2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．9 B．18 C．27 D．362．若cosα=13A．13 B．-13 C．3．某公司的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：已知對呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，工作人員不慎將表格中的第一個數(shù)據(jù)遺失，該數(shù)據(jù)為（）A．28 B．30 C．32 D．354．已知點，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．5．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，則下列關(guān)于的形狀的說法正確的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定6．如圖，各棱長均為的正三棱柱，、分別為線段、上的動點，且平面，，中點軌跡長度為，則正三棱柱的體積為（）A． B． C．3 D．7．若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如果直線m//直線n，且m//平面α，那么n與αA．相交 B．n//α C．n?α9．已知，且，，則（）A． B． C． D．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，,則的值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實數(shù)滿足，則的最大值為_______．12．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是．13．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）14．已知數(shù)列的通項公式是，若將數(shù)列中的項從小到大按如下方式分組：第一組：，第二組：，第三組：，…，則2018位于第________組.15．已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則______.16．已知直線與圓相交于兩點，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．18．已知.（Ⅰ）化簡；（Ⅱ）已知，求的值．19．如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：面平面；（3）求點到平面的距離.20．已知圓經(jīng)過，，三點．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點N的直線被圓截得的弦AB的長為，求直線的傾斜角．21．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點、，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.（1）求點B到直線的距離；（2）求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個數(shù)，算出每個個體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個數(shù)，得到結(jié)果．設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個個體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應(yīng)抽取×90=18人．故選B．考點：分層抽樣點評：本題是一個分層抽樣問題，容易出錯的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數(shù)學(xué)中的一個小知識點，但一般不難，故也是一個重要的得分點，不容錯過2、D【解析】

利用二倍角余弦公式cos2α=2【詳解】由二倍角余弦公式可得cos2α=2【點睛】本題考查二倍角余弦公式的應(yīng)用，著重考查學(xué)生對二倍角公式熟記和掌握情況，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

由回歸方程經(jīng)過樣本中心點，求得樣本平均數(shù)后代入回歸方程即可求得第一組的數(shù)值.【詳解】設(shè)第一組數(shù)據(jù)為，則，，根據(jù)回歸方程經(jīng)過樣本中心點，代入回歸方程，可得，解得，故選：B.【點睛】本題考查了回歸方程的性質(zhì)及簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【點睛】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于較易題．5、B【解析】

利用三角形的正、余弦定理判定．【詳解】在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，由正弦定理得，得，則，為直角三角形．故選B【點睛】本題考查了三角形正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

設(shè)的中點分別為，判斷出中點的軌跡是等邊三角形的高，由此計算出正三棱柱的邊長，進而計算出正三棱柱的體積.【詳解】設(shè)的中點分別為，連接.由于平面，所以.當(dāng)時，中點為平面的中心，即的中點（設(shè)為點）處.當(dāng)時，此時的中點為的中點.所以點的軌跡是三角形的高.由于三角形是等邊三角形，而，所以.故正三棱柱的體積為.故選：D【點睛】本小題主要考查線面平行的有關(guān)性質(zhì)，考查棱柱的體積計算，考查空間想象能力，考查分析與解決問題的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)程序框圖依次計算得到結(jié)束故答案為C【點睛】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生對于程序框圖的理解能力和計算能力.8、D【解析】

利用直線與平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】∵直線m/直線n,且m/平面∴當(dāng)n不在平面α內(nèi)時，平面α內(nèi)存在直線m'//m?n//m'，符合線面平行的判定定理可得n/平面α當(dāng)n在平面α內(nèi)時，也符合條件，n與α的位置關(guān)系是n//α或【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面平行的性質(zhì)，意在考查對基本定理掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計算可得.【詳解】解：因為，．因為，所以．因為，，所以．所以．故選：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.10、B【解析】

