yè)8.已知，如圖1-1-52，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD,BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q，PQ=3，PE=1.（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）求∠BPQ的度數(shù)；（3）求AD的長.課后作業(yè)證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°.又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）.（2）由（1）得∠ABE=∠CAD,∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°.（3）∵BQ⊥AD，∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°.∴BP=2PQ=6.由（1）得AD=BE，∴AD=BE=BP+PE=6+1=7.課后作業(yè)9.如圖1-1-53，在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD.（1）當點E為AB的中點時，如圖1-1-53①，求證：EC=ED；（2）當點E不是AB的中點時，如圖1-1-53②，過點E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形;（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎？請說明理由.（1）證明：在等邊△ABC中，AB=BC=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.∵點E為AB的中點，∴AE=EB=BD.∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°.∴∠ECB=∠EDB.∴EC=ED.課后作業(yè)（2）證明：∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°.∴△AEF為等邊三角形.（3）解：EC=ED.理由如下：∵AE=BD，△AEF為等邊三角形，∴BD=EF.∵∠A=∠AEF=∠ABC=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°.∵AB=AC，AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC.在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）.∴ED=EC.1.2直角三角形（1）北師大版八年級下數(shù)學

第一章三角形的證明駛向勝利的彼岸勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理（pythagorastheorem）.開啟智慧acb勾弦股駛向勝利的彼岸勾股定理的證明

我能行1方法一:拼圖計算方法二：割補法方法三：趙爽的弦圖方法四：總統(tǒng)證法方法五：青朱出入圖方法六：折紙法方法七：拼圖計算這些證法你還能記得多少?你最喜歡哪種證法?總統(tǒng)證法

回顧反思1′駛向勝利的彼岸這個證明方法出自一位總統(tǒng),1881年，伽菲爾德(J.A.Garfield)就任美國第二十任總統(tǒng),在1876,利用了梯形面積公式。圖中三個三角形面積的和是2×ab/2＋c/2;梯形面積為(a+b)(a+b)/2;比較可得:c2=a2+b2

。伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話,后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。．勾股定理不只是數(shù)學家愛好，魅力真大！ababcc駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理

我能行2如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形.已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)駛向勝利的彼岸逆定理的證明

我能行2證明:作Rt△A′B′C′使∠C′=900,A′C′=AC,B′C′=BC(如圖),則已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知),A′C′=AC,B′C′=BC(作圖),∴AB2=A′B′2(等式性質(zhì)).∴AB=A′B′(等式性質(zhì)).∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A=∠A′＝900(全等三角形的對應邊).∴△ABC是直角三角形(直角三角形意義).幾何的三種語言

回顧反思1′駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形.這是判定直角三角形的根據(jù)之一.在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形).acbABC(1)駛向勝利的彼岸命題與逆命題直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形觀察上面兩個命題,它們的條件與結論之間有怎樣的關系?與同伴交流.再觀察下面兩組命題:如如果兩個角是對頂角,那么它們相等,如如果兩個角相等,那么它們是對頂角如;如果小明患了肺炎,那么他一定會發(fā)燒,如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎;上面每組中兩個命題的條件和結論之間也有類似的關系嗎?與同伴進行交流.開啟智慧駛向勝利的彼岸命題與逆命題在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.開啟智慧你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎?想一想:一個命題是真命題,它逆命題是真命題還是假命題?駛向勝利的彼岸定理與逆定理一個命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題.開啟智慧我們已經(jīng)學習了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;內(nèi)錯角相等,兩直線平行.你還能舉出一些例子嗎?想一想:互逆命題與互逆定理有何關系?如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.學無止境

讀一讀1勾股定理是數(shù)學上有證明方法最多的定理──有四百多種說明！古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法，不但有數(shù)學家，還有物理學家，甚至畫家、政治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達數(shù)百種之多，這在數(shù)學史上是十分罕見的.′駛向勝利的彼岸P18《讀一讀》：勾股定理的證明.學無止境

讀一讀1歷時幾千年的兩個定理，牽動著世界上不知多少代億萬人們的心，前人以堅韌的毅力，開拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學知識寶庫中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無限，創(chuàng)造永恒。同學們要努力學習，提高自身素質(zhì)，不辜負時代重托，將來為人類作出更大貢獻?！漶傁騽倮谋税禤18《讀一讀》：勾股定理的證明.學無止境

