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文檔簡介
7.5
離散沖激響應(yīng)第七章第3講1輸入信號為離散沖激d(k)時離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為離散沖激響應(yīng)h(k).它同連續(xù)系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)h(t)有相同的地位和作用。沖激響應(yīng)為利用“卷積和”求解任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)提供了極為有效的方法。通常使用沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)來評價離散系統(tǒng)的時域性能。沖激響應(yīng)的求法第七章第3講2先考慮單個d(k)作用系統(tǒng)的情況:對于3階后向差分方程a3
y(k
)
+
a2
y(k
-1)
+
a1
y(k
-
2)
+
a0
y(k
-
3)
=
d(k
)其響應(yīng)記為h0(k)，則：a3h0
(k
)
+
a2
h0
(k
-1)
+
a1h0
(k
-
2)
+
a0
h0
(k
-
3)
=
d(k
)對于k
>0
時，由于d
(k
)=0，因而上式為a3h0
(k
)
+
a2
h0
(k
-1)
+
a1h0
(k
-
2)
+
a0
h0
(k
-
3)
=
0沖激響應(yīng)h0
(k
)是一個特殊的零輸入響應(yīng)h
(k
)
=
C
lk
+
C
lk
+
C
lk0
1
1
2
2
3
3沖激響應(yīng)的求法對于三階后向差分方程的初始值令k=0
時，有a3h0
(0)
+
a2
h0
(-1)
+
a1h0
(-2)
+
a0
h0
(-3)
=
d(0)
=1由于是零狀態(tài)響應(yīng)，h0
(k
)=0,k
<0
。所以h0
(-1)
=
h0
(-2)
=
=
h0
(-n
+1)
=
0na0h
(0)
=
1n個常數(shù)Ci可由以上n個初始值確定。30a\
h
(0)
=
13第七章第3講301故得等效初始值：
h0(-1)=h0(-2)=0,
h
(0)
=
a對于n階后向差分方程的初始值沖激響應(yīng)的求法對于多輸入系統(tǒng)根據(jù)疊加定理再根據(jù)線性系統(tǒng)的時不變特性：線性非時變離散系統(tǒng)（零狀態(tài)）d(k)第七章第3講4h0(k)h0(k-n)Ah0(k-i)d(k-n)Ad(k-i)對于前向差分方程，可將其轉(zhuǎn)換成后向差分方程再用上述方法求解沖激響應(yīng)。例7.11已知系統(tǒng)的差分方程為試求系統(tǒng)的離散沖激響應(yīng)h(k)。解：先只考慮d(k)的作用：6
6y(k
)
-
5
y(k
-1)
+
1
y(k
-
2)
=
d(k
)
-d
(k
-
2)6
600
0h
(k
)
-
5
h
(k
-1)
+
1
h
(k
-
2)
=
d
(k
)1+
=6
6特征方程：l2
-5
l2
31
20
解得：
l
=
1
,
l
=
1k第七章第3講5k132+
C
(
)120
1\
h
(k
)
=
C
(例7.1113120k
ke(k
)(
-
2
(
)]\
h
(k
)
=[3系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(k
)
=
h0
(k
)
-
h0
(k
-
2)等效初始條件：h0
(0)=1,h0
(-1)=0將初始條件代入原方程，得：C1+C2=12C1+3C2=0解得：C1=3，C2=-2]e(k
-
2)31123112=[3(
-
2
(
)]k
-2k
-2k
ke(k
)
-[3(
-
2
(
)k第七章第3講6k132+
C
(
)120
1\
h
(k
)
=
C
(序列表達(dá)式的化簡]e(k
-
2)112
3321
1(
-
2
(
)k
-2k
-2k
ke(k
)
-[3由于e(k
-
2)
=
e(k
)
-d(k
)
-d(k
-1)h(k
)
=[3(
-
2
(
)]化簡(][e(k
)
-d(k
)
-d(k
-1)]31-
2
(
)k
-2k
-212]e(k
-
2)
=[33112[3(
-
2
(
)k
-2
k
-2(k
)
+
6d(k
-1)]e d(k
)
+
03112=[3(
-
2
(
)k
-2k
-2d(k
)第七章第3講7]e(k
)
-
6112
31312\
h(k
)
=[3(k(
+
2
(
)-
2
(
)
-
3k
-2k
-2k=
-6d
(k
)
+[-9(
1
)k
+16(
1
)k
]e(k
)2
