初一幾何——三角形內(nèi)外角平分線模型

1.在三角形ABC中，BO和CO分別平分∠ABC和∠ACB，已知∠1+∠2=50°，求∠A的度數(shù)。答案：C.100度2.在三角形ABC中，∠A=50°，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)。答案：D.30°3.在三角形ABC中，BO和CO分別平分∠ABC和∠ACB，交于點(diǎn)O，CE為∠ACD的外角平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則正確的結(jié)論是：答案：B.①③④4.在圖中，∠ABD和∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，已知∠A=60°，∠D=20°，求∠P的度數(shù)。答案：C.25°5.在三角形ABC中，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得∠A2；……；∠A2017BC和∠A2017CD的平分線相交于點(diǎn)A2018，得∠A2018。如果∠A=80°，求∠A2018的度數(shù)。答案：A.806.已知三角形ABC，以下說(shuō)法正確的是：答案：①如圖（1）7.在三角形ABC中，O是內(nèi)部一點(diǎn)，且OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，已知∠A=46°，求∠BOC的度數(shù)。答案：74度8.在三角形ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD的外角，求∠E的度數(shù)。答案：64度9.在三角形ABC中，∠C=104°，BF平分∠ABC和△ABC的外角平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)。答案：92度10.在直角三角形ABC中，角B為90度，角ACB和角CAF的平分線交于點(diǎn)H，求角H的度數(shù)。11.在圖1中，角ACD為三角形ABC的外角，BE平分角ABC，CE平分角ACD，且BE和CE交于點(diǎn)E。(1)如果角A為60度，角ABC為50度，求角E的度數(shù)。(2)猜想：角E與角A有什么數(shù)量關(guān)系；（寫出結(jié)論即可）(3)在圖2中，點(diǎn)E是三角形ABC兩個(gè)外角平分線BE和CE的交點(diǎn)，探索角E與角A之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。12.甲乙兩位同學(xué)對(duì)同一個(gè)圖形進(jìn)行研究。在三角形ABC中，點(diǎn)O是角ABC和角ACB的平分線的交點(diǎn)，如果角A為α度，則角BOC為多少度。（說(shuō)明：本題中角的大小均可用α表示）(1)甲同學(xué)不斷調(diào)整圖中射線BO和CO的位置，如圖2，角CBO等于角ABC，角BCO等于角ACB，角A為α度，則角BOC為多少度，并請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由。(2)由(1)方法，甲同學(xué)猜想：如圖3，當(dāng)角CBO為n倍角ABC，角BCO為n倍角ACB，角A為α度，角BOC為多少度。(3)乙同學(xué)的探究思路是把三角形不斷變化為四邊形、五邊形、六邊形等，探究角平分線組成的角O與多邊形其他角的關(guān)系。如圖4，在四邊形ABCD中，BO和CO分別平分角ABC和角BCD，試探究角O與角A和角D的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。(4)仿照(3)的方法，如圖5，在六邊形ABCDEF中，BO和CO分別平分角ABC和角BCD，請(qǐng)直接寫出角O與角A、角D、角E和角F的數(shù)量關(guān)系。13.(1)在圖1中，已知三角形ABC，BF平分外角CBP，CF平分外角BCQ。試確定角A和角F的數(shù)量關(guān)系。(2)在圖2中，已知三角形ABC，BF和BD三等分外角CBP，CF和CE三等分外角BCQ。試確定角A和角F的數(shù)量關(guān)系。(3)在圖3中，已知三角形ABC，BF、BD和BM四等分外角CBP，CF、CE和CN四等分外角BCQ。試確定角A和角F的數(shù)量關(guān)系。(4)在圖4中，已知三角形ABC，將外角CBP進(jìn)行n等分，BF是臨近BC邊的等分線，將外角BCQ進(jìn)行n等分，CF是臨近BC邊的等分線，試確定角A和角F的數(shù)量關(guān)系。14.(1)在圖1中，O是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BO和CO分別平分角ABC和角ACB。如果角A為46度，則角BOC為多少度。(2)如果角A為n度，則角BOC為多少度。