讀一讀1學習永遠是件快樂而有趣的事！勾股定理的魅力將把你引入一個奇妙的境界！′駛向勝利的彼岸P18《讀一讀》：勾股定理的證明.夢想成真

試一試P1421.如圖(單位：英尺),在一個長方體的房間里,一只蜘蛛在一面墻的正中間離天花板1英尺的A處,蒼蠅則在對面墻的正中間離地板1英尺的B處.試問:蜘蛛為了捕獲蒼蠅,需要爬行的最短距離是多少?●AB●301212回味無窮勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理（pythagorastheorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形.命題與逆命題在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.定理與逆定理如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.小結拓展知識的升華獨立作業(yè)P9習題1.41,2,3題.祝你成功！習題1.4

獨立作業(yè)1駛向勝利的彼岸1.如圖，在△ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm.求證:AB=AC.證明:∵BD=CD,BC=10cm(已知),∴BD=5cm(等式性質(zhì)).∵AD2+BD2=122+52＝144+25=169,AB2=132=169,∴AD2+BD2=AB2.

DBCA∴在△ABD中,∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個三角形是直角三角形).在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169,∴AC2=AB2.∴AB=AC(等式性質(zhì)).習題1.4

獨立作業(yè)2駛向勝利的彼岸2.房梁的一部分如圖所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足為B1,C1,那么BC的長是多少？B1C1呢？解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知),∴BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半),又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形兩銳角互余),∴CB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).老師提示:對于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關系要作為常識去認可.BCA300B1C1∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性質(zhì)).∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).習題1.4

獨立作業(yè)3駛向勝利的彼岸3.如圖,正四棱柱的底面邊長為5cm,側棱長為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點A沿棱柱側面到點C1處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑是多少？解:如下圖,將四棱柱的側面展開,連結AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),老師提示:對于空間圖形需要動手操作,將其轉化為平面圖形來解決.BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C答:螞蟻需要爬行的最短路徑是cm.結束寄語嚴格性之于數(shù)學家,猶如道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應,言必有據(jù).這是初學證明者謹記和遵循的原則.下課了!

再見1.2直角三角形（2）北師大版八年級下數(shù)學

第一章三角形的證明知識點一知識點二知識點三知識點四知識點一

直角三角形兩銳角的關系定理1:直角三角形的兩個銳角互余.定理2:有兩個角互余的三角形是直角三角形.拓展歸納

直角三角形的兩銳角互余是三角形內(nèi)角和等于180°的一個推論.當一個三角形有兩個角互余(即兩個角的和等于90°)時,第三個角是直角,此時,這個三角形是直角三角形.例1

在△ABC中,∠A,∠B,∠C滿足條件∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3.求證:△ABC是直角三角形.分析:由三角形內(nèi)角和等于180°,列方程求得最大角的度數(shù).若最大角的度數(shù)等于90°,就可以確定這個三角形是直角三角形.證明:∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,且∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A+∠B=∠C=90°.∴△ABC是直角三角形.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點一知識點二知識點三知識點四知識點二

勾股定理及其逆定理1.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.拓展歸納

勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件,進而得到這個直角三角形三邊的數(shù)量關系“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理則是以“一個三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為條件,進而得到這個三角形是直角三角形.知識點一知識點二知識點三知識點四例2

如圖,在四邊形ABCD中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12.(1)求證:AD⊥BD.(2)求四邊形ABCD的面積.分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出BD的長度,然后根據(jù)勾股定理的逆定理,即可證明AD⊥BD;(2)根據(jù)兩個直角三角形的面積即可求解.知識點一知識點二知識點三知識點四解:(1)在Rt△BCD中,由勾股定理得

在△ABD中,BD=5,AB=13,AD=12,∵AD2+BD2=122+25=169=132=AB2,即AD2+BD2=AB2,∴由勾股定理的逆定理知△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°.∴AD⊥BD.(2)四邊形ABCD的面積為知識點一知識點二知識點三知識點四知識點一知識點二知識點三知識點四知識點三

互逆命題與互逆定理1.互逆命題:在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.2.互逆定理:如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.拓展歸納

(1)將一個命題的條件與結論互換,就得到這個命題的逆命題.相對于逆命題來說,原來的命題叫做原命題,原命題與逆命題是互逆的關系,因而是相對的,需要注意的是:原命題正確,逆命題不一定正確.(2)命題都有逆命題,但定理不一定有逆定理.知識點一知識點二知識點三知識點四例3

