計(jì)算方法第八章線性方程組的解法計(jì)算方法課程組§8.0 引言

重要性：解線性代數(shù)方程組的有效方法在計(jì)算數(shù)學(xué)和科學(xué)計(jì)算中具有特殊的地位和作用。如彈性力學(xué)、電路分析、熱傳導(dǎo)和振動(dòng)、以及社會(huì)科學(xué)及定量分析商業(yè)經(jīng)濟(jì)中的各種問題。

求解線性方程組的求解方法，其中，。假設(shè)非奇異，則方程組有唯一解.§8.0 引言

分類：線性方程組的解法可分為直接法和迭代法兩種方法。直接法：對(duì)于給定的方程組，在沒有舍入誤差的假設(shè)下，能在預(yù)定的運(yùn)算次數(shù)內(nèi)求得精確解。最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的啟發(fā)。計(jì)算代價(jià)高.迭代法：基于一定的遞推格式，產(chǎn)生逼近方程組精確解的近似序列.收斂性是其為迭代法的前提，此外，存在收斂速度與誤差估計(jì)問題。簡(jiǎn)單實(shí)用,誘人?！?.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)

一、迭代法的基本思想

二、例題分析

三、Jacobi迭代公式與解f(x)=0的不動(dòng)點(diǎn)迭代相類似，將AX=b改寫為X=BX+f的形式，建立雅可比方法的迭代格式：其中，B稱為迭代矩陣。其計(jì)算精度可控，特別適用于求解系數(shù)為大型稀疏矩陣(sparsematrices)的方程組。§8.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)迭代法的基本思想

問題:(a)如何建立迭代格式？(b)向量序列{x(k)

}是否收斂以及收斂條件?2例題分析:

其準(zhǔn)確解為X*={1.1,1.2,1.3}。考慮解方程組

(1)3.1Jacobi迭代法2例題分析:

建立與式(1)相等價(jià)的形式：

(2)其準(zhǔn)確解為X*={1.1,1.2,1.3}。考慮解方程組

(1)3.1Jacobi迭代法2例題分析:

其準(zhǔn)確解為X*={1.1,1.2,1.3}。建立與式(1)相等價(jià)的形式：考慮解方程組取迭代初值據(jù)此建立迭代公式：

迭代兇結(jié)果閑如下懼表：迭代次數(shù)x1

x2

x3000010.720.830.8420.9711.071.1531.0571.15711.248241.085351.185341.2828251.0950981.1950991.29413861.0983381.1983371.29803971.0994421.1994421.29933581.0998111.1998111.29977791.0999361.1999361.299924101.0999791.1999791.299975111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997131.0999991.1999991.299999141.11.21.3151.11.21.3設(shè)方像程組AX枯=b欺,通過西分離鏟變量纖的過角程建埋立Ja或co賠bi迭代豬公式翠，即由此抱我們閃可以蛇得到Ja俘co亮bi迭代罪公式：§8.蘿1Ja國(guó)co艙bi迭代尋公式雅可考比迭羨代法安的矩月陣表忌示寫成昌矩陣裙形式阻：A=LUDBJa尋co汁bi迭代惑陣§8惰.2高斯-塞德張爾迭提代法(A飽X=美b)注意哈到利食用Ja抱co開bi迭代鬧公式計(jì)算時(shí)，迎已經(jīng)蘆計(jì)算印好了的值牙，而Ja惜co部bi迭代壟公式方并不別利用膏這些延最新涼的近映似值鐘計(jì)算且，仍用這啟發(fā)我們可以對(duì)其加以改進(jìn),即在每個(gè)分量的計(jì)算中盡量利用最新的迭代值，得到上式稱為Gauss-Seidel迭代法.…悅…代…掛…寫成矩陣可形式立：BGa倆us媽s-皂Se正id早el迭代襲陣§8.亭2高斯-塞德涼爾迭統(tǒng)代法其準(zhǔn)暮確解姨為X*={拍1.并1,堅(jiān)1鄭.2氧,投1.嬌3}?？紤]梳解方漆程組高斯-塞德閥爾迭畝代法護(hù)算例高斯-塞德徑爾迭繭代格驢式迭代次數(shù)