3表達(dá)式為例7.12第七章第3講8已知系統(tǒng)的差分方程為y(k
+
2)
-
5
y(k
+1)
+
6
y(k
)
=
f
(k
+
2)
-
3
f
(k
)試求系統(tǒng)的離散沖激響應(yīng)h(k)。解:首先將前向差分方程轉(zhuǎn)換成后向差分方程y(k
)
-
5
y(k
-1)
+
6
y(k
-
2)
=
d(k
)
-
3d(k
-
2)先只考慮d(k)的作用：h0
(k
)
-
5h0
(k
-1)
+
6h0
(k
-
2)
=
d(k
)特征根：l1
=
3,
l2
=
20
1
2k
ke(k
)\
h
(k
)
=[C
(3
+
C
(2
]例7.12第七章第3講90
1
2kk2
]e(k
)\
h
(k
)
=[C
(3
+
C
(將初始條件代入原方程，得C1
+
C2
=
11
C1
+
1
C2
=
03
2=
-2解得，C1
=
3
C2h0
(k
)
=
[3(3
-
2(2
]e(k
)k
kh0
(-1)
=
0,
h0
(0)
=
1系統(tǒng)的初始條件為例7.12根據(jù)系統(tǒng)的非時變性質(zhì)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為y(k
)
-
5
y(k
-1)
+
6
y(k
-
2)
=
d(k
)
-
3d(k
-
2)h(k
)
=
h0
(k
)
-
3h0
(k
-
2)=
[3(3)k
-
2(2)k
]e(k
)
-
3[3(3)k
-2
-
2(2)k-2
]e(k
-
2)第七章第3講102
3=
[3(3
-
2(2
]
-[(
-
((k
-
2)k
k
k
ke(k
)
3
2
]e=[2(3)k
-
0.5(2)k
]e(k
)
-
0.5d(k
)d(k
)]e(k
)
-
0.52
3kk
k
k(3
-
2(2
]e(k
)
-[(3
-
(2h(k
)
=[3將上式化簡,得階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系第七章第3講11e(k
)
=
e(k
)
-
e(k
-1)g
(k
)
=
g
(k
)
-
g
(k
-1)
d(k
)
=\
h(k
)
=k\
g
(k
)
=
h(i)i=0
e(k
)
=
d(i)i=0k2第七章第3講12已知階躍響應(yīng)為g
(k
)=6[1
-0.5(1
)k
]e(k
)，求離散沖激響應(yīng)h(k)。解：離散沖激響應(yīng)為h(k
)
=
g(k
)
-
g(k
-1)1212=
6
[1-
0.5(
)
](k
-1)k
-1ke(k
)
-
6
[1-
0.5(
)
]e=
6
[1-
0.5(
1
)k
]e(k
)
-
6
[1
-(
1
)k
]e(k
)2
22=
3(
1
)k
e(k
)例7.13例7.14，求階躍響應(yīng)。(3)
]1361ke(k
)-
0.5(2)k
+已知離散沖激響應(yīng)
h(k
)
=[
d
(k
)解：階躍響應(yīng)為6
i
=0k
k
k
kg
(k
)
=
h(i)
=
1
d(k
)
-
1
(2)i
+
1
(3)ii
=0=
[
1
-
2k
+
1
3k
]e(k
)2
2e(k
)3
1
-
32
1
-
2e(k
)
-16e(k
)
+3
i
=01
1
-
3k
+12
i
=01
1
-
2k
+1=注：有限等比數(shù)列求和公式：式中：a1為首項(xiàng)，an為末項(xiàng)，q為比例系數(shù)。n第七章第3講13a
-
qaS
=1-
q17.6
離散卷積卷積和的意義任意離散信號可分解為d(k)的線性組合：f
(k)=······+f(-1)d(k+1)+f
(0)d(k)+
f
(1)d(k-1)+······+
f
(i)d(k-i)+······￥f
(k
)第七章第3講14kf
(i)d
(k
-
i)-1
0
1
2
3i￥=
f
(i)d(k
-
i)
=
f
(k
)
*d(k
)i
=-￥定義：f1
(k
)
*
f2
(k
)
=
f1
(i)
f2
(k
-
i)i
=-￥￥=
f2
(i)
f1
(k
-
i)i
=-￥稱離散卷積或卷積和任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)線性非時變離散系統(tǒng)（零狀態(tài)）d(k)h
(k)d(k-n)h
(k-n)Ad(k-i)Ah
(k-i)第七章第3講15任意信號：￥f
(k
)
=
f
(i)d(k
-
i)i
=-￥=
f
(k
)
*d(k
)￥零狀態(tài)響應(yīng)：yzs
(k
)=
f
(i)h(k
-
i)i=-￥=
f
(k
)
*h(k
)￥系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：yzs