(1)寫出命題“如果a=b,那么a2=b2”的逆命題,并判斷是不是真命題;(2)寫出定理“對頂角相等”的逆命題,并判斷是不是原定理的逆定理.分析:(1)該命題的條件與結論很清楚,只要將條件與結論互換即可得逆命題,逆命題的真假可通過舉反例判斷出.(2)此題的條件與結論都是略寫的形式,要注意寫出的命題必須是完整的,不能簡單地說成“相等是對頂角”.解:(1)逆命題是如果a2=b2,那么a=b,不是真命題.(2)逆命題是如果兩個角相等,那么這兩個角是對頂角,這個命題是假命題,原以原定理沒有逆定理.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點四

直角三角形全等的判定兩個直角三角形全等除了應用一般三角形全等的判定方法外,還有特殊的判定定理.定理:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.這一定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”.拓展歸納

(1)“HL”是直角三角形所獨有的判定三角形全等的定理,對于一般三角形不成立.判定兩個直角三角形全等時,這兩個直角三角形已經(jīng)有一對直角相等的條件,只需找出另兩個條件即可.而這兩個條件中必須有一組邊對應相等,與一般三角形全等的情形一樣,只有三個角相等的兩個直角三角形不一定全等(它們是相似的).(2)直角三角形全等的判定,除了“HL”外,還可采用其他的判定方法,如“SAS”“ASA”“SSS”“AAS”等.知識點一知識點二知識點三知識點四例4

如圖所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,點F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度數(shù).分析:由于Rt△ABE和Rt△CBF具備斜邊、直角邊對應相等,所以可以利用“HL”判定這兩個三角形全等.第(2)題利用三角形角之間的關系求解.知識點一知識點二知識點三知識點四(1)證明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)解:∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°.∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.知識點一知識點二知識點三知識點四拓展點一拓展點二拓展點一

利用勾股定理解決圖形折疊問題例1

如圖,直角三角形紙片ABC,∠C=90°,AC=6,BC=8,折疊△ABC的一角,使點B與點A重合,展開得折痕DE,求BD的長.分析:由折疊知△ADE≌△BDE得到AD=BD,在Rt△ACD中,由勾股定理求AD的長.解:由折疊可知△ADE≌△BDE,AD=BD.設BD=x,則AD=x,CD=8-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,即62+(8-x)2=x2,拓展點一拓展點二拓展點一拓展點二拓展點二

添輔助線證直角三角形全等例2

如圖所示,已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F為垂足,求證:CF=DF.分析:通過添加輔助線,構造全等三角形,再通過證三角形全等得到線段相等.拓展點一拓展點二證明:如圖,連接AC,AD,在△ABC和△AED中,∵AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,∴△ABC≌△AED(SAS).∴AC=AD.∵AF⊥DC,∴∠AFC=∠AFD=90°.在Rt△ACF和Rt△ADF中,AC=AD,AF=AF,∴Rt△AFC≌Rt△AFD(HL).∴CF=DF.拓展點一拓展點二P15議一議第一個定理的條件和結論分別是第二個定理的結論和條件.第三個定理的條件和結論分別是第四個定理的結論和條件.所列的三組命題每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系.P16想一想答案逆命題為:“如果兩個有理數(shù)的平方相等,那么這兩個有理數(shù)也相等”.原命題是真命題,它的逆命題是假命題.P16隨堂練習1.解在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.∴AC=CB=3.2.證法1如圖,∵AD是BC邊上的中線,在△ABD中,∵AB=13

cm,AD=12

cm,BD=5

cm,∴AB2=AD2+BD2.∴△ABD為直角三角形.∴AD⊥BC.∴AB=AC=13

cm.5.(1)解AC=AE=BE,AD=BD,CD=DE=AD,∠CAD=∠BAD=∠B=30°,∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°,∠AED=∠BED=90°.(2)證明由折疊知:∠AED=∠C=90°,CD=ED.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(HL).(3)不能.證法2∵AD是BC邊上的中線,在△ABD中,∵AB=13

