三角函數(shù)的最值一、高考要求

1.能利用三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象等,求三角函數(shù)的最大值和最小值.

2.能利用換元法求某些三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值.

3.會(huì)把實(shí)際問(wèn)題化歸成三角函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題來(lái)解決.最值問(wèn)題是三角中考試頻率最高的重點(diǎn)內(nèi)容之一,需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角變換等,也是函數(shù)內(nèi)容的交匯點(diǎn),常見(jiàn)方法有:1.涉及正、余弦函數(shù)以及

asin+bcos,可考慮利用三角函數(shù)的有界性.二、重點(diǎn)解析三、知識(shí)要點(diǎn)2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函數(shù)可通過(guò)適當(dāng)變換、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在關(guān)系式中時(shí),可考慮換元法處理.常見(jiàn)的三角換元

1.若

x2+y2=1,可設(shè)

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可設(shè)

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.對(duì)于

1-x2,由于

|x|≤1,可設(shè)

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.對(duì)于

1+x2,可設(shè)

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.對(duì)于

x2-1

,可設(shè)

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

6.對(duì)于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,則

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例題1.求函數(shù)

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.僅當(dāng)

tan2x=cot4x,即

tanx=1

時(shí)取等號(hào).∴當(dāng)

x=k(kZ)

時(shí),y

取最小值

5;4

y

無(wú)最大值.解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

僅當(dāng)

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

時(shí)取等號(hào).2x

2x

2x

22y

無(wú)最小值.∴當(dāng)

x=2arctan

時(shí),y2

取最大值

.222716439∴當(dāng)

x=2arctan

時(shí),y

取最大值

;222x

2.求函數(shù)

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.3.已知函數(shù)

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期為

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴當(dāng)

2x+

=,即

x=0

時(shí),f(x)

取得最大值

1;4

4

∴當(dāng)

2x+

=,即

x=

時(shí),f(x)

取得最小值

-2

.4

83

解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.設(shè)

0≤x≤,求函數(shù)

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,則

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴當(dāng)

t=-1,即

x=

時(shí),y

取最大值27.當(dāng)

t=

2

,即

x=時(shí),

y

取最小值20-8

2

.4

5.已知函數(shù)

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定義域?yàn)閇0,

],值域?yàn)?/p>

[-5,1],求常數(shù)

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域?yàn)?/p>

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.6.求

y=的最值及對(duì)應(yīng)的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,則

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1對(duì)于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函數(shù).∴當(dāng)

t=1

時(shí),ymin=f(t)min=0,此時(shí),sinx=-1,x

的集合為:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

當(dāng)

t=3

時(shí),ymax=f(t)max=

,此時(shí),sinx=1,x

的集合為:83

7.函數(shù)

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值為

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,則

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812討論如下:②若

0≤

≤1,則

t=時(shí),由題設(shè)

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,則

t=0

時(shí),由題設(shè)

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,則

t=1

時(shí),由題設(shè)

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320綜上所述

a=.328.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有實(shí)數(shù)解,求

a

的取值范圍.解法1

從方程有解的角度考慮.原方程即為:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,則

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

從二次函數(shù)圖象及性質(zhì)考慮.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:“a

為何值時(shí),f(t)=2t2+2t+a-3

的圖象與橫軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在

[-1,1]

內(nèi).”∵f(t)

圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有實(shí)數(shù)解,求

a

的取值范圍.解法3

正難則反,從反面考慮.∵f(t)

圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的兩根均在

[-1,1]

之外,則72當(dāng)

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

時(shí),∴

f(1)<0.解得:a<-1.故滿(mǎn)足條件的

a

的取值范圍是

[-1,].72解法4

從分離參數(shù)的角度考慮.原方程即為:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.72課后練習(xí)1.求函數(shù)

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期為

.∴當(dāng)

2x=2k+即

x=k+(kZ)

時(shí),

f(x)

取最大值

;4

2

34∴當(dāng)

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

時(shí),

f(x)

取最小值

.4

2

14解:

由已知當(dāng)

a>0

時(shí),

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函數(shù)

y=acosx+b(a,b為常數(shù)),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此時(shí),a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43當(dāng)

a<0

時(shí),

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此時(shí),a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43當(dāng)

a=0

時(shí),

不合題意.綜上所述,bsinx+acosx

的最大值為

5.