＝90°＋12∠1，故③正確；∵BE平分∠ABC，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠BOE＝∠COE，∴∠BEC＝∠CEB，又∵∠BEC＝∠2，∴∠CEB＝∠2，∴∠BEC＝∠CEB＝∠2，∴△BEC中，∠B＋∠E＋∠C＝180°，∴∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣∠1﹣∠2＝3∠2，故②正確；∴選：A．4．如圖，BO，CO分別平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF，交于點(diǎn)O，∠A＝n°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．120°﹣n°B．60°﹣12n°C．60°＋12n°D．120°＋12n°【解答】解：∵BO，CO分別平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF，∴∠OBC＝∠OBE＋∠EBC，∠OCB＝∠OCF＋∠FCB，又∵BE平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF，∴∠OBE＝∠EBC＝∠OCF＝∠FCB，∴∠OBC＝2∠OBE，∠OCB＝2∠OCF，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣2（∠OBE+∠OCF）＝180°﹣2（∠OBE+∠OBE）＝2∠OBE＝2∠OCF，∴∠BOC＝2∠OCF＝2（180°﹣∠A）＝360°﹣4∠A，又∠A＝n°，∴∠BOC＝360°﹣4n°，故選：D．5．如圖，BO，CO分別平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF，交于點(diǎn)O，∠A＝n°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．120°﹣n°B．60°＋12n°C．60°﹣12n°D．120°＋12n°【解答】解：同上題，∠BOC＝2∠OBE＝2∠OCF，∴∠BOC＝2（180°﹣∠A）＝360°﹣4∠A，又∠A＝n°，∴∠BOC＝360°﹣4n°，故選：D．2.如圖2，$O$是$\triangleABC$外一點(diǎn)，$BO$，$CO$分別平分$\triangleABC$的外角$\angleCBE$，$\angleBCF$．若$\angleA=n^\circ$，求$\angleBOC$。3.如圖3，$O$是$\triangleABC$外一點(diǎn)，$BO$，$CO$分別平分$\angleABC$，$\angleACD$．若$\angleA=n^\circ$，求$\angleBOC$．選擇題：1.在$\triangleABC$中，$BO$，$CO$分別平分$\angleABC$和$\angleACB$，$\angle1+\angle2=50^\circ$，則$\angleA$的度數(shù)為（）$A.80^\circ$$B.50^\circ$$C.100^\circ$$D.110^\circ$解答：由平分線定理和三角形內(nèi)角和公式，得$\angleA=180^\circ-\angleBOC-\angle1-\angle2=80^\circ$，故選$A$。2.如圖，在$\triangleABC$中，$\angleA=50^\circ$，$D$是$BC$延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，$\angleABC$和$\angleACD$的平分線交于點(diǎn)$E$，則$\angleE$的度數(shù)為（）$A.40^\circ$$B.20^\circ$$C.25^\circ$$D.30^\circ$解答：由平分線定理和三角形外角和公式，得$\angleE=\angleECD-\angleEBD=\frac{\angleACD-\angleABC}{2}=\frac{1}{2}\angleA=25^\circ$，故選$C$。4.如圖，$BO$，$CO$分別平分$\triangleABC$的外角$\angleCBE$，$\angleBCF$，交于點(diǎn)$O$，$\angleA=n^\circ$，則$\angleBOC$的度數(shù)為（）$A.120^\circ-n^\circ$$B.60^\circ-\frac{1}{2}n^\circ$$C.60^\circ+\frac{1}{2}n^\circ$$D.120^\circ+\frac{1}{2}n^\circ$解答：由平分線定理和三角形外角和公式，得$\angleBOC=360^\circ-2(\angleOBE+\angleOCF)=360^\circ-4\angleA=120^\circ+4n^\circ$，故選$D$。5.