cm,AD=12

cm,BD=5

cm,∴AB2=AD2+BD2.∴△ABD為直角三角形.∴AD⊥BC.∴∠ADB=∠ADC=90°.∴△ADB≌△ADC(SAS).∴AB=AC.3.解(1)多邊形是四邊形,假命題,而原命題是真命題.(2)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行,這對命題都是真命題.(3)如果a=0,b=0,那么ab=0,原命題是假命題,其逆命題為真命題.習題1.51.解∵AB∥DC,∴∠BAD+∠ADC=180°.∴∠BAE+∠EAD+∠ADE+∠EDC=180°.∴25°+∠EAD+∠ADE+65°=180°.∴∠EAD+∠ADE=180°-25°-65°=90°.∴∠AED=180°-(∠EAD+∠ADE)=180°-90°=90°.∴AE⊥DE.∴△AED是直角三角形.2.解如圖,在Rt△ABC中,∵∠A=30°,3.解由題意,△DEB為直角三角形.∵∠BDE=30°,∴BD=2BE.用勾股定理有BE2+ED2=BD2=(2BE)2,∴BE2+302=4BE2,解得BE=10

≈17.32(m).∴樹高為BE+AD=17.32+1.52≈18.8(m).答:大樹高約18.8

m.4.解沒有.∵452+602=5

625≠4

900=702,∴這個三角形無直角.∴當長60

m的線段為南北向時,無東西向的邊.5.解如圖(1),將棱柱展開,則此時A與C‘在一個平面內(nèi),

P18問題答案在上一節(jié)我們已經(jīng)學過,兩邊分別相等且其中一組等邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.如果其中一組等邊所對的角是直角,那么可以判定它們?nèi)?P20隨堂練習1.解(1)假命題.如圖(1),在△ABC與△A'B'C'中,∠A=∠A'=90°,∠B=∠C=45°=∠B'=∠C',AB≠A'B',BC≠B'C',則Rt△ABC與Rt△A'B'C'不全等.(2)真命題.滿足AAS公理.(3)真命題.滿足SAS公理.(4)真命題.已知:如圖(2),在Rt△ABC與Rt△A'B'C'中,AC=A'C',AD,A'D'分別是BC,B'C'邊上的中線,且AD=A'D'.求證:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.證明:在Rt△ACD與Rt△A'C'D'中,∵AC=A'C',AD=A'D',∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).∴CD=C'D'.∵AD,A'D'分別是BC,B'C'邊上的中線,∴BC=B'C'.又∵AC=A'C',∠C=∠C'=90°,∴Rt△ABC≌△Rt△A'B'C'(SAS).2.答:相等.理由如下:∵AB=AC=12,∴△ABC是等腰三角形.又∵AO⊥BC,∴BO=OC(三線合一),∴兩木樁離旗桿底部的距離相等.習題1.61.證明∵D為BC的中點,∴BD=DC.又∵DE=DF,∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).∴∠B=∠C.∴AB=AC,即△ABC為等腰三角形.2.證明(1)∵AB=CD,BF=DE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴AF=CE.∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.(2)∵Rt△ABF≌Rt△CDE,∴∠A=∠C.∴AB∥CD.3.證明∵MP⊥OM,NP⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°.∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).∴∠MOP=∠NOP(全等三角形的對應邊相等),∴射線OP是∠AOB的平分線.4.解(1)真命題.情況一:兩條直角邊相等,加上直角,能滿足SAS,故全等.情況二:若是一條直角邊和一條斜邊相等,則滿足HL定理,也能全等.(2)真命題.滿足ASA或AAS定理.1.3線段的垂直平分線(2)本節(jié)課我們學習什么？1.掌握和證明三角形的三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理。2.已知底邊和底邊上的高，能用尺規(guī)作等腰三角形。ABCD回顧思考1.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判斷定理。2.線段的垂直平分線的作法。利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線做完之后，你發(fā)現(xiàn)了什么？用心做一做發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點．這一點到三角形三個頂點的距離相等．

剪一個三角形紙片通過折疊找出每條邊的垂直平分線。結論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點。實際操作，你又能發(fā)現(xiàn)什么？