解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,則

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,則當(dāng)

t=-1

時(shí),y

有最大值3.求函數(shù)

y=cos2x-2asinx-a(a

為定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,則當(dāng)

t=-a

時(shí),y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,則當(dāng)

t=1

時(shí),y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.綜上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.

4.當(dāng)

a≥0

時(shí),求函數(shù)

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相應(yīng)的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

為常數(shù),∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴當(dāng)

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

時(shí),

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,則

-

2

≤-a≤0,當(dāng)

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

時(shí),f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,則當(dāng)

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

時(shí),45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,則

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

5.設(shè)

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范圍.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,則

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

對(duì)

t[0,1]

恒成立.故可討論如下:(1)若

m<0,則

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,則

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,則

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.綜上所述

m>-

.12

即

m

的取值范圍是

(-

,+∞).12解法2

題中不等式即為

2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0,],2

∴0≤sin≤1.當(dāng)

sin=1

時(shí),不等式顯然恒成立,此時(shí)

mR;當(dāng)

0≤sin<1

時(shí),m>-恒成立.1+sin2

2(1-sin)令

t=1-sin,則

t(0,1],且

2t

1+(1-t)21t2t

m>-

=1-(

+)

恒成立.易證

g(t)=1-(

+)

在

(0,1]

上單調(diào)遞增,有最大值

-

,1t2t

12∴m>-

.12即

m

的取值范圍是

(-

,+∞).12

5.設(shè)

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范圍.2

6.設(shè)

0≤≤,P=sin2+sin-cos.(1)若

t=sin-cos,用含

t的式子表示

P;(2)確定

P

的取值范圍,并求出

P

的最大值和最小值.解:

(1)∵t=sin-cos,∴t2=1-2sincos=1-sin2.∴sin2=1-t2.∴P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=

2

sin(-).4

∵0≤≤,∴-

≤-≤

,4

4

43

即

P=-t2+t+1.∴-

≤sin(-)≤1.

224

∴-1≤t≤

2

.

∵P=-t2+t+1

的圖象是開(kāi)口向下的拋物線,其對(duì)稱(chēng)軸為

12直線

t=,12∴當(dāng)

t=時(shí),P

取最大值;54當(dāng)

t=-1

時(shí),P

取最小值

-1.54從而

P

的取值范圍是[-1,

].

7.已知

f(x)=2cos2x+3

sin2x+a(aR),(1)若

xR,求

f(x)

的單調(diào)增區(qū)間;(2)若

x[0,

]

時(shí),f(x)

的最大值為

4,求

a

的值;(3)在

(2)

的條件下,求滿(mǎn)足

f(x)=1

且

x[-,]

的

x

的集合.2

解:

(1)f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a

=2sin(2x+

)+a+1.6

由

2k-≤2x+≤2k+得:6

2

2

k-≤x≤k+.3

6

∴

f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

[k-,k+](kZ);6

3

6

(2)由

2x+=得

x=2

6

[0,],2

故當(dāng)

x=時(shí),f(x)

取最大值

3+a.6

由題設(shè)

3+a=4,∴a=1.(3)在

(2)

的條件下,f(x)=2sin(2x+

)+2.6

2

1∵f(x)=1,∴sin(2x+

)=-.6

又由題設(shè)

2x+

[-

,],6

611613∴2x+

=-或

-

或

或

.6

6

65

67

611∴x=-,-,

,

.2

6

2

65

6

2

65

故所求集合為

{

-,-,

,

}.2

8.設(shè)

f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤

).(1)用

a

表示

f(x)

的最大值

M(a);(2)當(dāng)

M(a)=2時(shí),求

a

的值.4a122

解:

(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令

t=sinx,則

0≤t≤1,故有:

f(x)=g(t)=-t2+at-+

=-(t-)2+

-+

(0≤t≤1).4a122a4a24a12要求

f(x)

