專題01導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

4x)=c(c為常數(shù))/(x)=0

?小0=犬3￡(2，a/))f(x)=oxa~］

火x)=sinx/(x)=cosx

J(x)=cosxf(x)=-sinx

_Ax)=”'(a>0且Wl)/(x)=tflna

A-r)=exf(x)=e

,穴x)=log(K(a>0且存1)了。)-xlna

/(x)=:

7(x)=lnx

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若/Q)，g'(x)存在，則有［cKx)］，=c7(x)；［Ax)±g(x)］，=nx)土g，(x)；［/(x)g(x)Y=F(x)g(x)+火x)g，(x)；［爆)

3.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

(1)一般地，對于兩個函數(shù)y=A")和“=g(x),如果通過中間變量小y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這

個函數(shù)為函數(shù))=火〃)與〃=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=y(g(x)).

(2)復(fù)合函數(shù)y=Wg(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y—,flu'),M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'.x—y'?-u'x,即y對x的導(dǎo)數(shù)等

于y對“的導(dǎo)數(shù)與"對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【方法總結(jié)】

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法

基本原則：先化簡、再求導(dǎo)；

具體方法：

(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)；

(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；

(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；

(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，再求導(dǎo)；

(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；

(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).

【例題選講】

［例1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=x2sinx；

cosx

(2)y=

(3)y=xsin^2x+^jcos^2x+^J；

(4)y=ln(2r-5).

[例2]⑴(2020.全國HI)設(shè)函數(shù)段)=￡.若/⑴=/貝lja=

(2)已知函數(shù)兀v)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),Xx)=2x2-3V(l)+ln%>則/U)=.

(3)已知力(x)=sinx+cosx,%+i(x)是啟x)的導(dǎo)函數(shù)，即用x)=//(x),fi(x)=fi'(x),...,fn+i(,x)=fn'(x),n

EN*,則及022。)等于()

A.—sinx-cosxB.sinx-cosxC.—sinx+cosxD.sinx+cosx

(4)(多選)給出定義：若函數(shù)./(x)在。上可導(dǎo)，即〃x)存在，且導(dǎo)函數(shù)/(x)在。上也可導(dǎo)，則稱,/U)在。

上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記ra)=ua))'，若尸a)<o在。上恒成立，則稱y(x)在。上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)

在(0,號上是凸函數(shù)的是()

A./x)=sinx+cosxB.J(x)=]nx—2xC.J(x)=xi+2x—1D.y(x)=xev

(5)已知/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),若滿足MXr)—“￥)=K2+X,且#1)21,則的解析式可能是()

A.%2—xlnx+xB.x2—xlnx-xC.A^+xlnx+xD.x2+2xlnx+x

【對點訓(xùn)練】

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.[+￡)'=1+2B.(log2、y=；；2C.(5A)'=5Ylog5JrD.(x2cosx)f=-2xsinx

2.函數(shù)y=xcosx—sinx的導(dǎo)數(shù)為()

A.xsinxB.—xsinxC.xcosxD.—xcosx

3.(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(sin〃)'=cosa(a為常數(shù))B.(sin2x),=2cos2x

c

-雨'=七D.(ev—Inx+2x2y=er-4x

sinxI

4.已知函數(shù)於)=就+已則.&)=

5./(x),/G)=/(x)，(x)=/i(x)，…,N*),)=*;inx,

己知函數(shù)人幻的導(dǎo)函數(shù)為記力fn+\(x)=fn(x)(n若於

則及019(%)+我02G)=()

A.—2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

6.fix)=x(2021+lnx),若/(沏)=2022,則向等于()

A.e2B.1C.In2D.e

7.已知函數(shù)於)="7^+?十0§羽若，(0)=-1,貝ija=.

8.已知函數(shù)於)=ln(2x—3)+。把三若/(2)=1,則。=.

9.己知函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),且滿足關(guān)系式段)=/+34(2)+lnx,則/(2)的值等于()

99

A.-2B.2C.-4D.a

io.已知yu)=￡+H(i),則/(o)=.

11.設(shè)函數(shù)7U)在(0,+oo)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且7Unx)=x+lnx,則/(1)=.

12.已知，(1)是函數(shù)7U)的導(dǎo)數(shù)，Xx)=/(l)-2r+x2,則/(2)=()

12—8皿224_

A。l-21n2B.—2/2C'l-21n2D，~2

13.(多選)若函數(shù)_/U)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則貝x)的解析式可能為()

A.y(x)=3cosxB.於)=3+xC.7U)=x+；D.

3

14.=+其導(dǎo)函數(shù)為/(x),貝I」人2020)+4-2020)+/(2019)-/(一2019)的值為()

A.1B.2C.3D.4

15.已知凡2.若/(2020)=6,貝1」/(一2020)=.

