" 相交線"# 鄰補角的概念!理解!#"理解對頂角的概念!重點!$"探索并掌握對頂角相等的性質!難點!#"對頂角的概念!理解!$"對頂角的性質!理解!兩個角有一條公共邊$它們的另一邊互為反向延長線$具互為鄰補角如圖%###中的#和$$和!等注意!#鄰補角是成對出現(xiàn)的$而且是&互為鄰補角! 互為鄰補角的兩個角一定 圖%##補$但互補的兩個角不一定是鄰補角一個角的鄰補角有兩個$但一個角的補角可以有多個!!#鄰補角既包含了位置關系$也包含了數(shù)量關系!位置關系有公共頂點#)有一條邊是公共邊#另一邊互為!$"兩直線相交共形成四對鄰補角$如圖%###$#$#$'('+"對頂角的概念重點對頂角的概念%有一個公共頂點$并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線$具有這種位置關系的兩個角$互為對頂角如圖%##$$#和'是對頂角$$和+是對頂角#兩條直線交一點$#

%書寫格式%因為#和!'是對頂角$所以#-'對"題型典例有 題型典例有 如圖 ## '#和$是對頂角## $ +思路導引%圖!#"中#和$不是兩直線相交而成的$因此不是對頂角#圖!$"中#和$沒有公共頂點$因此不是對頂角#圖!'"符合對頂角的定義#圖!+"中#和$的兩邊不是互為反向延長線$所以不是對頂角!故選!答案%" 有公共頂點$且兩個角的兩邊互為反向延長線$兩者題型典例 )基礎類*題型典例#$$#

形成兩對對頂角

/!$!注意!"直線相交$對頂角必須有公共的頂點

每對頂點都相同 兩邊均為反向延長線o

思路導引$$$!$"對頂角是成對出現(xiàn)的$單獨的一個角不能稱為對!'"對頂角是兩個角的位置關系$兩條直線相交有$ #對頂角的性質難點"性質%對頂角相等

!$!解%因為點$"$#在同一條直線上$!! 注意%對頂角相等$但相等的角不一定是對頂角

&/

##$#./!#./$

因為%平分!#$$- 度數(shù)$再用鄰補角的定義求解!由題易知!#)可求$則運用 !-/

平分線的定義可求!)*的度數(shù)$則!#*可求$從而!"*!!!/%點撥%利用鄰補角求角的度數(shù)時$要注意隱含條件%平角為! )基礎類*#$%!$

可求

!+$!/!$!$!$!/!%!!!$

!!$

#!

!'/$!!$!$!-%$!!*!!#$%$%!!!%$%!! 角"$四對互補的角!鄰補角"題型典例 )基礎類*題型典例#$$$$!$!!$!-

!!#!已知角度比值求角的度數(shù)問題的方法%通常設出每份的角度$用未知數(shù)表示與其相關的角的度數(shù)$再根據題中的等量關系列方程求解!題型典例 )綜合類*利用相交線的性質進題型典例圖%##.是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面圖$請你利用學過的知識設計測量出古塔外墻底部的!大小的方案$并說明理由!題眼直擊%對頂角的性質(的定義思路導引

#$

# #解!方法如圖%##9$作"#的延長線到%$%./&!!方法$如圖%##9!$$分別作"#和$#$!$$!!$!!#!!$$!!!$%$!!!!點撥在進行計算和證明時$&對頂角相等'被用來將要求的角和待證相等的兩個角$轉化成與已知條件相關的角來求解$即對頂角構建了一個已知條件和待求結論之間的&橋梁'! )綜合類*#$$$*!$!%!!度數(shù)

%和$量出!)的度數(shù)就知道了!$#的度數(shù)!點撥%當測量一個角比較麻煩時$題型典例 )綜合類*題型典例如圖%###/$兩條直線相交于一點所組成的角中$互為對頂角的角有$對%%$#$! 三條直線相交于同一點所組成的角中$角 對 !'",條直線相交于同一點所組成的角中$互為對頂角的 #題眼直擊%角平分線的定義(鄰補角(元一次方程

三條直線相交于一點形成了個叉# 個思路導引 # 個思路導引 '"*#* 條直線兩兩配對共有5個&叉'$所以互為對頂角的角有#$對!'",條直線兩兩配對共有$角有,!,對$

#"個&叉'$答案%!#"5!$"#$!'",!,兩條直線相交形成$對對頂角$當多條直線相交$要統(tǒng)計對頂角的對數(shù)時$只需統(tǒng)計圖形由多少個基本圖形組成!對頂角(鄰補角在中考試卷中幾乎不直接考查$

圖%# 貴陽中考$題!'思路導引%因為#與$是對頂角$所以#-$!又因為#%/$所以$%故選0!考法 中考典例如圖% ## 點$中考典例在同一直線上$已知#$-$的話一般也以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)$且題目比較容

!$- !$!福建中考附加題$題%

#工具$和其他知識結合在一起$以綜合題的形式出現(xiàn)考法 中考典例下列圖形中$#與$是對頂角的是 中考典例 涼山州中考$題!'思路導引%由互為對頂角的兩個角應有公共頂點$0"又互為對頂角的兩個角的兩邊均互為反向延長線$答案%!變式演練如圖%####$直線-$相交于點$若#等$"% + # #