先利用面積公式得到，再利用余弦定理得到【詳解】余弦定理：故選B【點睛】本題考查了面積公式和余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)可以看成是可行域內(nèi)的點和的連線的斜率，從而找到最大值時的最優(yōu)解，得到最大值.【詳解】根據(jù)約束條件可以畫出可行域，如下圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)可以看成是可行域內(nèi)的點和的連線的斜率，因此可得，當(dāng)在點時，斜率最大聯(lián)立，得即所以此時斜率為，故答案為.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)為分式的形式，關(guān)鍵是要對分式形式的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.12、【解析】

先求出函數(shù)的定義域，找出內(nèi)外函數(shù)，根據(jù)同增異減即可求出.【詳解】由，解得或，所以函數(shù)的定義域為.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，則根據(jù)同增異減得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即與若具有相同的單調(diào)性，則為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則必為減函數(shù)．13、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．14、1【解析】

根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問題得到解決．【詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個數(shù)，最后一個數(shù)為4；第二組有4＝2×2個數(shù)，最后一個數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個數(shù)，最后一個數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個數(shù)，其中最后一個數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當(dāng)n＝31時，第31組的最后一個數(shù)為2×31×1＝1984，∴當(dāng)n＝1時，第1組的最后一個數(shù)為2×1×33＝2112，∴2018位于第1組．故答案為1．【點睛】本題考查觀察與分析問題的能力，考查歸納法的應(yīng)用，從有限項得到一般規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵點，屬于中檔題．15、【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列奇數(shù)項之和與中間項的關(guān)系進行化簡求解.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，又因為為等差數(shù)列，所以，故．【點睛】（1）在等差數(shù)列中，若，則有；（2）在等差數(shù)列.16、【解析】

首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計算圓心到直線的距離，再計算弦長即可.【詳解】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離..故答案為：【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題，熟練掌握弦長公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點，則為的中點，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點，連接，由中位線的性質(zhì)得到，且，可得出平面，于此得出直線與平面所成的角為，然后在中計算即可.【詳解】（1）連接，交于點，連接，由底面是菱形，知是的中點，又是的中點，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中點，連接，∵分別為的中點，∴，∵平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，∵，，∴.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的計算，在計算直線與平面所成角時，要注意過點作平面的垂線，構(gòu)造出直線與平面所成的角，再選擇合適的直角三角形求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2。【解析】試題分析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）10分考點：三角函數(shù)化簡求值點評：三角函數(shù)化簡主要考察的是誘導(dǎo)公式，如等，本題難度不大，需要學(xué)生熟記公式19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】

(1)利用線面平行的判定定理，尋找面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN，即可證出；（2）先證出一條直線垂直于面PCD，依據(jù)第一問結(jié)論知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證出；（3）依據(jù)等積法，即可求出點到平面的距離．【詳解】證明：（1）取中點為，連接分別為的中點，是平行四邊形，平面，平面，∴平面證明：（2）因為平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,為的終點，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，則點到平面的距離為（也可構(gòu)造三棱錐）【點睛】本題主要考查線面平行、面面垂直的判定定理以及等積法求點到面的距離，意在考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力．20、(1)(2)30°或90°．【解析】

（1）解法一：將圓的方程設(shè)為一般式，將題干三個點代入圓的方程，解出相應(yīng)的參數(shù)值，即可得出圓的一般方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程；解法二：求出線段和的中垂線方程，將兩中垂線方程聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)，然后計算為圓的半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用勾股定理計算出圓心到直線的距離為，并對直線的斜率是否存在進行分類討論：一是直線的斜率不存在，得出直線的方程為，驗算圓心到該直線的距離為；二是當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，并表示為一般式，利用圓心到直線的距離為得出關(guān)于的方程，求出的值．結(jié)合前面兩種情況求出直線的傾斜角．【詳解】（1）解法一：設(shè)圓的方程為，則∴即圓為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；解法二：則中垂線為,中垂線為，∴圓心滿足∴，半徑，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)斜率不存在時，即直線到圓心的距離為1，也滿足題意，此時直線的傾斜角為90°，②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由弦長為4，可得圓心到直線的距離為，，∴，此時直線的傾斜角為30°，綜上所述，直線的傾斜角為30°或90°．【點睛】本題考查圓的方程以及直線截圓所得弦