如圖，$BO$，$CO$分別平分$\triangleABC$的外角$\angleCBE$，$\angleBCF$，交于點(diǎn)$O$，$\angleA=n^\circ$，則$\angleBOC$的度數(shù)為（）$A.120^\circ-n^\circ$$B.60^\circ+\frac{1}{2}n^\circ$$C.60^\circ-\frac{1}{2}n^\circ$$D.120^\circ+\frac{1}{2}n^\circ$解答：同上題，$\angleBOC=360^\circ-4\angleA=120^\circ+4n^\circ$，故選$D$。1.刪除明顯有問(wèn)題的段落，改寫每段話：4.如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝60°，∠D＝20°，則∠P的度數(shù)為（）。解：延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，設(shè)∠ABP＝α，BP平分∠ABD，∴∠ABE＝2α，∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，CP平分∠ACD，∴∠ACP=2∠ACD＝α+40°，∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，∠AFP＝∠P+∠ACP，∴α+60°＝∠P+α+40°，∴∠P＝20°，故選：B．5.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得∠A2；……；∠A2017BC與∠A2017CD的平分線相交于點(diǎn)A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，則∠A2018的度數(shù)是（）。解：∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC=1/2∠ABC，∠A1CD=1/2∠ACD，由三角形的外角性質(zhì)，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，1/2(∠A+∠ABC)=∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC，整理得，∠A1=1/2∠A=1/2×80°=40°；同理可得∠An=(1/2)^n×80，故選：D．1.改寫每段話：1.∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=1/2∠ACB，∠ACE=1/2∠ACD，∴∠OCE=1/2(∠ACB+∠ACD)=1/2×180°=90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正確；故選：C．2.如圖，如圖，如圖都沒(méi)有文字說(shuō)明，無(wú)法改寫。3.刪除明顯有問(wèn)題的段落，改寫每段話：6.已知△ABC，下列說(shuō)法正確的是①②③（只填序號(hào)）．①如圖（1），若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°+∠A；②如圖（2），若點(diǎn)P是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°?1/2∠A；③如圖（3），若點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=∠A．解：①正確，因?yàn)椤螾=1/2∠A+1/2∠A+90°=90°+∠A；②錯(cuò)誤，因?yàn)橥饨恰螩BF和∠BCE的角平分線不會(huì)相交于一個(gè)點(diǎn)；③正確，因?yàn)椤螾=1/2∠A+∠A=3/2∠A=∠A+∠ACE，故選：①③。解：∵BF平分∠ABC，AE為△ABC的外角平分線，∴∠FBE=∠ABC/2，∠ABE=∠ACB/2，∴∠FBA=∠ABC/2+∠ACB/2=∠BAC，∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，∴△ABF≌△BAF，∠BFA=∠BAF，∴∠F=∠BFA+∠FBA=2∠BFA=52°，故答案為52°。）α，∠BOA＝（135-0.5α）°，∠COA＝（45+0.5α）°．（1）求∠ABC和∠ACB的度數(shù)；（2）如果∠ABC＝60°，求∠BOC、∠BOA和∠COA的度數(shù)；（3）如果∠BOC＝120°，求∠ABC和∠ACB的度數(shù)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB的平分線交點(diǎn)，∴∠BOA=1（∠ABC+∠ACB）＝1（180°-∠A）＝（135-0.5α）°，∴∠ABC＝2∠BOA＝2（135-0.5α）°＝270-α，∠ACB＝2∠COA＝2（45+0.5α）°＝90+α，（2）代入∠ABC＝60°，得∠ACB＝150°，∴∠BOC＝（90+2∠ACB）°＝390°，∠BOA＝（135-0.5∠A）°＝105°，∠COA＝（45+0.5∠A）°＝75°；（3）代入∠BOC＝120°，得∠A＝60°，∴∠ABC＝2∠BOA＝2（135-0.5×60°）°＝120°，∠ACB＝2∠COA＝2（45+0.5×60°）°＝150°．