思路導引%根據互為鄰補角的兩個角之和為#./$/&!!答案變式演練$如圖%##'$直線"#和$%相交于點$#% % 5 5$!廣西梧州中考%題!'思路導引%因為!"%與!"$是鄰補角 所以!"%,!$%$%$選!" 相交線"# 垂垂!#"理解垂線的概念!$"!#"垂線的概念!了解!$"線!理解!#"理解垂線段的概念!重點!$"理解點到直線的距離的意義$能測量點到直線的距離!!'"掌握基本事實%!重點(難點!#"垂線段的概念!了解!$"垂線段最短的性質!了解 !了解!"定義在相交線的模型中$固定木條-$轉動木條.!當.的位置變化時$-

相交特例為垂直

$ $垂直是相交的一種特殊情形$兩條直線互相垂直$一條直線叫作另一條直線的垂線$它們的交點叫作垂足!時如 我們說與互o時如 我們說與互o $ 兩條直線稱垂線

$$#注垂直$記作-%

垂線交點叫垂足!o

!%#"!!可以是四個角中的任意一個角$!$"在畫圖時$要標記直角符號&&'$$推理格式$$9/!%!%%!!$!$%%的定義 #$$!/%!!#"兩條直線垂直是兩條直線相交的特殊情況$特殊在夾角為9!!$如圖%#$$$可以說直線"#的垂線是$%$說直線$%的垂線是#! 畫線段或射線的垂線是指畫它們所在直線的

垂直(垂線(概概定圖記垂$交$所夾的角是%垂兩條直線互相垂叫作另一條直線的直線-是直線.的垂線或直線是直線連接直線/外一點"與直線/上直線/垂直的線段叫作點"到直線/的垂線段是直線"靠線讓直角三經過一點!已知直線上或直線外"$畫已知直靠線讓直角三 $!$"靠點%沿直線移動$使直角三角板的另一條直角邊經

作一條已知直線的垂線有無數(shù)條$但過一點作已知 連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條$只有一條是垂線段$并且垂線段是最短的 直線外一點到這條直線的垂線段的長度$距離過已知點!'"畫線%沿直角邊畫線$則這條直線就是經過這個點的已知直線的垂線!如圖%#$'!注意!#過一點畫射線或線段的垂線$是指畫

注意垂線段是幾何圖形$垂線段的長度是這個線段的長度$它是一個數(shù)量$是有單位的!此定義是以垂線的性質為依據的由于從直線外一點到直線的垂線$垂足可能在射線的反向延長線上$也可能 #$$ 在平的性質!重點

這條直線的垂線是唯一的$又由于垂線段最短$它的長度也是唯一的因此保證了點到直線的距離的唯一性! )基礎類*出題角度#,"垂直

$過一點有且只有一條

題型典例 下列說法正確的有 !兩條直線相交$交點叫垂足"在同一平面內$" 有且只有 注意!#" 有且只有 $連接直線外一點與直線上各點的所有線段中$

且只有一條直線與已知直線垂直##在同一平面內$一條直線有且只有一條垂線#$在同一平面內$一條線段有無數(shù)條垂線#%過一點不可能向一條射線或線段所在的直線作垂線#&最短!簡單說成%垂線段最短注意!#"一點必須在直線外$如果這點在直線上$那么 垂線是直線$垂線段是線段

#%$$$ + %思路導引!兩直線相交的交點不是垂足"正確#直線有無數(shù)條垂線#$線段的垂線是指線段所在直線的垂答案%"點撥%理解垂直的定義要抓住兩個要點$線相交的特殊形式#二是兩直線的夾角是直角出題角度$,題型典例"過一條線段外一點$畫這條線段的垂線$垂足 這條線段 這條線段的端這條線段的延長線 以上都有可思路導引%垂足應該在這條線段所在的直線上$至于在 答案%"

$線的哪個位置$就不一定了答案%"點撥%畫射線(線段的垂線時$就是畫這條射線(直線的垂線!有時需要把線段(射線延長或反向延長題型典例 題型典例 $

點撥%借助圖形來進行計算是常用的解題方法$若借助畫圖則更加直觀$這是數(shù)形結合思想在解題中的運用 )基礎類*$$%%)%&%)$)%))$!%!

$-!

9/%!$思路導引%借助直尺和三角板$根據前面提供的作垂線的步驟作圖即可$注意圖!+需要將線段"#補充成直線$然后再$

!#./&56%%!點撥%垂直是兩直線的位置關系$而角度為9/&是一個角的大小$垂直定義建立起兩直線垂直與角度為9/&之間的 )基礎類*題型典例題型典例$%$$'!$!2!'!2'(%2$ 12!1!0!2'/'可列出關于+的方程$從而求得+值$進而解決問題解%設!1(的度數(shù)為!'!%$/

$

$

!$!!!!!所以/'/解得 題型典例 )基礎類*題型典例!"的兩邊分別垂直于!的兩邊$!比5 #$ + 思路導引%!的兩邊分別垂直于!的兩邊時$有兩種情況$如圖#$6$!和!互補或相等由于!"比!大5/$所以這兩個角不可能相等$所以!"和!互補!所以/

!當題目中出現(xiàn)形如&比值或倍數(shù)'等式的時候$?？紤]設未知數(shù)$然后設法找出一個相等關系列出關于的方程$從而解決問題!題型典例'基礎類*題型典例% #$ $%$%$)-!%思路導引%觀察圖形知)'與"#可能垂直$#'%$-)$!!

