湖南省益陽市慶云山中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數（）滿足，且時，，已知函數，則函數在區(qū)間內的零點的個數為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：分別作出函數與的圖象，由圖象可知函數在區(qū)間內的零點的個數為8個.考點：函數圖象、函數零點.2.已知實數滿足約束條件，目標函數，則當時，的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.設函數的最小值是1，則實數a的取值范圍是（

）A．(－∞,4]

B．[4,+∞)

C.(－∞,5]

D．[5,+∞)參考答案：B時，的最小值為1,∴要使的最小值是1，必有時，的最小值不小于1，因為在上遞減，所以時，，則，實數的取值范圍是，故選B.

4.已知函數y=f（x）對任意自變量x都有f（x）=f（2﹣x），且函數f（x）在[1，+∞）上單調．若數列{an}是公差不為0的等差數列，且f（a6）=f（a2012），則{an}的前2017項之和為（）A．0 B．2017 C．2016 D．4034參考答案：B【考點】等差數列的前n項和．【分析】函數y=f（x）對任意自變量x都有f（x）=f（2﹣x），且函數f（x）在[1，+∞）上單調．由f（a6）=f（a2012），可得a6+a2012=2，再利用等差數列的通項公式及其性質、求和公式即可得出．【解答】解：∵函數y=f（x）對任意自變量x都有f（x）=f（2﹣x），且函數f（x）在[1，+∞）上單調．∵f（a6）=f（a2012），∴a6+a2012=2，又數列{an}是公差不為0的等差數列，∴a6+a2012=a1+a2017，則{an}的前2017項之和==2017×=2017．故選：B．5.函數的零點所在的大致區(qū)間是（）A．（6,7）B．（7,8）C．（8,9）D．（9,10）參考答案：D略6.,,則時的值是(

)A.

B.或

C.或

D.或參考答案：D略7.一個四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積是（）

正（主）視圖

側（左）視圖俯視圖A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

參考答案：A可得棱錐的直觀圖如右，等邊三角形的高即為棱錐的高，所以棱錐體積為．8.設F是拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點，直線l過點F且與拋物線E交于A，B兩點，若F是AB的中點且|AB|=8，則p的值是（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2），則，利用弦長公式，即可得出結論．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則，故|AB|=x1+x2+p=2p=8，即p=4．故選：B．【點評】本題考查了拋物線的標準方程和直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．9..已知一個幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.已知sin（+α）=，則sin（+2α）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】由已知利用誘導公式化簡可得cosα的值，利用誘導公式，二倍角的余弦函數公式化簡所求即可計算得解．【解答】解：∵sin（+α）=，?﹣cosα=，?cosα=﹣，∴sin（+2α）=cos2α=2cos2α﹣1=2×（﹣）2﹣1=﹣．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設則

．參考答案：612.以拋物線的焦點為頂點，頂點為中心，離心率為2的雙曲線方程是

.參考答案：拋物線焦點，則雙曲線中：，且，得，又得，則雙曲線的標準方程為：13.已知，則函數的零點的個數是;參考答案：314.設復數z滿足＝i，則|1＋z|＝________．參考答案：15.在棱長為的正方體中，，分別為線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是_____.參考答案：略16.已知數列滿足（q為常數），若∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，則

．參考答案：﹣2或或12617.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2=8x的焦點恰好是雙曲線的右焦點，則雙曲線的離心率為．參考答案：2【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求得拋物線的焦點坐標，可得c=2，由雙曲線的方程可得a=1，由離心率公式可得所求值．【解答】解：拋物線y2=8x的焦點為（2，0），則雙曲線﹣=l的右焦點為（2，0），即有c==2，不妨設a=1，可得雙曲線的離心率為e==2．故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）(I)討論函數的單調性，并證明當x＞0時，(x－2)ex+x+2＞0；(II)證明：當a∈[0,1)時，函數有最小值.設g(x)的最小值為h(a)，求函數h(a)的值域.參考答案：（Ⅰ）f(x)的定義域為(－∞,－2)∪(－2,+∞).,且僅當x=0時，f′(x)=0，所以f(x)在(－∞,－2),(－2,+∞)單調遞增.因此當x∈(0,+∞)時，f(x)＞f(0)=－1.所以(x－2)ex＞－(x+2),(x－2)ex+x+2＞0.（II）.由（I）知，f(x)+a單調遞增.對任意a∈[0,1),f(0)+a=a－1＜0,f(2)+a=a≥0.因此，存在唯一xa∈(0,2]使得f(xa)+a=0即g′(xa)=0.當0＜x＜xa時，f(x)+a＜0,

g′(x)＜0,g(x)單調遞減；當x＞xa時，f(x)+a＞0,

g′(x)＞0,g(x)單調遞增.因此g(x)在x=xa處取得最小值，最小值為.于是，由,單調遞增.所以，由xa∈(0,2],得.因為單調遞增，對任意,存在唯一的xa∈(0,2],a=－f(xa)∈[0,1),使得h(a)=λ.所以h(a)的值域是.綜上，當a∈[0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.19.已知函數f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：【考點】三角函數的周期性及其求法；三角函數的最值．【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．【分析】（1）利用倍角公式及兩角和的正弦函數公式可求解析式f（x）=sin（2x+），利用周期公式即可的積極性．（2）由x∈，可求2x+∈[﹣，]，根據正弦函數的圖象和性質即可得解．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=1+cos2x+sin2x﹣1=sin（2x+），…（2分）∴…（5分）（2）因為x∈，所以2x+∈[﹣，]，…（6分）當2x+=時，即x=時，f（x）的最大值為，…（8分）當2x+=﹣時，即x=﹣時，f（x）的最小值為﹣1．…（10分）【點評】本題主要考查了倍角公式及兩角和的正弦函數公式，周期公式，正弦函數的圖象和性質的應用，屬于基礎題．20.已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線和，焦點在軸上,實軸長為,O為坐標原點.(1)求雙曲線方程；(2)設P1,P2分別是直線和上的點,點M在雙曲線上,且,求三角形P1OP2的面積.參考答案：解析：(1)依題意雙曲線方程可改為,即……3分

即,∴,∴雙曲線方程為……6分(2)設和點∵,∴又點M在雙曲線上,∴,即,得又直線的方程為：,令得

……11分∴……13分21.設函數.（1）求不等式的解集；（2）若關于的不等式有解，求實數的取值范圍.參考答案：(1);(2).試題分析：（1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）＞1解集;（2）根據題意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4的最大值大于或等于|1-m|，再利用絕對值的意義求得|x+2|-|x-1|+4的最大值，從而求得m的范圍．（2）關于的不等式有解等價于，由（1）可知，（也可由，得），即，解得.22.(12分）某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求、、的值；（Ⅱ）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗活動，其中選取人作為領隊，求選取的名領隊中恰有1人年齡在歲的概率。參考答案：解：（Ⅰ）第二組的頻率為，所以高為．頻率直方圖如下：

2分

第一組的人數為，頻率為，所以．

由題可知，第二組的頻率為0．3，所以第二組的人數為，所以．

4分第