初中數(shù)學一元一次不等式與不等式組知識拓展與提高本節(jié)要點：1、一元一次不等式（組）及其相關(guān)概念；2、不等式的性質(zhì)、一元一次不等式（組）的解法及其解集的幾何表示；3、利用一元一次不等式分析，解決實際問題；4、一元一次不等式與不等式組知識拓展與提高.考點鏈接：本章內(nèi)容是中考必考內(nèi)容，主要考查一元一次不等式（組）的解法，利用一元一次方程（組）解決實際問題，單獨命題較簡單，常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，有時與方程（組），函數(shù)知識等綜合命題.知識鞏固：一、不等式：1、定義：利用不等號表示大小關(guān)系的式子；2、含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1的不等式，叫做一元一次不等式；3、在列不等式時，要注意理解文字中的一些關(guān)鍵詞的含義；4、解不等式時，注意確定運算順序；5、不等式解集：一般地，一個含未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集；6、用數(shù)軸（通常取向右為正方向）表示不等式解集，應注意：大于向右畫，小于向左畫，有等號畫實心點，無等號畫空心點.二、不等式的性質(zhì)：1、性質(zhì)1：不等式兩邊同時加上（或減去）相等的數(shù)或式子，不等號方向不變；若a>b那么有a±c>b±c；2、性質(zhì)2：等式兩邊同時乘（或除）同一個正數(shù)，不等號方向不變；若a>b，c>0那么有a·c>b·c或a÷c>b÷c；3、性質(zhì)3：等式兩邊同時乘（或除）同一個負數(shù)，不等號方向改變；若a>b，c<0那么有a·c<b·c或a÷c<b÷c；注：（1）在運用不等式性質(zhì)時，等式兩邊都要參加運算，且是同一種運算；（2）不等式兩邊同加或減，乘或除以的數(shù)或式子一定是同一個數(shù)或同一個式子；（3）注意性質(zhì)3，區(qū)別于等式，不等式在進行乘除運算時需注意，乘或除以的數(shù)或式子的正負問題；三、解一元一次不等式：（類比一元一次方程解法步驟）1、移項與合并同類項：（1）把不等式的一邊某項變號后移到另一邊的過程叫做移項；（2）移項的依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)；（3）移項的作用：通過移項使含未知數(shù)的項和常數(shù)項分別位于等式左右兩邊，使不等式更接近x>或<a（a為常數(shù)）的形式；（4）合并同類項的依據(jù)：乘法分配律；（5）合并同類項的作用：是一種恒等變形，起到“化簡”的作用，使不等式變的更簡單.2、去括號與去分母：（1）去分母：在不等式兩邊各乘以分母的最小公倍數(shù)（防止漏乘，注意整數(shù)項）（2）去括號：先小后中再大（指括號），（括號前面是+號，直接去，括號前是-，括號里面每一項都要變號）3、化系數(shù)為1：不等式兩邊同時除以未知數(shù)前面的系數(shù)，注意不等號是否要變化.四、一元一次不等式（組）與實際問題：1、步驟：審題——設未知數(shù)——找不等關(guān)系——列不等式（組）——解不等式（組）——檢驗——答；2、解決實際問題時，求出不等式的解集后，要結(jié)合問題的實際背景，從解集中找出符合題意的答案.知識拓展與提高：一、三角形中的不等式（一）三角形三邊之間的不等式1、探求第三邊長度的可能值【例題1】若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能是（）A．6B．3C．2D．11分析：三角形的三邊滿足兩個基本不等式：（1）兩邊之和大于第三邊；（2）兩邊之差小于第三邊.設三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，則有|a-c|＜b＜a+c.把第三邊的長度設為x，這樣就得到x的取值范圍，從而確定需要的答案.解：設第三邊的長度x，根據(jù)題意，得7-3＜x＜3+7，整理，得4＜x＜10，只有6滿足條件，所以選擇A.點評：確定第三邊的取值范圍是解題的關(guān)鍵.2、尋找存在的三角形【例題2】下列每組數(shù)分別是三根木棒的長度，能用它們擺成三角形的（）A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm分析：3+4＜8，不滿足兩邊之和大于第三邊，所以A不正確；8+7=15，不滿足兩邊之和大于第三邊，所以B不正確；5+5＜11，不滿足兩邊之和大于第三邊，所以C不正確.解：選D.點評：熟記三角形存在的條件是解題的關(guān)鍵.3、確定差的最大值【例題3】三角形ABC中，三邊長分別為a,b,c，且b=12，a,c都是正整數(shù)，設t=a-c，求t的最值.分析：解答時，需要分a＜c和a＞c兩種情況加以求解.解：因為三角形的第三邊長為12，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得12＞|a-c|,當a＞c時，12＞a-c,因為a,c都是正整數(shù)，所以a-c≤11，所以t有最大值,且為11；當a＜c時，12＞-（a-c）,因為a,c都是正整數(shù)，所以a-c≥-11，所以t有最小值,且為-11.點評：學會分類的思想是解題的關(guān)鍵.4、確定周長為定值的三角形個數(shù)【例題4】三角形ABC中，三邊長分別為a,b,c，且a＞b＞c，若a,b，c都是正整數(shù)，三角形ABC的周長為18，求符合條件的三角形個數(shù).分析：解答時，要注意三角形三邊關(guān)系定理應用，及不等式性質(zhì)的應用和簡單枚舉法的應用.解：因為三角形ABC的周長為18，且a＞b＞c，所以a+b+c=18,a+b+c＞3c，所以c＜6，因為c是正整數(shù)，所以c=1或c=2或c=3或c=4或c=5，因為a+b=18-c,a＞b,所以a+b＞2b,所以18-c＞2b，所以b＜9-c/2,因為a-b＜c,所以18-c-b-b＜c,所以b＞9-c，所以b的取值范圍是：9-c＜b＜9-c/2,當c=1時，8＜b＜8.5，因為b是正整數(shù)，此時無解；當c=2時，7＜b＜8，因為b是正整數(shù)，此時無解；當c=3時，6＜b＜7.5，因為b是正整數(shù)，所以b=7,此時a=8；當c=4時，5＜b＜7，因為b是正整數(shù)，所以b=6,此時a=8；當c=5時，4＜b＜6.5，因為b是正整數(shù)，所以b=5,a=8或b=6,a=7,所以符合條件的三角形一共有4個.點評：準確建立不等式是解題的關(guān)鍵.（二）三角形中線段之間的不等式1、根據(jù)垂線段最短確定不等式【例題5】