16.分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(一1?1、xx1~~：—xi+2x—x1]nx

(l)y=e'lnx；(2)y=A(x2+-+pJ；(3)y=x-sin5cos5；(4))，=ln,l+2x.(5次x)=-------------------

專題02曲線的切線方程

考點一求切線的方程

【方法總結(jié)】

求曲線切線方程的步驟

(1)求曲線在點PS),和)處的切線方程的步驟

第一步，求出函數(shù)在點x=xo處的導(dǎo)數(shù)值/(Xo),即曲線y=y(x)在點p(xo，凡的)處切線的斜率；

第二步，由點斜式方程求得切線方程為y~fi,xo)=/(xo)-(x-xo).

(2)求曲線過點&冽，泗)的切線方程的步驟

第一步，設(shè)出切點坐標(biāo)P(xi，./(Xi))：

第二步，寫出過P(g,人制))的切線方程為卜一次乃)=/(乃)。一制)；

第三步，將點P的坐標(biāo)(xo,%)代入切線方程，求出xi；

第四步，將xi的值代入方程y-/(xi)=/(xi)(x—xi)可得過點P(xo，州)的切線方程.

注意：在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點P處的切線方程和求曲線過點P的切線

方程，在點尸處的切線，一定是以點P為切點，過點P的切線，不論點P在不在曲線上，點尸不一定是切

點.

【例題選講】

9r—1

［例1］(1)(2021.全國甲)曲線在點(一1,一3)處的切線方程為.

(2)(2020.全國I)函數(shù)4x)=f-2T的圖象在點(1,犬1))處的切線方程為()

A.y——2x—lB.y=-2x+lC.y=2x—3D.y—2x+1

(3)(2018?全國1)設(shè)函數(shù)兀0=%3+(“-1)爐+以.若兀v)為奇函數(shù)，則曲線yfx)在點(0,0)處的切線方

程為()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

(4)(2020?全國I)曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

(5)已知函數(shù)兀v)=xlnx,若直線/過點(0,-1),并且與曲線y=/(x)相切，則直線/的方程為.

(6)(2021?新高考［)若過點(小初可以作曲線y=e<的兩條切線，貝女)

A.eh<aB.ea<bC.0<?<e*D.0axe"

(7)已知曲線人x)=R—x+3在點P處的切線與直線x+2y-l=0垂直，則P點的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

(8)(2019?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線y=hu?上,且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(一e,

一l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標(biāo)是.

(9)設(shè)函數(shù)負(fù)x)=V+(a-l)/+or,若_/(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y=/(x)在點外刈，犬刈))處的切線與直線尤

+y=0垂直，則切點P(x0,?ro))的坐標(biāo)為.

Y--1

(10)函數(shù)y=RY在點(0,—1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為()

111

-D

-一

A.8B.42

(11)曲線>=/一Inx上的點到直線x一廠2=0的最短距離是.

【對點訓(xùn)練】

1.設(shè)點尸是曲線y=V—5x+j上的任意一點，則曲線在點尸處切線的傾斜角a的取值范圍為()

「2兀

B.■y,

2.函數(shù)式x)=e，+：在x=l處的切線方程為.

3.(2019?全國I)曲線y=3a2+x)e，在點(0,0)處的切線方程為.

4.曲線y(x)=—在點P(I,火1))處的切線/的方程為()

A.x+y-2=0B.2x+y-3=0C.3x+y+2=0D.3x+>-4=0

5.(2019?全國H)曲線y=2sinx+cosx在點(兀，-1)處的切線方程為()

A.x—y—兀-1=0B.2v—y—2兀-1=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x+y—兀+1=0

X

6.(2019.天津)曲線y=cosx—^在點(0,1)處的切線方程為.

7.已知4x)=G*+3為奇函數(shù)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，則曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為.

8.己知曲線尸53上一點《2,1),則過點P的切線方程為.

9.已知函數(shù)次x)=xlnx,若直線/過點(0,-1),并且與曲線y=/(x)相切，則直線/的方程為.

10.設(shè)函數(shù)火x)=/(J)x2-2x+；(l)lnx,曲線人x)在(1,犬1))處的切線方程是()

A.5x~y—4=0B.3x—y—2=0C.x—y=0D.x=1

II.我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施"以直代曲”的近似計算，用正〃邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”

的辦法求出了圓周率兀的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”

的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算.設(shè)40

=ln(l+x),則曲線尸危)在點(0,0)處的切線方程為，用此結(jié)論計算ln2022-ln2021=

12.曲線火x)=x+hu在點(1,1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()

311

2-C--

A.B.22D.4

14

13.已知曲線了=科+不

(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;

(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.

14.設(shè)函數(shù)曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線方程為7x—4y—12=0.

(1)求貝x)的解析式；

(2)證明曲線兀r)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

15.(2021?全國乙)已知函數(shù)/(》)=%3—/+以+].

