2022年湖北省荊門市毛李中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3參考答案：A【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，進(jìn)而可得答案．【解答】解：函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，當(dāng)y=sinx時(shí)，y′=cosx，滿足條件；當(dāng)y=lnx時(shí)，y′=＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=ex時(shí)，y′=ex＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=x3時(shí)，y′=3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選：A2.甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍.若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了3局的概率為（

）A． B．

C．

D．參考答案：B3.已知點(diǎn)集，則由U中的任意三點(diǎn)可組成（）個(gè)不同的三角形．A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：C【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】先求出點(diǎn)集U，在任選三點(diǎn)，當(dāng)取（﹣1，1），（0，0），（1，1）時(shí)，三點(diǎn)在同一條直線上，不能構(gòu)成三角形，故要排除，問題得以解決．【解答】解：點(diǎn)集，得到{（﹣1，﹣1），（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）}，從中選選3點(diǎn)，有C53=10種，當(dāng)?。ī?，1），（0，0），（1，1）時(shí)，三點(diǎn)在同一條直線上，不能構(gòu)成三角形，故要排除，故則由U中的任意三點(diǎn)可組成10﹣1=9個(gè)不同的三角形．故選：C．4.兩圓和的位置關(guān)系是（

）A．相離

B．相交

C．內(nèi)切

D．外切參考答案：B

解析：5.在上定義運(yùn)算，，，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為()A．

B．

C．

D．參考答案：B6.設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則參考答案：B略7.從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有

（

）A.280種

B.240種

C.180種

D.96種

參考答案：B8.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知的平面直觀圖是邊長為的正三角形，那么原的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.下列有關(guān)命題的說法正確的是

A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”；B．命題“使得”的否定是：“均有”；C．在中，“”是“”的充要條件；D．“或”是“”的非充分非必要條件.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某?，F(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為______.參考答案：1012.已知向量的夾角為，，則=

。參考答案：13.雙曲線的離心率是

▲

.參考答案：【分析】求得雙曲線的a，b，c，運(yùn)用離心率公式e=，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】雙曲線﹣y2=1的a=，b=1，c==2，可得e===．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的基本量和離心率公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

14.寫出命題“，使得”的否定：

．參考答案：有命題的否定的定義可得：命題“，使得”的否定為，都有.

15.三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，，，，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為____________．參考答案：16π試題分析：三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以把它擴(kuò)展為長方體，它也外接于球，對角線的長為球的直徑，然后解答即可．詳解：如圖，在△ABC中，由正弦定理得?sinC=，∵C＜B，∴C=30°，∴A=90°，又∵PA⊥平面ABC，AP，AC，AB兩兩垂直，故可將此三棱錐放入一個(gè)長、寬、高分別1，，2為的長方體內(nèi)，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)亦為長方體的頂點(diǎn)，其外接球?yàn)殚L方體外接球．易得外接球半徑為2，故外接球表面積為4πR2=16π．故答案為：16π．點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.16.若，則________．參考答案：【分析】利用“切化弦”化簡條件等式，可求出，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出，從而可得結(jié)果.【詳解】由題意，，通分可得，，，，所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適的化簡方向是解決本題的關(guān)鍵.17.已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為__________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，直三棱柱中，D,E分別是的中點(diǎn)，,（1）證明：.（2）求二面角的正弦值.參考答案：（1）證明：連接交于點(diǎn)F，則F為的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)。連接DF，則因?yàn)?…………………（3分）（2）解：由以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間真角坐標(biāo)系（2分）設(shè)是平面的法向量，則同理，設(shè)是平面的法向量，則可取…………（4分）從而即二面角的正弦值為………………（2分）19.已知甲箱中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，乙箱中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動，規(guī)定顧客購物1000元以上，可以參與抽獎(jiǎng)一次，設(shè)獎(jiǎng)規(guī)則如下：每次分別從以上兩個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出2個(gè)球，共4個(gè)球，若摸出4個(gè)球都是紅球，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金300元；摸出的球中有3個(gè)紅球，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金200元；摸出的球中有2個(gè)紅球，則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金100元；其他情況不獲獎(jiǎng)，每次摸球結(jié)束后將球放回原箱中.（1）求在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率；（2）若3人各參與摸獎(jiǎng)1次，求獲獎(jiǎng)人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；（3）若商場同時(shí)還舉行打9折促銷活動，顧客只能在兩項(xiàng)促銷活動中任選一項(xiàng)參與.假若你購買了價(jià)值1200元的商品，那么你選擇參與哪一項(xiàng)活動對你有利？參考答案：（1）；（2）；（3）詳見解答.【分析】（1）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)”為事件，利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲獎(jiǎng)”為事件，求出，每個(gè)人獲獎(jiǎng)的概率相等，獲獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布，求出可能值的概率，由此求出的分布列，應(yīng)用二項(xiàng)分布期望公式即可求出結(jié)論；（3）求出中獎(jiǎng)的期望，設(shè)中獎(jiǎng)的的金額為，可能值為，求出相應(yīng)的概率，列出分布列，進(jìn)而求出期望，與打9折的優(yōu)惠金額對比，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)”為事件，則，所以在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲獎(jiǎng)”為事件，則獲得一等獎(jiǎng)的概率為，獲得三等獎(jiǎng)的概率為，所以，每個(gè)人摸獎(jiǎng)是相互獨(dú)立，且獲獎(jiǎng)概率相等，獲獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，分布列為：

；（3）如果選擇抽獎(jiǎng)，設(shè)中獎(jiǎng)的的金額為，可能值為，，，，的分布列為：

，如果購買1200選擇打九折，優(yōu)惠金額為，選擇打九折更有利.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件概率、離散型隨機(jī)變量分布列期望、二項(xiàng)分布期望，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20.(本題滿分14分)某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(Ⅱ)估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；(Ⅲ)從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率.參考答案：（Ⅰ）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率：

………………2分直方圖略

…4分（Ⅱ）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%

,

................6分利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分

….8分＝＝71估計(jì)這次考試的平均分是71分

…….9分（Ⅲ），，”的人數(shù)是18,15,3。所以從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率。

……14分21.已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)虛根為α、β，且，求m的值．參考答案：5【分析】本題首先可以根據(jù)復(fù)數(shù)根虛根必共軛的性質(zhì)設(shè)，然后根據(jù)韋達(dá)定理可得以及，再通過計(jì)算得，最后通過運(yùn)算即可得出結(jié)果?！驹斀狻坑煞匠逃袃蓚€(gè)虛根α和β可設(shè)．所以，得，，因?yàn)?，所以，解得，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)根的計(jì)算，利用待定系數(shù)法結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力與運(yùn)算能力，是中檔題。22.（12分）若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為展開式中的常數(shù)