如圖1，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則下列結(jié)論不正確的是（）A．AB＞ADB．AC＞CDC．BC＞ACD．AD+BD＞DC分析：根據(jù)直角三角形中，斜邊大于任何直角邊進行判斷.解：選D.點評：熟記直角三角形中，斜邊大于任何直角邊是解題的關(guān)鍵.2、根據(jù)三角形的面積是定值確定不等式【例題6】在△ABC中，三邊長分別為a,b,c，且a＞b＞c，若a,b，c上的高分別是h1，h2，h3，則h1，h2,h3之間的大小關(guān)系是

.分析：不妨設三角形ABC的面積為S，根據(jù)題意，得用S，a,b,c分別表示h1，h2，h3，利用a＞b＞c，進行推理即可.解：設三角形ABC的面積為S，根據(jù)題意，得所以h1=2S/a,h2=2S/b,h3=2S/c,因為a＞b,ab＞0，同理可證h2＜h3，所以h1，h2，h3之間的大小關(guān)系是h1＜h2＜h3.點評：用三角形的面積搭橋，借助不等式的基本性質(zhì)變形，比較大小是解題的核心要領(lǐng).（三）三角形中角之間的不等式1、根據(jù)外角和內(nèi)角的關(guān)系，確定不等式【例題7】

如圖2，在△ABC中，∠A=78°，∠ACD=x°，則x不可能的值是（）A.77°B.100°C.80°D.120°分析：根據(jù)三角形的外角大于任何不相鄰的內(nèi)角，建立起x＞78的不等式，接下來的判斷就輕松了.解：選A.點評：根據(jù)三角形的外角大于任何不相鄰的內(nèi)角，建立不等式是解題的關(guān)鍵.2、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求角的最大值【例題8】

在△ABC中，已知∠A＜∠B＜∠C，且∠A，∠B，∠C的度數(shù)都是正整數(shù)，則∠A的最大值為

.分析：通過消元法，把不等式轉(zhuǎn)化為一個角的不等式是求解的關(guān)鍵.解：因為∠A＜∠B＜∠C，且∠A，∠B，∠C的度數(shù)都是正整數(shù)，所以∠B≥∠A+1，∠C≥∠B+1，所以∠C≥∠A+2，因為∠A+∠B+∠C=180°，所以180°≥∠A+∠A+1+∠A+2，所以∠A≤59°，所以∠A的最大值為59°.點評：注意正整數(shù)這個條件的意義是解題的關(guān)鍵.二、不等式中的數(shù)學思想1、轉(zhuǎn)化思想【例題1】

直線y=kx+3經(jīng)過點A（2，1），則不等式kx+3≥0的解集是（）A．x≤3B．x≥3C．x≥﹣3D．x≤0分析：解答時，我們的基本思路是：①

根據(jù)點與直線解析式的關(guān)系確定k的值把點A（2，1）代入y=kx+3中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的一元一次方程，解方程可得k的值；②