x1

x2

x3

000010.720.9021.164421.043081.1671881.28205431.093131.1957241.29777141.0991261.1994671.29971951.099891.1999331.29996561.0999861.1999921.29999671.0999981.1999991.29999981.11.21.3開始TFTFT逐次治超松做弛迭燒代法(Su屑cc瞎es銅si叨ve宇O蹤蝶ve恭r泰Re誕la蒙xa礦ti深onMe慚th脾od，簡(jiǎn)文寫為SO牌R)可以播看作功帶參曾數(shù)ω的高外斯-塞德爾迭沈代法吉，是G-伐S方法饒的一圣種修寇正或牌加速當(dāng)，是寸求解鏡大型稀納疏矩猛陣方技程組眼的有好效方罰法之忌一。§8礙.3超松叨馳迭飲代法SO籃R方法1.喪SO皮R基本陵思想設(shè)方視程組AX=b含,其中衰，A=調(diào)(aij)為非砍奇異遣陣，x=(x1,x2,拐…,xn)T,熟b能=(b1,b2,勉…,bn)T.假設(shè)抖已算由出x(k)，§8帶.3超松套馳迭猜代法SO悟R方法2.倦SO寸R算法貫的構(gòu)捷造ω稱為戀松弛秤因子利用漆高斯-塞德集爾迭謎代法艱得:§8鎖.3超松雄馳迭千代法SO遮R方法2.薪SO廊R算法緞的構(gòu)稅造(基于G-腥S迭代)解方飛程組AX=b的逐壯次超壩松弛口迭代址公式第：顯然健，當(dāng)爽取ω=1時(shí)，廁上式跑就是酬高斯-塞德者爾迭晶代公別式.§8禍.3超松蛋馳迭兔代法SO受R方法2.稠SO甚R算法鐘的構(gòu)譽(yù)造(基于Ja嚇co故bi迭代)得到誼解方浪程組AX=b的逐哭次超擇松弛凝迭代鬧公式俱：顯然厘，上腸式就令是基于Ja址co句bi迭代從的SO鴿R方法.下面微令暫，希望刮通過襪選取街合適影的來加悲速收困斂，印這就常是松弛毅法。3.洗SO靜R算法擾的進(jìn)單一步割解釋SO痕R方法其中ri(k+1)=相當(dāng)于在的基礎(chǔ)上加個(gè)余項(xiàng)生成。0<<1低松弛法=1Gauss-Seidel法2>>1(漸次)超松弛法利用SO尚R方法解方帥程組SO第R例題麥分析:其準(zhǔn)報(bào)確解住為x*={自1,銷1甲,鳴2}淺.建立憐與式(1速)相等世價(jià)的律形式諸：據(jù)此叮建立G-勇S迭代鋪公式姜：取迭騾代初采值:,ω=1械.5蝴,迭代嬸結(jié)果限如下粉表.SO排R迭代協(xié)公式趟為：GS迭代獄法須哥迭代85次得訴到準(zhǔn)灘確值x*={赤1,鄙1且,聞2}賴;而SO佛R方法衫只須55次即辮得準(zhǔn)屋確值.由此稼可見愛，適徐當(dāng)?shù)仫曔x擇獻(xiàn)松弛因子ω，SO煌R法具柴有明顯竄的加秋速收京斂效膊果.

逐次超松弛迭代法次數(shù)x1

x2

x310.6250000.0625001.75000020.3906250.8828131.46875031.0175780.5166021.80859440.5568850.8809811.71044951.0237120.7434231.868103…………

150.9915210.9853181.987416…………250.9985960.9982341.998355…………551.000001.00002.0000關(guān)于SO村R方法嫁的說風(fēng)明：顯然國(guó)，當(dāng)削時(shí)，SO漁R方法稍就是Ga追us擾s-財(cái)S殖ei互de爐l方法霜。SO培R方法甲每一蒜次迭杏代的廟主要熟運(yùn)算割量是研計(jì)算嗎一次副矩陣顧與向輔量的拘乘法月。時(shí)稱纏為超卵松弛夏方法君，靜時(shí)稱竄為低墊松弛追方法宣。計(jì)算壘機(jī)實(shí)掌現(xiàn)時(shí)告可用控制壺迭代仰終止烤，或毀用SO康R方法擋可以碑看成帥是Ga騾us振s-踩Se拆id黃el方法執(zhí)的一次種修鋪正。（迭護(hù)代法賠基本段定理怪）設(shè)有抵方程候組隨，對(duì)睬于任獲意的齒初始怨向量現(xiàn)，迭藥代公件式株收斂紀(jì)的充步要條好件是亮迭代矩紹陣腿的譜售半徑.8.謊4迭代掠法的舒收斂殲性-充要擊條件迭代坐法的刻基本神定理驗(yàn)在理妻論分困析中捆有重寶要意壁義。定理2：設(shè)X*是方身程組AX工=爸b的同究解方席程X=霧BX拆+館F的準(zhǔn)雄確解，若迭抹代公冬式中巖迭代培矩陣B的某據(jù)種范塌數(shù)，(1)(2)則有在具體使用上，由于，因此，我們利用范數(shù)可以建立判別迭代法收斂的充分條件。

關(guān)于稱解某汪些特筋殊方盲程組慰迭代愚法的柴收斂刊性定義父：(對(duì)角宋占優(yōu)鋸陣)設(shè)(1朗)如果賀元欠素滿創(chuàng)足稱挨為嚴(yán)格帥對(duì)角買占優(yōu)律陣(2臂)如果孔元遲素滿洗足且上翼式至旦少有討一個(gè)常不等熟式嚴(yán)誤格成蝕立，稱的為弱對(duì)找角占掌優(yōu)陣。設(shè)喜，釋如果煌：為嚴(yán)須格對(duì)溫角占準(zhǔn)優(yōu)，楊則解傷的Ja牛co依bi迭代除法，Ga纏us煌s-報(bào)Se診id鄰el迭代汪法均獎(jiǎng)收斂答。Se倚id疫el迭代照格式勇為從式斗中解容