(1)在圖中，甲同學(xué)調(diào)整了射線BO和CO的位置，使得∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，且∠A=α。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可以得到∠BOC=120°+α。需要說(shuō)明的理由是什么？(2)根據(jù)甲同學(xué)的方法，我們可以得到在圖中③，當(dāng)∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，且∠A=α?xí)r，∠BOC=(n-2)×180°/n+α/n，其中n為正整數(shù)。這個(gè)結(jié)論是如何得出的呢？(3)乙兩同學(xué)的探究思路是將三角形不斷變化為四邊形、五邊形、六邊形等多邊形，探究角平分線組成的∠O與多邊形其他角的關(guān)系。在四邊形ABCD中，BO和CO分別平分∠ABC和∠BCD，試探究∠O與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。(4)仿照乙兩同學(xué)的方法，在六邊形ABCDEF中，BO和CO分別平分∠ABC和∠BCD，請(qǐng)直接寫出∠O與∠A、∠D、∠E、∠F的數(shù)量關(guān)系：∠O=2(∠A+∠D+∠E+∠F)-180°。這個(gè)結(jié)論是如何得出的呢？六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為720°。因?yàn)镺B和OC分別平分∠ABC和∠BCD，所以∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠BCD。因此，∠O=180°?∠OBC?∠OCD=180°?∠ABC?∠BCD=180°?1/2(∠ABC+∠BCD)=180°?1/2(720°?∠A?∠B?∠E?∠F)=(∠A+∠B+∠E+∠F)?180°。因此，答案為(∠A+∠B+∠E+∠F)?180°/2。13.(1)如圖1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ，試確定∠A和∠F的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ，試確定∠A和∠F的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ，試確定∠A和∠F的數(shù)量關(guān)系；(4)如圖4，已知△ABC，將外角∠CBP進(jìn)行n等分，BF是臨近BC邊的等分線，將外角∠BCQ進(jìn)行n等分，CF是臨近BC邊的等分線，試確定∠A和∠F的數(shù)量關(guān)系。解：(1)由已知得∠CBF=1/2∠CBP，∠BCF=1/2∠BCQ。因?yàn)椤螩BP=∠A+∠ACB，∠BCQ=∠A+∠ABC，所以∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)/2=∠A+180°。因此，∠F=180°?(∠A+∠CBF+∠BCF)=180°?(∠A+1/2(∠A+∠ACB)+1/2(∠A+∠ABC))=90°?1/2∠A。(2)由已知得∠CBF=∠DBF=1/3∠CBP，∠BCF=∠ECF=1/3∠BCQ。因?yàn)椤螩BP=∠A+∠ACB，∠BCQ=∠A+∠ABC，所以∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)/3=2/3(∠A+180°)。因此，∠F=180°?(∠A+∠CBF+∠BCF)=180°?(∠A+2/3(∠A+180°)/3)=120°?1/3∠A。(3)由已知得∠CBF=∠DBF=∠MBF=1/4∠CBP，∠BCF=∠ECF=∠NCF=1/4∠BCQ。因?yàn)椤螩BP=∠A+∠ACB，∠BCQ=∠A+∠ABC，所以∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)/4=1/2(∠A+180°)。因此，∠F=180°?(∠A+∠CBF+∠BCF)=180°?(∠A+1/4(∠A+∠ACB)+1/4(∠A+∠ABC))=135°?1/4∠A。(4)將外角∠CBP和∠BCQ分別n等分，設(shè)∠CBF=∠DBF=∠MBF=α，∠BCF=∠ECF=∠NCF=β。則∠CBP=nα+∠A+∠ACB，∠BCQ=nβ+∠A+∠ABC。因?yàn)锽F是臨近BC邊的等分線，所以∠CBF+∠FBC+∠FBD=(n+1)α，即α+β+(∠A+∠ABC?∠F)=nα。同理，CF是臨近