確定一元一次不等式：把k值代入不等式kx+3≥0，把抽象的不等式轉(zhuǎn)化為具體的一元一次不等式；③

正確求解，可得解集.解：因為y=kx+3經(jīng)過點A（2，1），所以1=2k+3，解得：k=﹣1，所以一次函數(shù)解析式為：y=﹣x+3，所以不等式kx+3≥0變形為﹣x+3≥0，解得：x≤3．所以選A．點評：熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵.2、數(shù)形結(jié)合思想【例題2】如圖1，直線y＝x＋b與直線y＝kx＋6交于點P(3，5)，則關(guān)于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________．分析：不等式的解集實質(zhì)就是函數(shù)自變量的取值范圍，當x＋b=kx＋6時，自變量的值就是交點坐標橫坐標，然后根據(jù)解析式確定的不等式，確定自變量取值是從交點開始向右變化取值，還是向左變化取值，從而確定不等式的解集，這里數(shù)形結(jié)合的思想是要熟練掌握的.解：因為交點坐標的橫坐標為3，所以不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3.點評：利用數(shù)形結(jié)合的思想，判斷圖形的位置，是確定解集的關(guān)鍵.【例題3】如圖2，將函數(shù)y＝2x＋b（b為常數(shù)）的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后，所得的折線是函數(shù)y＝|2x＋b|（b為常數(shù)）的圖象．若該圖象在直線y＝2下方的點的橫坐標x滿足0＜x＜3，則b的取值范圍為_________．分析：解答時，把握問題的全面，找到所有的界點，確保所得到的范圍全面準確.首先要確保自變量的范圍，令y=0即得到x=-b/2，根據(jù)x滿足0＜x＜3，可建立不等式0＜-b/2＜3；其次要考慮到x=0和x=3時，所對應的函數(shù)值的要求，都必須滿足大于等于2，這樣才能保證圖象在直線y＝2下方的點的橫坐標x滿足0＜x＜3，這樣有建立不等式組，求解不等式組即可.解：根據(jù)題意：列出不等式所以b的范圍是-4≤b≤-2.點評：充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的威力，結(jié)合題意建立不等式組是解題的關(guān)鍵.3、一般與特殊思想中，滲透方程思想【例題4】任取不等式組的一個整數(shù)解，則能使關(guān)于x的方程：2x＋k=-1的解為非負數(shù)的概率為______．分析：不等式的特解問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學中一般與特殊的思想，同時滲透了方程的思想，是問題顯得更豐富多彩，展示了數(shù)學的魅力.解：其整數(shù)解為k=-2，-1，0，1，2，3．其中，當k=-2，-1時，方程2x＋k=-1的解為非負數(shù)．所以所求概率為P=2/6=1/3.點評：利用數(shù)學思想確定不等式的特解是解題的一個關(guān)鍵點，其次利用方程的思想，確定符合題意的方程的解是解題的第二個關(guān)鍵點.4、建模思想中，滲透分類思想【例題5】某商店購買60件A商品和30件B商品共用了1080元，購買50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B兩種商品的單價分別是多少元？