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)求曲線尸危)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=/(x)的公共點的坐標(biāo).

考點二求參數(shù)的值(范圍)

【方法總結(jié)】

處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①

切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.

注意：曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上.

【例題選講】

[例1](1)已知曲線負(fù)x)=/+lnx在(1,7U))處的切線的斜率為2,則實數(shù)a的值是.

(2)若函數(shù)火》)=1酸+2^—ar的圖象上存在與直線2x—y=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍

是.

(3)設(shè)函數(shù)兀＜)="1m+芯的圖象在點(1,—1)處的切線經(jīng)過點(0,1),則的值為.

(4)(2019?全國III)已知曲線y=B+xlnx在點(1,優(yōu))處的切線方程為y=2x+b,則()

A.a=e,b=—\B.a=e,b=1C.a=er，b=lD.a=e1,b=~\

(5)設(shè)曲線尸晝在點(1,一2)處的切線與直線ax+力+c=0垂直，則5=()

A.1B.—1C.3D.—3

(6)已知直線丫=氣一2與曲線y=xlnx相切，則實數(shù)左的值為.

(7)已知函數(shù)｛x)=x+祗，若曲線y=?r)存在兩條過(1,0)點的切線，則。的取值范圍是.

(8)關(guān)于x的方程2僅+3=-有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為.

【對點訓(xùn)練】

1.若曲線y=xhu?在x=l與x一處的切線互相垂直，則正數(shù)，的值為.

2.設(shè)曲線>=產(chǎn)一山。+1)在x=0處的切線方程為2x—y+l=0,則“=()

A.0B.1C.2D.3

3.若曲線J(x)=V—x+3在點尸處的切線平行于直線y=2x-l,則P點的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,一3)

4.函數(shù)y(x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x—)，=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是.

5.己知函數(shù)/(x)=xcosx+asinx在x=0處的切線與直線3x—y+1=0平行，則實數(shù)a的值為.

6.已知函數(shù)危尸如+以+方的圖象在點(1,川))處的切線方程為2r—y—5=0,則a=；b=.

7.若函數(shù)次x)=ar-(的圖象在點(1,41))處的切線過點(2,4),貝lja=.

8.若曲線y=F在x=0處的切線也是曲線y=lnx+b的切線，則。=()

A.—1B.1C.2D.e

9.曲線y=3+l)e*在點(0,1)處的切線與x軸交于點(一/0),貝ija=；

10.過點M(—1,0)引曲線C：丫=2/+以+“的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A、B兩點,若|M4|

=|M8|,則4=.

11.已知曲線C：y(x)=x3—3x,直線/：y=ax—yf3a,則。=6是直線/與曲線C相切的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.己知點仞是曲線—2^+3%+1上任意一點，曲線在M處的切線為/,求：

(1)斜率最小的切線方程；

(2)切線/的傾斜角a的取值范圍.

13.已知函數(shù)/(jOnj?+a—a)/—a(a+2)x+〃(a,/>GR).

(1)若函數(shù)4X)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為-3,求4,人的值;

(2)若曲線y=/(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.

14.已知函數(shù)段)=|ri-2x2+3x(xeR)的圖象為曲線C.

(1)求在曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；

(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍.

專題03曲線的公切線方程

【方法總結(jié)】

解決此類問題通常有兩種方法

(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；

(2)設(shè)公切線/在產(chǎn)危)上的切點P,U1，加|))，在尸g(X)上的切點尸2(X2,g(X2)),則/(Xl)=g'(X2)=四三3

X\—X2

注意：求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，

一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋

物線相切可用判別式法.

【例題選講】

[例1]⑴(2020?全國HI)若直線/與曲線產(chǎn)m和圓好+尸料相切，則/的方程為()

A.y=2x+1B.y=2x+^C.y=，r+1D.

(2)已知危)=e'(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+2,直線/是火x)與g(x)的公切線，則直線1的方程

為.

(3)曲線Ci：y=lnx+x與曲線C2：y=N有條公切線.

(4)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=or2+(“+2)x+l相切，貝!J.

(5)(2016?課標(biāo)全國II)若直線產(chǎn)fcc+匕是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線尸e，的切線，則b=.

(6)已知曲線,/(x)=lnx+l與虱》)=爐一x+。有公共切線，則實數(shù)。的取值范圍為.

【對點訓(xùn)練】

1.若直線/與曲線了=8.及y=—%?都相切，則直線/的方程為.

2.已知函數(shù)/)=/的圖象在x=l處的切線與函數(shù)g(x)=$的圖象相切，則實數(shù)。等于()

A.y[eB.C.坐D.e\/e

3.已知函數(shù)?r)=qj+l,g(x)=Har,若在x=(處函數(shù)式的與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為(.)