$

題眼直擊%角平分線的定義(垂直(垂線的作法思路導引!#"!$"依題意畫出垂線段即可#!'"用直尺測量后直接填答案#!+"$$$分別是點到直線的距離$因此根據!'"的結果可得到一個關于點到直線的距離的結論!"$"#9/!題型典例(綜合類*題型典例如圖%#$##$一輛汽車在直線形的公路"#上由"向#行駛$1$2分別是位于公路"#兩側的村莊$設汽車行駛到點0的位置時$離村莊1最近$行駛到點3的位置時$離村莊2最近$請你在"#上分別畫出0$3兩點的位置!$ $#垂線段的垂足時$汽車離村莊1$2距離最短

$"!'"- 角平分線上的點到角兩邊的距離相等$本節(jié)知識點在中考題中一般以填空題(選擇題的形式出現(xiàn)$且通常不直接考查$常常與平行(三角形內角和等知識綜合在一起$作為一個條件出現(xiàn)$所占分值不會太大$一般為':%分中考典例考法 中考典例$$%$1!$%$!1'%$2 +$點撥%在應用垂線的性質解決生活中最近(

% 5+ 中考!'題!'

$題時$要依據&兩點之間$線段最短'和&垂線段最短'來解決 )綜合類*題型典例隨意畫一個銳角12題型典例!$畫出120和!的平分$$0$%%$!$"在上任取一點$畫%$%$足分別是兩點$$ !填& '" 通過上面的畫圖和測量$ 交流一下$有什猜想$請用一句話表述出來

1$1-2%$!29/$!2!&!答案%"$%$%%度數(shù)是!0"$ ++ 5$

#+!廣西賀州中考!'題!'%$/$$/!%%$" 相交線"# 同位角(內錯角(同旁內角識別同位角(內錯角(同旁內角 重點(難點同位角(內錯角(同旁內角!了解!同位角重點兩條直線被第三條直線所截$得到的八個角中$兩個角分別在兩條被截線的同一方!上方"$并且都在截線的同側!右側"$具有這種位置關系的一對角叫作同位角圖%#'#中的#和$就是同位角畫出#和$的兩條邊$可以發(fā)現(xiàn)兩圖%#"'個角的邊組成的圖形像字母 !#"兩條直線被第三條直線所截得到兩個交 點$同位角是具有不同頂點的兩個角的關系$#$!$"同位角中的&同'可理解為&相同'$&位'可理解為&位置'$具有相同位置的兩個角$如果一個角在左上角$另一個角也應該位于左上角$依此類

$的兩條邊$可以發(fā)現(xiàn)兩個角的邊組成的圖形像字母 同旁內角是成對出現(xiàn)的!$"同旁內角中的&同旁'可理解為位于被截線同側$&內'可理解為夾在兩截線之間關系!"'"同旁內角也是位置關系的角$不存在數(shù)量之間的題型典例 )基礎類*尋找已知角的同位角(內錯角和題型典例!#"!與 是同位角 分別是同旁內角特征

!'"! 是內錯角!+"!3與 是內錯角!%"!與 是內錯角

同位角是成對出現(xiàn)的$并且這種角是位置關系的!$"兩條直線被第三條直線所截成的 個角中共有 同位角"內錯角重點

思路導引%將這%個角置于三線八角的基本圖形中$然后3!'"#!+"#!%"點撥 角的邊為截線去尋找$這樣能做到不重不漏&三線 )基礎類*&三線$ #中$兩被第三條直線之$$ # 中的和就是內錯角畫和$的兩條邊$可以發(fā)現(xiàn)兩個角的邊組成的 形像字母 內錯角是成對出現(xiàn)的!$"內錯角中的&內'可理解為位于兩條被截線之間$&錯'可理解為交錯$即位于截線兩側 內錯角是位置關系的角$不存在數(shù)量關系#同旁內角重點

填空!#如圖%#"'"直線13上有一點2$則#和!012是直線 所截得 角 是直 所截得的內錯角思路導引!#"和!012有兩邊在同一條直線上$兩條直線被第三條直線所截$得到的八個角中

直線就是第三條直線$#和!210還有兩邊$這兩邊所在的$兩個角都在兩條被截線之間$但它們在截線的一旁$具有這種位置關系的一對角叫作同旁內角$%#'"'中的#和$就是同旁內角$畫出#和圖%#'"

直線就是兩直線#$"=32的兩邊分別在直線3=$32上$又由于題中提到3=$12$所以本題要找的是直線3=$1232所截得與!3=2是內錯角的那個角"1利用三種角來確定三線的方法%只需找出一種角的兩個角的邊即可$其中相同或在同一直線上的兩邊就是截線$不同的兩邊就是被截線"

題型典例%如圖%#.$和$和'$'和!各是什么角-分別是哪兩條直線被哪一條直線所截得到思路導引%關系及截線(被截直線時$

)基礎類*&三線八角'中八個角之間的 的邊加粗或把要確定關系的兩角從原圖中分解出來$以便觀察系 角%!= 位題型典例如圖%#'"5$#-%$

$$和!是直線03$=2被直線02 !角

角$'和!=是直線0=$02被直線=2-為什么思路導引%與'(與6是對頂角$#與$(#與+(%與5(與.是鄰補角$由于#-%可推知其5

判斷同位角內錯角同旁內角的關鍵是找出圖中構成這對角的&三線'$有些圖形中三線未全部標出$應該補全以方便判斷有些圖中各種線比較復雜這需要將復雜的圖形分解成基本圖形后再尋找同位角(內錯角(同旁內角理由%因為#'$%6!對頂角相等%#$#./$#+./!5./%!.#./所以$+5兩條直線被第三條直線所截時$形成了 個角$其中共 個頂點$同一個頂點各有 個角$如果已知一對同位角!