(k
)
=
+
f
(-1)h(k
+1)
+
f
(0)h(k
)
+
f
(1)h(k
-1)
+
+
f
(i)h(k
-
i)
+=
f
(i)h(k
-
i)
=
f
(k
)
*h(k
)i
=-￥卷積和的性質(zhì)交換律、分配律、結(jié)合律與卷積一樣。kf1(k)、f2(k)均為因果序列，則
f1
(k
)
*
f2
(k
)
=
f1
(i)
f2
(k
-
i)i
=0￥kf1(k)為因果序列，f2(k)為一般序列，則f1
(k
)
*
f2
(k
)
=
f1
(i)
f2
(k
-
i)i
=0f1(k)為一般序列，f2(k)為因果序列，則f1
(k
)
*
f2
(k
)
=
f1
(i)
f2
(k
-
i)i
=-￥i0k第七章第3講16卷積和的性質(zhì)第七章第3講17f(k)與d(k)的卷積和：f
(k
)*d(k
)
=
f
(k
),
f
(k
)*d(k
-
k0
)
=
f
(k
-
k0
)kf
(k
-
n)
*d
(k
-
m)
=
f
(k
-
n
-
m)f(k)與e(k)的卷積和：f
(k
)
*e(k
)
=
f
(i),i
=-￥k
-n
kf
(k
)
*e(k
-
n)
=
f
(i)
=
f
(i
-
n)i
=-￥
i
=-￥位移序列的卷積和：f1
(k-
n)
*
f2
(k
-
m)
=
f1
(k
-
m)*
f2
(k-
n)
=
f
(k
-
n
-
m)卷積和的計(jì)算圖解法方法與連續(xù)系統(tǒng)的卷積類似例：求y(k)=f1(k)*
f2(k)f1
(k
)k-
2
-1
0
1
21f2(k)k10
1
2
332f1
(-i)i-
2
-1
0
1
21i01
23f2
(i)321-
2
-10k
<
-23k
=
-25k
=
-1y(k
)
=6k
=
0,
1,
23k
=
31k
=
40k
>
4k
=0時第七章第3講18卷積和的計(jì)算第七章第3講19不進(jìn)位乘法法例：求y(k)=f1(k)*
f2(k)對于兩個有限序列，可以利用一種“不進(jìn)位乘法”較快地求出卷積結(jié)果。
2,
k
=
0,1,
2
0,
k
為其它f
(k
)
=1
0,k
=1,
2,
3k
為其它
k
2
,f2
(k
)
=
888+
222210282618f1
(k
)
:222f2
(k
)
:·149181818將兩序列樣值以各自的最高值按右端對齊，進(jìn)行不進(jìn)位乘法。對位排列如下：其中，兩序列樣值的最低值之和為卷積和序列的最低值，即起點(diǎn)為0+1=1。卷積和為y(k
)
={0,
2,
10,
28,
26,
18,
0}?卷積和的計(jì)算第七章第3講20解析法方法與連續(xù)系統(tǒng)的卷積類似，用求和公式得解析式。例7.19(a)：求y(k)=e(k)*
e(k)k
k解：y(k
)=e(i)e(k
-i)=1
=(1
+k
)e(k
)i
=0
i
=0例7.191
-
0.5i
=01求y(k)=(0.5)k
e(k)*
[e(k)-e(k-5)]kke(k
)
=[2
-(0.5)
]e(k
)ki=
(0.5)
=1
-(0.5)k
+1ik(0.5)
e(i)e(k
-
i)e(k
)
=(k
)
*解：
y
(k
)
=
(0.5)
ei
=0]e(k
-
5)ky2
(k
)
=
(0.5)
e(k
)
*e(k
-
5)1=
y
(k
-
5)=[2
-(0.5)k
-5\
y(k
)
=
y1
(k
)
-
y2
(k
)=[2
-(0.5)k
]e(k
)
-[2
-(0.5)k
-5
]e(k
-
5)n第七章第3講21a
-
qaa
=n
ii
=111
-
q例7.19第七章第3講222求信號的卷積和：f
(k
)=(1
)k
e(-k
)*(3)k
[e(k
)-e(k
-2)][e(k
)
-
e(k
-
2)]
=
d(k
)
+
d(k
-1)2解：\
f
(k
)
=
(
1
)k
e(-k
)
*[d
(k
)
+
3d
(k
-1)]2=
(
1
)k
e(-k
)
*d
(k
)
+
(
1
)ke(-k
)
*3d
(k
-1)=
(=
(121221212(-k
)(-k
)(-k
+1)(-k
)kk
-1k
-1k[e
+d(k
-1)])
e
+
3(
)
e)
e
+
3(
)1212(-k
)
+
3(-k
)
+
3(
)k
k
-1d
(k
-1)=
(
)
e
e2=
7(
1
)k
e(-k
)
+
3d
(k
-1)例7.19i
=-￥
i
=k求信號的卷積和：f
(k
)=(2)k
e(-k
)*(3)k
e(-k
)￥
0解：f
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