二十四雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.雙曲線2x2-y2=8的實軸長是 () QUOTE QUOTE【解析】選C.將雙曲線化成標準形式為QUOTE-QUOTE=1,得2a=4.2.已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y+2QUOTEx=0,則雙曲線C的離心率為 () B.QUOTE QUOTE 【解析】選A.由雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y+2QUOTEx=0,得QUOTE=2QUOTE,所以b2=8a2.所以c2-a2=8a2.所以e=QUOTE=3.3.雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且C經(jīng)過點A(2,QUOTE),則雙曲線C的方程為 ()2-y2=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=1【解析】選A.由雙曲線C的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線為等軸雙曲線,即a=b,雙曲線C:x2-y2=a2,將A(2,QUOTE)代入雙曲線方程,解得a=1,所以雙曲線的標準方程為x2-y2=1.4.設(shè)F1,F2是雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則C的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,則|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,則∠PF1F2是△PF1F2的最小內(nèi)角,為30°,所以|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos30°,所以(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×QUOTE,化為e2-2QUOTEe+3=0,解得e=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.與雙曲線x2-QUOTE=1有共同的漸近線,且過點(2,2)的雙曲線的標準方程是.

【解析】依題意設(shè)雙曲線的方程為x2-QUOTE=λ(λ≠0),將點(2,2)代入求得λ=3,所以所求雙曲線的標準方程為QUOTE-QUOTE=1.答案:QUOTE-QUOTE=16.已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1的離心率是QUOTE,則n=.

【解析】由題意知雙曲線QUOTE-QUOTE=1的離心率是QUOTE.若雙曲線的焦點坐標在y軸上,可得:QUOTE=QUOTE,解得n=12,若雙曲線的焦點坐標在x軸上,可得:QUOTE=QUOTE,n=-6.答案:-6或12三、解答題(每小題10分,共20分)7.焦點在x軸上的等軸雙曲線的焦點到漸近線的距離是QUOTE,求此雙曲線的標準方程.【解析】設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2(a>0),則它的漸近線方程為y=±x,焦點坐標為(QUOTEa,0),(-QUOTEa,0).所以QUOTE=QUOTE,a=QUOTE.所以雙曲線的標準方程為QUOTE-QUOTE=1.8.設(shè)雙曲線QUOTE-QUOTE=1(b>a>0)的半焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點.已知原點到直線l的距離為QUOTEc,求雙曲線的離心率.【解析】直線l的方程為QUOTE+QUOTE=1,即bx+ay-ab=0,于是有QUOTE=QUOTEc,即4ab=QUOTEc2,兩邊平方得,16a2b2=3c4,所以16a2(c2-a2)=3c4,3c4-16a2c2+16a4=0,即3e4-16e2+16=0,解得e2=4或e2=QUOTE,因為b>a>0,所以QUOTE>1,e2=QUOTE=1+QUOTE>2,故e2=4,所以e=2.(15分鐘·30分)1.(5分)已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,則雙曲線C的漸近線方程為 ()A.y=±QUOTEx B.y=±QUOTExC.y=±QUOTEx D.y=±x【解析】選C.已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,故有QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得QUOTE=QUOTE.故雙曲線C的漸近線方程為y=±QUOTEx.2.(5分)雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y-1=0垂直,則雙曲線的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE+1【解析】QUOTE=2,所以e=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(5分)若橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,則雙曲線QUOTE-QUOTE=1的漸近線方程為.

【解析】因為e=QUOTE=QUOTE,不妨設(shè)a=4,c=1,則b=QUOTE,所以對應(yīng)雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx=±QUOTEx.答案:y=±QUOTEx4.(5分)已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率是QUOTE,左右焦點分別是F1,F2,過F2且與x軸垂直的直線交雙曲線于A,B兩點,則其漸近線方程是,∠AF1F2=.

【解析】由題意知,QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE=3,即QUOTE=QUOTE.則雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx;如圖,不妨設(shè)A在第一象限,則|F2A|=QUOTE,|F1F2|=2c,所以tan∠AF1F2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE×2=QUOTE.所以∠AF1F2=QUOTE.答案:y=±QUOTExQUOTE5.(10分)已知F1,F2分別是雙曲線E:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P是雙曲線上一點,F2到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍.(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)當∠F1PF2=60°時,△PF1F2的面積為48QUOTE,求此雙曲線的方程.【解析】(1)因為雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,則點F2到漸近線距離為QUOTE=b(其中c是雙曲線的半焦距),2+b2=c2,解得b=QUOTEa,故所求雙曲線的漸近線方程是4x±3y=0.(2)因為∠F1PF2=60°,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2①.又由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2②,①②相減得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.根據(jù)三角形的面積公式得S=QUOTE|PF1|·|PF2|sin60°=QUOTE·4b2=QUOTEb2=48QUOTE,得b2=48.再由(1)得a2=QUOTEb2=27,故所求雙曲線方程是QUOTE-QUOTE=1.1.設(shè)雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,頂點到一條漸近線的距離為1,則雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為 () B.QUOTE QUOTE 【解析】選B.因為雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,所以漸近線方程為y=±x,所以a=b.因為頂點到一條漸近線的距離為1,所以QUOTEa=1,所以a=b=QUOTE,所以雙曲線C的方程為QUOTE-QUOTE=1,焦點坐標為(-2,0),(2,0),所以雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為d=QUOTE=QUOTE.2.已知F1,F2分別為雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上的任意一點,當QUOTE取最小值時,求雙曲線的離心率e的取值范圍.【解析】因為雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2,P為雙曲線右支上的