習本節(jié)知識是為學行線的判定和性質做準備的$在中直接考查同位角(內錯角和同旁內角知識的題目很少$一般都是結合平行線的判定和性質進行考查當直接考查本節(jié)內容時$一般會以選擇題的形式出現(xiàn)$結合其他知識進行考查" 尋找已知角的同位角(內錯等于9/時"相等$那么可得+個銳角相等$+個鈍角相等$

一個銳角和一個鈍角互補

如圖%#"'9$與#的題型典例 )綜合類*從復雜圖形中抽象出&三線八角題型典例

#! %%

$!廣西桂林中考!'題!'如圖%#'"6$ 解%由圖可知$本題共有.組&三線八

思路導引%圖%#"'9中$#與$是一對同旁內角與+是一對同位角!#與!'是兩直線被第三條直線所截形成的一對角$夾在兩直線之間$且#和!'位于同一直線兩答案%"/對頂 同位內角 !

/#+!福建漳州中考$題+確定&三線八角'的方法%關鍵是找出截線和被截線般是從相鄰的兩個頂點處的角來找$兩條相同或在同一直線上的邊是截線$兩條不同的邊是被截線$然后再依據三種角的位置來判斷"

思路導引%#與$在截線的同側$被截線的同旁$故為同位角"故選#"" 平行線及其判定"$ !#"理解平行線的概念!$"過直線外一點會畫已知直線的平行線!重點用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線!掌握" 直線平行!重點(難點"#!$"過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線!理解"!"如圖%$##$分別將木條-$與木條釘在一起$把它們想象成在同一平面內兩端可以無限延伸的三條直線在木條轉動過程中$存在直線-與不相交的情形$這時我們說直線-與互相平行$記作-*注注 #%我們所說的兩條直線是指不重合的兩條直線

注意!#"若過一點畫已知直線的平行線時$這一點必須在已知直線外否則不存在這樣的直線!!$"畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平 平行公理及推論重點(難點"平行公理%經過直線外一點$有且只有一條直線與這條注意!#平行公理中&過一點'這一點必須是直線外一"有且只有'強調直線的存在性和唯一性$平行公理的推論%如果兩條直線都與第三條直線平行 那么這兩條直線也互 在同一平面內$不重合的兩條直線只有兩種位置關系相交和平行!#"平行的概念包括的三個條件%在同一面內"不相交##都是直線

平行#*

#!'"在同一平面內$根據兩條直線的交點情況去確定兩"一已!線點

)基礎類*題型典例在同一平面內$題型典例可能是 "相交或垂 垂直或平平行或相 不能確思路導引%在同一平面內$$步驟如下&沿直尺移動三角尺$使三角尺原來與已知直#四&畫..'過已知點沿三角尺的邊畫直線$此直線即為已知直線的平行線!如圖%$#$#

有兩種...相交或平行$垂直只是相交的一種特殊情況答案%!垂直是相交的一種特殊情況$并不是兩直線的一種位置關系許多初學者常常弄不清這一點!題型典例 )基礎類*題型典例 1"同一平面內$2"3"思路導引%0(1中的兩條線段和射線雖然沒有交點$們所在的直線有可能相交于一點$所以01不正確#2項中的!答案%"點撥%兩條線段或射線是否平行$否平行$與這兩條線段或射線有沒有交點沒有關系 )基礎類*過直線外一點作已知直線的平行#$$!思路導引%過直線外一點畫已知直線的平行線$要按&一落(二靠(三移(四畫'的步驟來畫#過直線外一點畫已知直線的垂線$要按&靠線'靠點'畫線的步驟來畫!# #

點撥%一條直線和兩條平行線要么都相交$要么都平行$可能出現(xiàn)和其中一條直線平行$而和另一條直線相交的情況')基礎類*利用平行公理的推論證明兩直$5*$*$據平行于同一直線的兩條直線互相平行可知-*#5又由于5*7$所以-*$又因為5*7$所以-點撥%判斷兩直線平行的方法%!#"平行線的概念#!$"平題型典例 )基礎類*題型典例$*$*$$%)三點是否共線-你能說明理由嗎思路導引可假設$$%$)三點不共 條直線!"#"平行$與平行公理相 #$%點撥%在表示垂直時要注意標注垂直符號

解%$%$)三點共線!理由如下%因為$$

#題型典例&)基礎類*題型典例如圖%$#5$在下面的方格紙中經過點$畫與線段"#互相平行的直線/$再經過點#畫一條與線段"#$!# ##

直線平行$知$%與$)是同一條直線$所以$%)三點共線這種證明的方法也稱為同一法$當幾何命題中出現(xiàn)&有且只有時$大多可以作為同一法的依據!題型典例 )基礎類*題型典例在平面上有三條直線$它們之間的位置關系共有幾種情形-試畫圖說明!思路導引%平面內每兩條直線都存在位置關系$$直接根據格點的性質即可點撥%網格中作直線的平行線或垂線時$$直接根據格點的性質即可%!%!#平行(平行(平行#!$"相交(平行(

下線甲和乙(乙和丙(甲和丙之間的位置關系關系 )基礎類*一條直線與兩條平行線的位置題型典例題型典例

行!'相交(相交(平行!+相交(相交(相交解%共有以下+種情形$如圖%$#說法中$正確的是 0"1"2"3"可能與兩條平行線中的一條平行$思路導引%分兩種情況%當這條直線和兩條平行線中的一條平行時$根據&平行于同一條直線的兩條直線互相平行'可知這三條直線兩兩平行#當這條直線和兩條平行線中的一條相交時$過這個交點有且只有一條直線和第三條直線平行$所以這條直線必不能與第三條直線平行$所以這條直線與兩條平行線都相交!答案%"