（2）已知該商店購買B商品的件數(shù)比購買A商品的件數(shù)的2倍少4件，如果需要購買A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件，且該商店購買的A、B兩種商品的總費用不超過296元，那么該商店有哪幾種購買方案？分析：第一問：解答時，需要同學們利用方程組的建模思想來完成求解.設A種商品的單價為x元、B種商品的單價為y元，根據(jù)等量關(guān)系：①購買60件A商品的錢數(shù)+30件B商品的錢數(shù)=1080元，②購買50件A商品的錢數(shù)+20件B商品的錢數(shù)=880元分別列出方程，聯(lián)立求解即可．第二問：解答時，需要利用不等式組的建模思想來求解，方案數(shù)量，取決于不等式組的整數(shù)解的個數(shù).具體思路如下：設購買A商品的件數(shù)為m件，則購買B商品的件數(shù)為（2m﹣4）件，根據(jù)不等關(guān)系：①購買A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件，②購買的A、B兩種商品的總費用不超過296元可分別列出不等式，聯(lián)立求解可得出m的取值范圍，進而確定不等式組的整數(shù)解，借助分類討論的方法，自然就確定方案．解：（1）設A種商品的單價為x元、B種商品的單價為y元，由題意得：答：A種商品的單價為16元、B種商品的單價為4元．（2）設購買A商品的件數(shù)為m件，則購買B商品的件數(shù)為（2m﹣4）件，由題意得：因為m是整數(shù)，所以m=12或13，所以有如下兩種方案：方案一：m=12，2m﹣4=20即購買A商品的件數(shù)為12件，則購買B商品的件數(shù)為20件；方案二：m=13，2m﹣4=22即購買A商品的件數(shù)為13件，則購買B商品的件數(shù)為22件．點評：對于方案問題，同學們可以牢固建立起這樣的一個鏈接：方案不等式組的整數(shù)解，在這種思想的指導下，建立不等式組模型將是解題的關(guān)鍵.三、用基本不等式巧求生活中的最值問題不等式是初中數(shù)學學習的重要內(nèi)容，也是中考重要考點之一，它在探求最值領(lǐng)域也有不凡的表現(xiàn).1、最省錢的購買方式【例題1】一家游泳館的游泳收費標準為30元/次，若購買會員年卡，可享受如下優(yōu)惠：例如，購買A類會員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費50+25×20=550元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45～55次之間，則最省錢的方式為（）A.購買A類會員年卡B.購買B類會員年卡C.購買C類會員年卡D.不購買會員年卡分析：假設游泳的次數(shù)為x，分別表示四種購買方式的費用，然后根據(jù)次數(shù)的特殊解：45≤x≤55，通過作差比較的方式確定出最省錢的購買方式.解：設游泳的次數(shù)為x，則不購買會員卡要支付的費用為30x元，購買A類會員卡需要支付的費用為(25x+50)元，購買B類會員卡需要支付的費用為(20x+200)元，購買C類會員卡需要支付的費用為(15x+400)元，因為會員卡一定是優(yōu)惠的，所以不購買會員卡一定是支付費用最多的；因為(25x+50)-(20x+200)=5x-150,45≤x≤55，所以225≤5x≤275，所以225-150≤5x-150≤275-150即75≤5x-150≤125，所以5x-150＞0，所以(25x+50)＞(20x+200)，所以A類費用比B類的高；因為(20x+200)-(15x+400)=5x-200,45≤x≤55，所以225≤5x≤275，所以225-200≤5x-200≤275-200即25≤5x-15≤75，所以5x