本章整合專題一專題二專題三專題一

求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,只要有數(shù)列的通項(xiàng)公式,許多問題就可迎刃而解.如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則可直接寫出其通項(xiàng)公式,而對(duì)于非等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可通過適當(dāng)?shù)淖冃巍?gòu)造使之成為等差或等比數(shù)列來求解.因此數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的關(guān)鍵,現(xiàn)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征把常見求解方法和技巧總結(jié)如下.專題一專題二專題三1.觀察法應(yīng)用1

已知數(shù)列,…,則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是

.

提示:已知數(shù)列的前若干項(xiàng),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),一般先對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析,尋找規(guī)律,從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.專題一專題二專題三2.定義法應(yīng)用2

等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,S5=.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.提示:本題已知{an}是等差數(shù)列,可建立首項(xiàng)和公差的方程,通過解方程來求得首項(xiàng)和公差,再代入通項(xiàng)公式得其解.專題一專題二專題三3.Sn法應(yīng)用3

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.提示:本題已知Sn的表達(dá)式,自然想到使用公式求解.解:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,當(dāng)n=1時(shí)也適用,則{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-2.設(shè){bn}的公比為q,則b2(a2-a1)=b1qd=b1,專題一專題二專題三4.累加法應(yīng)用4

已知在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.提示:由于本題給出了數(shù)列{an}中連續(xù)兩項(xiàng)的差,故可考慮用累加法求解.解:由an+1-an=3n-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),……a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.當(dāng)n≥2時(shí),以上(n-1)個(gè)等式兩端分別相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],專題一專題二專題三專題一專題二專題三5.迭乘法應(yīng)用5

已知在數(shù)列{an}中,a1=,前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是Sn=n(2n-1)an,求an.提示:此題已知Sn與an的關(guān)系,應(yīng)想到使用Sn法,然后得到相鄰兩項(xiàng)比的等式滿足an=an-1f(n)這種模型,因此使用迭乘法求解.解:當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=n(2n-1)an,得Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1,兩式相減,得(2n+1)an=(2n-3)an-1,專題一專題二專題三專題一專題二專題三6.輔助數(shù)列法應(yīng)用6

在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.提示:對(duì)于an+1=pan+q這一類型的遞推關(guān)系式,常用配常數(shù)法求通項(xiàng)公式.設(shè)an+1+k=p(an+k),對(duì)比遞推關(guān)系式,可得k=,構(gòu)造出等比數(shù)列{an+k}.專題一專題二專題三專題二

數(shù)列的求和問題我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列,并熟悉了有關(guān)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,然而有些數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,像這樣的數(shù)列求和常涉及分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法.在求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí),要掌握以下幾種常用的方法:1.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法應(yīng)用1

求和:Sn=12-22+32-42+52-62+…+992-1002.提示:根據(jù)條件可知,前后兩項(xiàng)相互結(jié)合,利用公式化簡求值得出和.解:由平方差公式,得Sn=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…+(99-100)(99+100)=-[(1+2)+(3+4)+(5+6)+…+(99+100)]=-(1+2+3+4+…+100)專題一專題二專題三2.倒序相加法

提示:由于數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和為常數(shù)1,故采用倒序相加法求和.專題一專題二專題三3.拆項(xiàng)分組求和法

提示:本題通項(xiàng)公式為an=+(3n-2),是由一個(gè)指數(shù)式和一個(gè)一次式的和組成的,可以選擇拆項(xiàng)分組求和法.專題一專題二專題三4.錯(cuò)位相減法應(yīng)用4

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;提示:(1)利用定義法列出關(guān)于a1與d的方程組即可求出an;(2)利用錯(cuò)位相減法.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知條件,專題一專題二專題三專題一專題二專題三5.裂項(xiàng)相消求和法

專題一專題二專題三專題三

數(shù)列與數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想方法對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)起著重要作用,是重要的基礎(chǔ)知識(shí),是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.求解數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)思想、方程思想、整體思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等.1.函數(shù)思想應(yīng)用1

等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=14,前n項(xiàng)和為Sn,若S3=S5,則當(dāng)n=

時(shí),Sn最大.

提示:本題利用了等差數(shù)列前n項(xiàng)和具有的二次函數(shù)性質(zhì),等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題經(jīng)常借助求解二次函數(shù)最值的方法來解決.專題一專題二專題三答案:4專題一專題二專題三2.方程思想應(yīng)用2

已知在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=26,a1+a5-S3=5,求a20及S20.提示:等差(比)數(shù)列的有關(guān)問題大都可以通過建立關(guān)于a1,d(q)的方程組求解.專題一專題二專題三3.整體思想應(yīng)用3

某等差數(shù)列前4項(xiàng)之和為-4,最后4項(xiàng)之和為36,且所有項(xiàng)的和為36,則此數(shù)列共有

項(xiàng).

提示:解題時(shí),分析已知條件與所求問題的聯(lián)系,把a(bǔ)1+a2+a3+a4以及an+an-1+an-2+an-3看成一個(gè)整體,靈活運(yùn)用整體思想.答案:9專題一專題二專題三4.分類討論思想應(yīng)用4

已知等比數(shù)列{an}是一個(gè)公比為q的遞增數(shù)列,且a5=a,a9=,則該數(shù)列的首項(xiàng)a1

0.(填“>”或“<”)

提示:當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí),需要對(duì)這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分類討論.在本題中,由于等比數(shù)列的增減性與a1,q相關(guān),所以應(yīng)對(duì)q的取值進(jìn)行討論.答案:<12345678910111(課標(biāo)全國Ⅱ高考)等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=(

)

答案:A12345678910112(福建高考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于(

)A.8 B.10 C.12 D.14所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故選C.答案:C12345678910113(遼寧高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若數(shù)列

為遞減數(shù)列,則(

)A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0答案:C12345678910114(大綱全國高考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=(

)A.31 B.32 C.63 D.64解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.答案:C12345678910115(安徽高考)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=

.

解析:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a1=a3-2d,a5=a3+2d,由題意,得(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,所以d=-1,則a1+1=a3+3,故q=1.答案:112345678910116(北京高考)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=

時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大.

解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10=a8+a9<0,故a9<0.所以數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和最大.答案:812345678910117(天津高考)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為

.

解析:由已知,得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-.12345678910118(江西高考)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(2)若bn=3n-1,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)因?yàn)閍nbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以數(shù)列{cn}是以首項(xiàng)c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相減得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.12345678910119(湖北高考)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.(1)解:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時(shí),an=2;當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)·4=4n-2,從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.1234567891011(2)證明:當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n.顯然2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n;當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41.123456789101110(課標(biāo)全國Ⅰ高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,