#點撥%由平行線的定義可知$同一平面內$題型典例*綜合類*題型典例我們知道兩條相交直線的交點的個數(shù)是#$兩平行線的交點的個數(shù)是/$平面內三條平行線的交點個數(shù)是/$經過同一點的三條直線的交點個數(shù)是#$依此類推//交點請你畫圖說明同一平面內的%條直線最多有幾個交點!$"平面內的%條直線可以有+個交點嗎 如果有$請

點平行線的概念(平行公理及其推論不是中考考查的重畫出符合條件的所有圖形#如果沒有$請說明理由思路導引!#"條直線的交點個數(shù)最多$需滿足兩個條件%一是每兩條直線都相交#二是交點不能重合$即每三條直線不能經過同一點#!$"若+大于!#"中的結論$則不成立#若+小于!#"中的結論$則說明%條直線中有平行線或兩條以上直線相交于同一點!解!#如圖%$##/$最多有#/個交點## #$點撥%,條直線兩兩相交$交點的個數(shù)最多有,!,#"個$

$但是繼續(xù)學習其他幾何知識的基礎$填空題(選擇題的形式出現(xiàn)$以考查基本概念和基本計算為主$也可能作為規(guī)律探究問題出現(xiàn)$一般分值在'分以內 #和三角尺作直線#$$%$從圖中可知$直線"#與直線$%的位置關系為!$!廣西南寧中考#'題!' #思路導引%這是尺規(guī)作圖作已知直線的平行線的方法!答案平行!$$關系是!1" 無法確'!思路導引%由平行于同一條直線的兩條直線互相平行知選這一也適合握手問題及單循環(huán)賽等數(shù)學問題" 平行線及其判定"$ 平行線的判定 同位角相等$兩直線平 !重點(難點兩條直線被第三條直線所截$如果同符號語言%如圖%$$#$因為#-$!已知" $所以*$%!同位角相等$兩直線平注意構成同位角的兩條被截線不一定平行$只有形成的兩個同位角相等時這兩條被截線才平行!&同位角相等$兩直線平行'是通過兩個角的大小關系!相等"推導出兩直線的位置關系!平行"$關系與兩直線位置關系之間的聯(lián)系$同時給判斷兩直線平行一個定量的標準!兩個同位角相等"! 內錯角相等$兩直線平行重點(難點兩條直線被第三條直線所截$如果內錯角相等$

條直線平行掌握基本事實%兩條直線被第三條直線所截掌握基本事實%兩條直線被第三條直線所截$!內錯角相等或同旁內角互補"$同位角相等!內錯角相等或同旁內角互補"$直線平行!掌握$所以*$%!內錯角相等$兩直線平行注意&內錯角相等'指的是當一對內錯角相等時$不要誤以為內錯角都相等!&內錯角相等$兩直線平行'直線平行這一結論$從而建立起&角度相等'與&兩直線平行'#同旁內角互補$兩直線平行!重點(難點簡單說成%同旁內角互補$兩直線平行$!+所以*$%!同旁內角互補$兩直線平行 !方法一"平行的定義%在同一平面內$ 條直線就是平行線!方法二"平行公理的推論%如果兩條直線都與第!方法三"同位角相等$兩直線平行!方法四"內錯角相等$兩直線平行!方法五"同旁內角互補$兩直線平行!方法六"在同一平面內$同一條直線$那么這兩條直線平行

%!!$%$$/$!/$!!#(%看能否找到一對同位角相等(內錯角相等或同旁內角互補$在本題中只能發(fā)現(xiàn)!!##./$沒有其他的同位角(內錯*$#%$/'/$!5/!,!///*$# )基礎類*題型典例題型典例 )基礎類*利用&同位角相等$兩直線平行

問

如圖%$$%$已知直線-$$$7$$且#

$!+#./$題型典例如圖 $$ $$點#在%$上$#)平題型典例

思路導引

$- !$#)-$$#"!轉化為同位角相等$

'+解%理由?#$已知!

@-*

內錯角相等$兩直線平行

$%$%@!?!!!

$

?'+#./!@*!5同旁內角互補$兩直線平行*$點撥%判斷兩直線平行有多種方法$要靈活選擇!

@-*!5平行于同一條直線的兩條直線互相平行中出現(xiàn)角的關系較多時$常選擇判定方法證明#當出現(xiàn)多條直線平行時$常采用平行公理的推論證明! )基礎類*利用&內錯角相等$兩直線平行

本題的分析中$我們使用的方法叫作&綜合法'$即由已知條件一步步往后推理$看這個已知條件能推出什么結論$直推導出要說明的結論為止#還有一種分析的方法叫作&分析法'$即由結論往前推$題型典例 如圖 $$ '已知!'-#"$平

條件$一直逆推到已知條件為止#遇到復雜問題的時候$常常分析法和綜合法同時進行$即由兩頭向中間推$$思路導引%$''可得#*!

$

間的結合點題型典例題型典例#

$%$%?!$@!#?'#$@'*%!說明兩條直線平行$當題目中有同位角或內錯角的時 )基礎類*利用&同旁內角互補$兩直線平行'說明兩直線平行題型典例如圖%$$+$已知題型典例#'/$!5/$%! #%!

*!$"試問#1與%2是否平行-為*$%$%$ $$面內垂直于同一直線的兩條直線平行可得到結論#!$"#1與%2是否平行$可觀察一對同位角)和!))-$))*!%$$!!%?%$%$@!!$$@!)!!@*!#和$不是同位角$不能誤認為#和$是同位角$直*$*$!!! )綜合類*題型典例如圖%$$6$請?zhí)砑右粋€你認為恰當?shù)臈l件題型典例#*思路導引%可以根據內錯角相等$線平行得"#*$%$要添加的條件是

先向右拐%/$再向左拐$$析選項0$如圖%$$9$學員%+$駕駛汽車$先向左拐'/&'/$!%*$答案!兩次拐彎的方向與角度的關系%!#"兩次拐彎后方向與原來的方向相同%一次向左拐$一次向右拐$兩次拐彎的角度相同 兩次拐彎后方向與原來的方向相反%可以是兩次"-%$等$兩直線平行得*$%$要添加的條件

%$$6 拐或者兩次右拐$兩次拐彎的角度和為#./也可以是一次左拐一次右拐$兩次拐彎的角度之差為#./!'"兩次拐彎%$$$!!#./!"-#%!$%#./要說明兩直線平行$首先考慮說明同位角相等(

后方向與原來方向垂直%可以是兩次左拐或者兩次右拐$兩次拐彎的角度之和為9/或6/#也可以是一次左拐$一次右拐$兩次拐彎的角度之差為/或/!)綜合類*題型典例$$%$$-/題型典例等或同旁內角互補$其次考慮利用平行公理的推論 )綜合類*一題多解 說明兩直線平$$!.

$#$題眼直擊%輔助線的構造(的判定(垂直的定義思路導引%#*$

# 同錯$同旁1*)$直線 $同思導引 (內錯角或同旁內角$?!+./$!.#./

$

創(chuàng)造條件%$$?%$%$@*$!!?!/!?!/$@!!$@*$@*!#$!"'!.#./$!!.#$!方法'"'5.$!.@'5#./*! 點撥%欲說明#*$$我們只需說明同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補應由已知分析(選擇證題路徑$不能毫無目標瞎沖亂撞! )綜合類*平行線的判定方法在生活中的題型典例應題型典例方向與原來的方向相同$這兩次拐彎的角度可能是!先向左拐'/$&再向右拐先向右拐%/$再向左拐先向左拐%/$再向右拐/

$!方法$"延長"#交)*于點$如圖%$$ "?!#/$@!/&!!!#+/$!$!#-%%$$ "?%$@!#9/!#'/$@!#./&!/$&/!?!+/$@!!$@*!點撥%法$它能架起已知與未知之間聯(lián)系的橋梁$一旦架起這座橋梁$問題往往就可以迎刃而解然而添加輔助線并不是件易事$一般都是因題而異$沒有固定的規(guī)律可循$成為幾何學習中的一個難點!平行線的判定是解決其他幾何問題的基礎$直接考查時一般出現(xiàn)在填空題和選擇題中$所占分值不會太大$一般'分左右但的是作為解決其他問題的工具$在大多數(shù)幾何題中$都可能用到這個知識!考法一平行線的判定中考典例如圖%$$#$$直線-$被直線所截$中考典例$則-$平行

/#+!湖南湘潭中考#'題!'思路導引%若#-$$則-*!同位角相等$兩直線平行"#若$-'$則-*!內錯角相等$兩直線平行"!答案不答案%#$!答案不唯一$$! !!% !!+!中考5題+#$$

" 平行線的性質"% 平行線的性質!#"掌握平行線的性質%兩條平行線被第三條直線所截$同位角相等$內錯角相等$同旁內角互補!重點(難點"#!$"!#"兩直線平行$同位角相等!理解!$"兩直線平行$內錯角相等!理解!'"兩直線平行$同旁內角互補!理解 兩直線平行$同位角相等重點兩條平行線被第三條直線所截

簡單說成%兩直線平行$同旁內角互補#*!@!'#&兩直線平行$同旁內角互補

$同位角

注意%并不是同旁內角一定互補$件下才有同旁內角互補符號語言%如圖%'!#$?*! %并不是所有的同位角都相等$只有時$才有同位角相等

#兩直線平行

然后得出角相等或互補的 前提行線的質描述的是&數(shù)量關系'$ 然后得出角相等或互補的關系$是由&位置關系'到&數(shù)量關系'#而平行線的判定是以角的相等或互補的關系為前提$然后得到兩直線平行$是由&數(shù)量關系'得到 兩直線平行$內錯角相等重點兩條平行線被第三條直線所截

&位置關系' 簡單說成%兩直線平行$內錯角相等#*!@$-+!兩直線平行$內錯角相等"注意%并不是所有的內錯角都相等$只有&兩直線平行時$才有內錯角相等#兩直線平行$同旁內角互補難點兩條平行線被第三條直線所截$同旁內角互補

)基礎類*題型典例!如圖%#$$點#是三角形%$的邊%的$*$!%/$!/!度數(shù)等于 6 ### #$%?*$ #%/&! %#5/%/!答案%! )基礎類*角平分線與平行線的性質相結'#

%*#%$%*#%$條件中有 題型典例 )基礎類*題型典例'$$$有何特殊的位置關系嗎-說說你的理由!$/ # # #$ #

思路導引%)和$*平行$要證明兩直線平行$可以從角入手$

#?!$@-!'/?*$@!-'/!$@!-$!%!!