的最大值

M(a),可分情況討論如下:g(t)

在

[0,1]

上先增后減.g(t)

在

[0,1]

上為減函數(shù).①當(dāng)

<0,即

a<0

時(shí),2a∴M(a)=g(0)=-

;124a②當(dāng)

0≤

≤1,即

0≤a≤2

時(shí),2a③若

>1,即

a>2

時(shí),2a∴M(a)=g()=

-+

;2a4a24a12g(t)

在

[0,1]

上為增函數(shù).∴M(a)=g(1)=

a-.1234-

,a<0,124a∴M(a)=

-+

,0≤a≤2,

4a24a12a-,a>2.1234若

-+

=2,

即

a2-a-6=0,4a24a12(2)由(1)知,若-

=2,則

a=-6;4a12解得

a=3

或

-2.均不合題意,舍去;1234若

a-

=2,則

a=.310綜上所述,

a

的值為

-6

或

.310小魔方站作品盜版必究語(yǔ)文更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您下載使用！附贈(zèng)中高考狀元學(xué)習(xí)方法群星璀璨---近幾年全國(guó)高考狀元薈萃

前言

高考狀元是一個(gè)特殊的群體，在許多人的眼中，他們就如浩瀚宇宙里璀璨奪目的星星那樣遙不可及。但實(shí)際上他們和我們每一個(gè)同學(xué)都一樣平凡而普通，但他們有是不平凡不普通的，他們的不平凡之處就是在學(xué)習(xí)方面有一些獨(dú)到的個(gè)性，又有著一些共性，而這些對(duì)在校的同學(xué)尤其是將參加高考的同學(xué)都有一定的借鑒意義。青春風(fēng)采青春風(fēng)采北京市文科狀元陽(yáng)光女孩--何旋高考總分：692分(含20分加分)

語(yǔ)文131分?jǐn)?shù)學(xué)145分英語(yǔ)141分文綜255分畢業(yè)學(xué)校：北京二中

報(bào)考高校：北京大學(xué)光華管理學(xué)院來(lái)自北京二中，高考成績(jī)672分，還有20分加分?！昂涡o人最深的印象就是她的笑聲，遠(yuǎn)遠(yuǎn)的就能聽(tīng)見(jiàn)她的笑聲?！卑嘀魅螀蔷┟氛f(shuō)，何旋是個(gè)陽(yáng)光女孩。“她是學(xué)校的攝影記者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成績(jī)應(yīng)該是692?！眳抢蠋熣f(shuō)，何旋考出好成績(jī)的秘訣是心態(tài)好?！八茏孕?，也很有愛(ài)心?？荚嚱Y(jié)束后，她還問(wèn)我怎么給邊遠(yuǎn)地區(qū)的學(xué)校捐書(shū)”。班主任：我覺(jué)得何旋今天取得這樣的成績(jī)，我覺(jué)得，很重要的是，何旋是土生土長(zhǎng)的北京二中的學(xué)生，二中的教育理念是綜合培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)和能力。我覺(jué)得何旋，她取得今天這么好的成績(jī)，一個(gè)來(lái)源于她的扎實(shí)的學(xué)習(xí)上的基礎(chǔ)，還有一個(gè)非常重要的，我覺(jué)得特別想提的，何旋是一個(gè)特別充滿(mǎn)自信，充滿(mǎn)陽(yáng)光的這樣一個(gè)女孩子。在我印象當(dāng)中，何旋是一個(gè)最?lèi)?ài)笑的，而且她的笑特別感染人的。所以我覺(jué)得她很陽(yáng)光，而且充滿(mǎn)自信，這是她突出的這樣一個(gè)特點(diǎn)。所以我覺(jué)得，這是她今天取得好成績(jī)當(dāng)中，心理素質(zhì)非常好，是非常重要的。高考總分:711分

畢業(yè)學(xué)校:北京八中

語(yǔ)文139分?jǐn)?shù)學(xué)140分英語(yǔ)141