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文檔簡介

狄利克雷收斂定理本段我們要考慮另一個(gè)基本問題:函數(shù)f

(x)在怎樣定理1(收斂定理,狄利克雷充分條件)設(shè)f

(x)是周期為2p的周期函數(shù).如果f

(x)滿足的條件下,它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂到函數(shù)

f

(

x)?

即函數(shù)f

(x)滿足什么條件就可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)?這個(gè)問題自十八世紀(jì)中葉提出以來,當(dāng)時(shí)歐洲的許多數(shù)學(xué)家都曾致力于它的解決,直到1829年,狄利克雷才首次給出了這個(gè)問題的一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.對(duì)這一問題的研究,極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)分析的發(fā)展.這里我們不加證明地?cái)⑹龅依死钻P(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)收斂問題的一個(gè)充分條件.狄利克雷收斂定理定理1(收斂定理,狄利克雷充分條件)設(shè)f

(x)是周期為2p的周期函數(shù).如果f

(x)滿足狄利克雷收斂定理定理1

(收斂定理,狄利克雷充分條件)設(shè)

f

(

x)是周期為2p的周期函數(shù). 如果

f

(

x)滿足在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),

并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則f

(

x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且當(dāng)x

是

f

(

x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于

f

(

x);當(dāng)x

是

f

(

x)的間斷點(diǎn)時(shí), 收斂于f

(

x

-

0)

+

f

(

x

+

0).2狄利克雷收斂定理告訴我們:只要函數(shù)f

(x)在區(qū)間[-p

,p

]上至多只有有限個(gè)的第一類間斷點(diǎn), 并且不狄利克雷收斂定理[-p

,p

]上至多只有有限個(gè)的第一類間斷點(diǎn), 并且不狄利克雷收斂定理完[-p

,p

]上至多只有有限個(gè)的第一類間斷點(diǎn),并且不作無限次振動(dòng),則函數(shù)f

(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處收斂于到該點(diǎn)的函數(shù)值,在函數(shù)的間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)處的函數(shù)的左極限與右極

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