#

說明 -$即可利用內錯角相等$兩直線平行來說明$*%*$-$答案%!點撥答案%!

$$!# $將平行線和角平分線知識綜合在一起$ )基礎類*垂直與平行線的性質相結合求題型典例角題型典例如圖%#+$直線*$%%$

*點撥%平行線和角的大小關系是緊密聯(lián)系在一起的$一對同位角相等(內錯角相等或同旁內角互補$我們可以判斷兩直線平行$根據兩直線平行我們又可以判斷其他的同位角相等(內錯角相等或同旁內角互補$因此兩直線平行好似一座橋梁$將原本沒有關系的幾對角之間建立起聯(lián)系!')基礎類*平行線的性質與&三種角'的平的度數(shù)為 +%&% $%

#

如圖 '# $$%思路導引%由題中條件可得出$%9/$!答案%! )基礎類*

$%!!%$此$可得#與$的和$再通過平行線的性質$可確定!$的度數(shù)$

#題型典例

如圖 '# $$$

!!$$!$%%$被直線"$所截得的同位角$由圖可猜*

%%#$?*!!%行#$又已知條件中有!'-!$#由圖可猜%#-$故說明 !#*$#

$同旁內角互補$$ # #$!$$!!%-!!%

# ?#+#./$!#!$#/$

@#$$

!!"$$@*$@!'!!'@!!$@*$@!

$$*$@#'$+!兩直線平行$內錯角相等@!'!+!$!%!題型典例 )基礎類*題型典例'#$!$!$!%思路導引%本題涉及兩直線平行$角和同旁內角$可考慮作輔助線構造出同位

!!*0點撥%一個數(shù)學問題的構成含有四個要素%題目的條件(題的依據(解題的方法(題目的結論$角(內錯角和同旁內角解決問題%*$#

#

解題者已經知道或者結論雖未指明$但它是完全確定的$這樣的問題就是封閉性的數(shù)學問題! )綜合類*一題多解 作輔助線求*$@

的度 如

$$!

#$*$0 $條直線平行"%!!!?!!$@!!解決平行線中拐角問題的方法%已知圖形中有平行線和拐點時$常過拐點處作平行線$構造出同位角(內錯角和同旁內角這樣角之間的關系就可以求解了! )綜合類*一大門的欄桿如圖%'##$"

思路導引%此圖不是我們所學過的&八角'的基本圖形$需添加輔助線$把它轉化成我們所熟悉的基本圖形!解!方法過點0作射線2*$#!?*$@*$@!+$%!?*$@!''$$@!6#

#$%$$!- 度題眼直擊%平行公理(平行線的性質$

1*$ '# "!?*$@1*$@5/&$#%%!?*$@&##./&'$#+.$%$!!(-9/$ !%#./9/!/

#

/&.&%!$圖%#'!'"#!$!點撥%解本題時既可以過點#作*$%$也可以過點1*$ )綜合類*題型典例###$題型典例#$!!嗎-說明你的理由

?*$@!!$!6/$%6!!行線時$造平行線$從而構造出同位角(!思路導引%如果0和!相等$那么*$

#*$$-%%!#*%!#%!?#$已知

利用平行線的性質求角度是平行線的性質考查的重點$并常與平行線的判定相結合出題$主要以填空題(選擇題的形式出現(xiàn)另外平行線在今后的幾何證明和計算中也有廣泛應用!考法 '#+%$$.$$ # 5 5 6#

## $$ !$! )-!+%$#+%$&

6/' #./&!&%!答案%"

#答案!變式演練如圖%'#!#%$把三角板的直角頂點放在直尺$!5 % + #/'/!-&

+變式演練',如圖%'# #5/$$!#$%#!$考法 中考典例

如圖#$$第#題圖考法

#$$!%$!$$ " 遵義中考+題!' + 遵義中考+題!'+中考典例 #$$

$1$#$$$%/$#5 #重慶中考卷題+ 重慶中考卷題' $%$$$#!答案%!#+/$!+/$!$則+-5''/4!# !第$題圖#$+%&5/5''/!考法

*$##$$$!$#$%.%&#./!答案%"變式演練+如圖%'#$#$*$等邊三角形的頂點99!25 + + #9$!$!+$$!##!中考典例 '#.$*$!$!-

!第+題圖/# # 命題(定理(命!#"通過具體實例$了解命題的意義!$"結合具體實例$會區(qū)分命題的題設和結論!重點!'"真假命題的判斷!重點(難點!#"命題的含義!了解!$"命題的題設!條件"和結論!理解定理(!#"了解定理的意義!$"知道證明的意義和證明的必要性$知道證明要合乎邏輯!'"了解反例的作用$知道反例可以判定一個命題是錯誤的!重點!#"證明的含義!了解!$"證明的必要性!理解!'"定理的含義!了解

& !#"根據題意$畫出圖形 !$"根據題設(結論$結合圖形$寫出已知(求證 !$"任何一個判斷或者是真$或者是假$!'"命題不能是一個祈使句或疑問句!例如$今天天氣好嗎"命題的組成!重點注意%命題的題設和結論$有時也用&若##則##'等形式#真命題與假命題!重點(難點"真命題%如果題設成立$那么結論一定成立$這樣題叫$假題%有些命題中$題設成立時$不能保證結論一定成 判斷一個命題是假命題$只需舉出一個例子!反例"$它符合$"定理%經過推理證實得到的真命題叫作定理注意%定理都是真命題$但真命題不一定都是定理

!'"經過分析$找出由已知推出結論的途徑$過程$并注明依據!#"要說明一個命題是真命題需根據公理和定理證明!$"證明中的每一步推理都要有根據$不能&想當然'!0123定義(命題(公理!基本事實"$即定義公理和定理也是公理和定理都是真命題$都可以作為進一步題真題型典例 )基礎類*題型典例 $1"過點$作直線"#3"兩直線相交$思路導引%$$2都是敘述一個過程的語句$沒有判斷的意%"(!#"命題必須是一個完整的"!題型典例$)基礎類*題型典例把命題改寫成&如果//那么//'的形式!#"兩條平行線被第三條直線所截$內錯角相等!$".是自然數(shù)且是偶數(shù)思路導引%設法把題設和結論部分省略的文字找出來$&如果/那/' 的形式$要從文字的順序(行全面考慮!解!#如果兩條平行線被第三條直線所截$相

答案%平行#$兩直線平行$內錯角相等!%*%題型典例 )基礎類*題型典例舉例說明下列命題是假命題!#"如果一個整數(shù)能被%整除$那么這個整數(shù)的個位數(shù)字是%#!$"如果兩個角相等$那么這兩個角都是直角思路導引!"可列舉一個整數(shù)$這個整數(shù)能被%整除$而這個整數(shù)的個位數(shù)字不是!"可列舉兩個角$這兩個角相等$但這兩!解"例如$/能被%整除$但它的個位數(shù)字不是!$"例如一個小于#./&的角的平分線將它分成兩個角$ (!$"如果一個數(shù)字是.$那么它是自然數(shù)而且是偶數(shù)(&'&那么'后面跟的是由已知事!題型典例%)基礎類*命題真題型典例下列命題中$哪些命題$哪些是假命題!#"三角形的內角和等于#/8$/思路導引!"任何一個三角形的內角和都等于#./$所以這個命題是真命題#!$"命題可以理解為&如果兩個數(shù)的和大于/$那$A/$所以這個命題是假命題解"是真命題$!$"是假命題( )基礎類*'$$!直線與%的位置關系如何-并說明理由!$答 %?*! ?!!! *%!!

)綜合類**$%!$!$%!$思路導引%弄清命題的題設和結論$言表達出來解%兩條平行直線被第三條直線所截$線互相垂直(題型典例 )綜合類*題型典例$*#"*##-%$$-*#%-%題設 !填序號"$結論 !填序號$*#%-%$點撥%此問題的答案不唯一$只要是真命題即可命題(定理和證明是學習幾何的基礎$的真假(將命題改寫成&如果!!那么!!'的形式$

無理數(shù)包括正無理數(shù)(/(兩點之間$ 襄陽中考6題!'思路導引%中所有的實數(shù)都可用 的點表示$所以很大$常出現(xiàn)在選擇題或填空題當中$

選項的說法正確#1中等角的補角相等$所以1選項正確#2!考法一命題題設和結論的判斷中考典例命題&對頂角相等'的條件 中考典例'! 思路導引%把對頂角相等改寫成%如果兩個角是對頂角$答案%兩個角是對頂角'+變式演練#,命題&如果直角三角形的兩直角邊長分別為-$$斜邊長為那么-$$$'的結論為-$$'中考典例考法二中考典例

理數(shù)包括正無理數(shù)和負無理數(shù)$所以選項錯誤#3中兩點之所以故選"%!+變式演練$,下列選項中$可以用來證明命題&若-$8#$則-#'是假命題的反例是!0" #$+命題是假命題的反例#選項1$--#不滿足原命題的題設-$8#$故例#選項3$把--$代入命題&若-$8#$則-#'$題設和結論都成 平平!#"通過具體實例認識平移$探索它的基本性質%!$"認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應用!'"!#"平移!了解!$"平移的基本性質!理解!'"作簡單平面圖形平移后的圖形!掌握"利用平移進行圖案設計!了解!圖在平面內$把一個圖形整一個新的圖形$圖形的這種移圖如圖%+#$三角形$沿著直線12方向平移到三角形$4點"與%+#

平移是一種運動形式$是圖形變換的一種情況 圖形平移的距離$這兩個要素是圖形平移的依據$二者缺一!'"圖形的平移是指圖形的整體平移$即經過平移后的"平移的特征重點點$點#$$與點也分別是對應點#線段"#"平移的特征重點應線段$線段$"與線段也分別是對應線段#!!4$!!!$!

"平移后$新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同三角形"#$移的方向也可以看成是由點"!或#$$"

$連接各組對應點的線段平行 或在同一條直線上"相4$44!$4注意%圖形平移的方向不限于是水平或豎直的

注意&連接各組對應點的線段'與&對應線段'的區(qū)別$前者不是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的$它是通過連接產生的#而后者本身就存在于原來的圖形與平移后的圖形中!圖%+ 如圖%圖%+ 形"#$平移到三角形!#"!$"$#

$% 思路導引點$$$的對應點分別$$$*$%$都是平移的距離!又因為平移距離是#$與三角形"#$相比$高相等$梯形上底$)與下底%的和是三角形"#$的底

圖%+!'"!!$!!$!!! #$的'倍$所以梯形$%的面積-三角形的面積4'-5!B$!" " !$"對應點所連的線段平行!或在同一條直線上"點撥%本題還可采用取特殊值的方法計算%假 $$$%B$%#!."$

)基礎類*與圖形部分的面積有關問所連的線段平行或在同一條直線上且相等'!在具體作圖時$應抓住作圖的&四步曲'...定(找移(連 定%確定平移的方向和距離 找%找出表示圖形的關鍵點 移%過關鍵點作平行且相等的線段$

題型典例#如圖%++$在長方形%中$B$B$%米才能使平移后的長方形*):(與原來的長方形部分的面積為$+$思路導引%由部分是一個長方形$且面積為$+B$$#$長為5B$可求得#)的長$應點 連%按原圖形順次連接對應點

圖%+ )基礎類*

解%由題意知長方形:)的面積為$+B$$$長為5B$55題型典例在以下現(xiàn)象中題型典例

即平移的距離為 *B!用打氣筒打氣時$氣筒里活塞的運動#"直線傳送帶上$瓶裝飲料的移動#在平直的公行駛的汽