怎樣證明這個結論呢?點撥：要證明三條直線相交于一點，只要證明其中兩條直線的交點在第三條直線上即可命題:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點。已知：如圖,在△ABC中,AB,BC的垂直平分線相交于點P,求證：點P也在AC的垂直平分線上證明：連接AP,BP,CP.∵點P在線段AB的垂直平分線上,∴PA=PB同理,PB=PC.∴PA=PC.∴點P在線段AB的垂直平分線上,∴AB,BC,AC的垂直平分線相交于一點.ABCP定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等。如圖,在△ABC中,∵c,a,b分別是AB,BC,AC的垂直平分線(已知),∴c,a,b相交于一點P,且PA=PB=PC(三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等).ABCPabc圖形語言文字語言數(shù)字符號語言這是一個證明三條直線交于一點的證明根據(jù)。開拓創(chuàng)新試一試1．分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；

鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外。開拓創(chuàng)新試一試2．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O求證：OA=OB=OC．

DCBAO證明：

∵AB=AC，AD是BC的中線，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)．又∵AB的垂直平分線與交于點O∴OB=OC=OA(三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等)．

動手做一做，小組議一議(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A

這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．(2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個.根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，只要作底邊的垂直平分線，取它上面除底邊的中點外的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．如圖所示，這些三角形不都全等．動手做一做，小組議一議(3)已知等腰三角形的底及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個？這樣的等腰三角形只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側．所以滿足這一條件的三角形是唯一確定的。你能嘗試著用尺規(guī)作出這個三角形嗎?動手做一做，小組議一議已知：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；

2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點；

3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點；

4．連接AB、AC

∴△ABC就是所求作的三角形NMDCBahA1.已知線段a，求作以a為底，以a/2為高的等腰三角形。溫馨提示:

先分析,作出示意圖形,再按要求去作圖.這個等腰三角形有什么特征?

快樂套餐a2.為籌辦一個大型運動會,某市政府打算修建一個大型體育中心.在選址過程中,有人建議該體育中心所在位置應當與該城市的三個城鎮(zhèn)中心(如圖中P,Q,R表示)的距離相等.

P●Q●R●P●Q●R●(1)(2)(1)根據(jù)上述建議,試在圖(1)中畫出體育中心G的位置；(2)如果這三個城鎮(zhèn)的位置如圖(2)所示,∠RPQ是一個鈍角,那么根據(jù)上述建議,體育中心G應在什么位置？(3)你對上述建議有何評論?你對選址有什么建議？快樂套餐1.證明了定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等。2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形ABCPabc回顧一下吧，本節(jié)課你學到了什么？Thankyou!第一章三角形的證明第2課時線段的垂直平分線（二）3線段的垂直平分線1.三角形三條邊的__________相交于一點，并且這一點到______________的距離相等.2.到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（）A.三條高的交點B.三條角平分線的交點C.三條邊的垂直平分線的交點D.三條中線的交點課前預習垂直平分線三角形三個頂點C3.下列說法正確的是（）A.三角形三條高的交點都在三角形內(nèi)B.三角形的角平分線是射線C.三角形三邊的垂直平分線不一定交于一點D.三角形三條中線的交點在三角形內(nèi)課前預習D課堂講練新知1三角形三條邊的垂直平分線交點的性質(zhì)典型例題證明:∵邊AB，BC的垂直平分線交于點P，∴PA=PB，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點P必在AC的垂直平分線上.【例1】如圖1-3-18，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點P，探究：點P是否也在邊AC的垂直平分線上.【例2】如圖1-3-20，在△ABC中，點O為邊AB，AC的垂直平分線的交點，請寫出∠BOC和∠A的數(shù)量關系.

課堂講練解：連接OA.∵點O為邊AB，AC的垂直平分線的交點，∴OA=OB=OC.∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA.∴∠OBA+∠OCA=∠A.在△ABC中，∠OBC+∠OCB=180°-（∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA）=180°-2∠A，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-2∠A）=2∠A，即∠BOC=2∠A.1.如圖1-3-19，在△ABC中，已知點D是BC的中點，且點D在AB的垂直平分線上.求證：點D也在AC的垂直平分線上.

模擬演練課堂講練證明：∵點D在AB的垂直平分線上，∴AD=BD.∵點D是BC的中點，∴BD=CD.∴AD=CD.∴點D也在AC的垂直平分線上.2.如圖1-3-21，在△ABC中，∠BAC=60°，BC和AC的垂直平分線交于點P，求∠BPC的度數(shù).課堂講練

解：∵BC和AC的垂直平分線交于點P，∴PA=PB=PC.∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠P