圖形折疊問題第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月在一張長方形ABCD紙片中，AD＝25cm,AB＝20cm．點E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH的大小及EG的長。（浙教版九下P17題6）如何解此題？201020第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形折疊問題既考查學生的動手能力，又考查了想象能力，往往與全等、相似、面積、對稱性質(zhì)聯(lián)系在一起．涉及到畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題，它與代數(shù)、幾何均有聯(lián)系．此類題目對于考查學生注重知識形成的過程，領會研究問題的方法有一定的作用，也符合新課改的教育理論。第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二解決翻折問題

我們把翻折問題分為兩類：“依點翻折”和“依線翻折”。一認識翻折問題

1.關注“兩點一線”在翻折過程中，我們應關注“兩點”，即對稱點，思考自問“哪兩個點是對稱點?”；還應關注“一線”，即折線，也就是對稱軸。這是解決問題的基礎。

2.聯(lián)想到重合與相等遇到這類問題，我們應馬上聯(lián)想到“重合的線段相等,重合的角相等”，這是解決問題的關鍵。圖形的翻折是圖形的運動形式之一第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月依點翻折第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.將矩形ABCD紙對折，設折痕為EF，再把B點折到折痕線EF上（見圖點B′），若，則EB′=____．

B

A

B′

G

D

C

E

F第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例2、有一個數(shù)學活動，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）．請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論．圖1圖2p（1）△BMP是等邊三角形．證明：連結AN,∵EF垂直平分AB∴AN＝BN.由折疊知:AB

＝BN∴AN

＝AB

＝BN∴△ABN為等邊三角形∴∠ABN

＝60°∴∠PBN

＝30°又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM

＝∠A

＝90°∴∠BPN＝60°,∠MBP

＝∠MBN

＋∠PBN

＝60°∴∠BMP＝60°∴∠MBP

＝∠BMP

＝∠BPM

＝60°∴△BMP為等邊三角形．第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例2、（2）在圖2中，若AB＝a，BC＝b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP？圖1圖2pab第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）設矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝4，并建立如圖3所示的直角坐標系.設直線BM/為y=kx，當∠M/BC＝60°時，求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什么？例2、第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）．圖1圖2圖3第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月A/H2第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.（2007年濟寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設折痕為MN，再把B點疊在折痕線上，得到△ABE.過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ.

(1)求證：△PBE∽△QAB；

(2)你認為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；

(3)如果沿直線EB折疊紙片，點A是否能疊在直線EC上？為什么？第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點處，如果∠BAF=60°，則∠DAE=

A

BCD

FE根據(jù)折疊的規(guī)律：可證△ADE≌△AFE,從而∠DAE=∠FAE=(90°--60°)÷2=15°15°60°15°15°第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應邊角相等.2.點的對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：1.△AFE≌△ADE2.AE是DF的中垂線第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.如圖，折疊長方形的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的長分析：設EC=x,則EF=DE=8-x.在Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，所以BF=6，F(xiàn)C=4Rt△POE∽Rt△BPA解得EC=3(cm)

A

BCD

FE81010643第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

（08浙江寧波）如圖1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為a.（1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：第一步將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點B落在AD上的點B’處，鋪平后得折痕AE；第二步 將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕AF．則AD:AB的值是

，AD,AB的長分別是

，

．ABCDFEB’4開2開8開16開圖1圖2a（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值．相等，比值為第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.（2007年臺州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕

，且

(1)判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；(2)求直線CE與x軸交點P的坐標；P6X8X3X4X10X5X5X第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月關鍵是找出對稱點，并畫出來。依線翻折第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.08湖州已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分別以OB,OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是邊BC上的一個動點（不與B,C重合），過F點的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點E．請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．（,3）(4,)3第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.在平面直角坐標系中，正方形ABCO的邊長為6，兩邊OA、OC分別落在坐標軸上，點E在射線BC上，且BE=2CE，將△ABE沿直線AE翻轉(zhuǎn)，點B落在點B1處。（1）請在圖中作出點B1及翻轉(zhuǎn)后圖形.0CBAyx0CBAyEB1（2）對于圖1，若E在BC上，求點B1的坐標。兩種情況F利用相似，列出方程求解E0CBAyB1x圖1圖264a6-a46第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例10.（07湖北荊門）如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設P(x，0)，E(0，y)，求y關于x的函數(shù)關系式，并求y的最大值；圖1解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴y=(0＜x＜4)∴即xy4-x3第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關系式；圖2(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．故該拋物線上存在兩點Q(4，3)、(5，6)滿足條件．則∴y=第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.直線分別與x軸、y軸交于B、A兩點.

把△AOB以直線AB為軸翻折，點O落在平面上的點C處，再把△BOC以直線BC為軸翻折得△BCE，求點E的坐標.第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月由（1）知

OA＝1，

OB＝，∴∠OBA＝30°.∵△ABC和△ABO關于AB成軸對稱，

∴BC＝BO＝，∠CBA=∠OBA＝30°.∴∠CBO＝60°.

過點C作CM⊥x軸于M，如圖，則在Rt△BCM中，.

第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形翻折實際上是軸對稱變換，變換前后的對應線段相等、對應角相等。常常與角平分線、中線、線段中垂線、等腰三角形的高相聯(lián)系。解決翻折的動態(tài)幾何問題關鍵是結合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有關知識，全面尋找圖形運動過程中的不變量。

第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCD例12.（08山東東營）：將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形．將紙片展開，得到的圖形是（）

C第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例13．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后展開鋪平，得到的圖形是（）C第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例14.如圖,有一矩形紙片ABCD,AB=10,AD=6,將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F，則△CEF的面積為（）EDCBADCBAFEDCBAA．4 B．6 C．8 D．10６６４２２C４４第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形折疊問題中題型的變化比較多，但是經(jīng)過研究之后不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從今天