A.；B.；C.1D.4

4.若於)=山與ga)=x2+〃x兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y=x平行的公共切線，則〃等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

5.若直線是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則/?=.

17

6.已知yu)=inx,雙元)=>2+〃?%+/(加〈0),直線/與函數(shù)g(無)的圖象都相切，與yu)圖象的切點為

(1,11))，則m=.

7.已知定義在區(qū)間(0,+co)上的函數(shù)於)=—g(x)=-3hir-x,若以上兩函數(shù)的圖象有公共點,

且在公共點處切線相同，則m的值為()

A.2B.5C.1D.0

8.若直線是曲線y=*的切線，也是曲線>=3'—1的切線，則Z+b等于()

In2l-ln2-ln2~lIn2

A.yB.—2—C.-2—D.~2~

9.設(shè)曲線在點(0,1)處的切線與曲線y=&x>0)在點尸處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為.

10.已知曲線火x)=%3+ax+］在x=0處的切線與曲線g(x)=—ku相切，則”的值為.

11.已知曲線y=e".在點(xi，e")處的切線與曲線y=lru在點3，】詐)處的切線相同，則(制+1)3—1)=(

A.-1B.-2C.1D.2

12.曲線G：>=/與曲線C2：y="e，(a>0)存在公切線，則a的取值范圍是.

13.若存在過點。(0,0)的直線/與曲線曠=如一3/+2x和y=/+“都相切，求a的值.

14.已知函數(shù)6ax—11,8(》)=3爐+6匹+12和直線/n：y=fcv+9,且7(一1)=0.

(1)求。的值;

(2)是否存在k,使直線m既是曲線y=/(x)的切線，又是曲線y=g(x)的切線？如果存在，求出k的值;

如果不存在，請說明理由.

專題04函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

已知函數(shù)1X)在區(qū)間伍，力上可導(dǎo)，

(1)如果/(x)>0,那么函數(shù)y=4r)在(a,與內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)如果/(x)V0,那么函數(shù)y=/(x)在3，份內(nèi)單調(diào)遞減；

(2)如果/(x)=0,那么函數(shù)y=/(x)在(a,份內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

注意：1.在某區(qū)間內(nèi)F(x)>0(/Xx)<0)是函數(shù)7U)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.

2.可導(dǎo)函數(shù)次x)在(a,份上是增(減)函數(shù)的充要條件是b),都有/(x)K)(fQ)W0)且/(x)在(a,b)

上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

(1)在函數(shù)定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號.

(2)兩個或多個增(減)區(qū)間之間的連接符號，不用“U”,可用“，”或用“和”.

考點一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

【方法總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)/(x)的零點；

第3步，用/(x)的零點將段)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出了(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出

函數(shù)、=段)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

【例題選講】

［例1］(1)定義在［-2,2］上的函數(shù)人均與其導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點，A,B,C,D

四點的橫坐標(biāo)依次為一；，T1,則函數(shù)y岑的單調(diào)遞減區(qū)間是()

D.(1,2)

(2)已知函數(shù))，=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的圖象可以是()

(3)函數(shù)人力二/+居瓜丫的圖象大致為()

(4)函數(shù)以x)=x+2在*的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

(5)設(shè)函數(shù)式x)=x(e，-1)一%2,則人外的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(6)函數(shù)y=*—Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,+°°)D.(0,+°°)

(7)設(shè)函數(shù)./(x)=2(/—x)lnx-/+2x,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(0,￡)B.&1)C.(1,+8)D.(0,+°°)

(8)已知定義在區(qū)間(0,兀)上的函數(shù)式x)=x+2cosx,則./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(9)函數(shù)兀r)=2kiar|+cos2x在[一],市上的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[-5和[0，1]B.[-1,0]和/,與C.[一3一泵和有f]D.L看,1]

(10)下列函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y(x)=sin2jcB.J(x)—xexC.fi,x)—xi—xD.式x)=—x+lnx

Inv--I—k

［例2］已知函數(shù)於)=—^^為常數(shù))，曲線y=/(x)在點(1,貝I))處的切線與x軸平行.

(1)求實數(shù)4的值；

(2)求函數(shù)_/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【對點訓(xùn)練】

1.如圖是函數(shù)yfx)的導(dǎo)函數(shù)y=『(x)的圖象，則下列判斷正確的是()

y=r(x)

書yf一

A.在區(qū)間(-2,1)上7(x)單調(diào)遞增B.在區(qū)間(1,3)上y(x)單調(diào)遞減

C.在區(qū)間(4,5)上/U)單調(diào)遞增D.在區(qū)間(3,5)上火X)單調(diào)遞增

2.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=/U)的圖象可能是()

3.(多選)已知函數(shù)7U)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，那么下列圖象中不可能是函數(shù)兀v)的圖象的是()

4.函數(shù)火x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)有下列信息：

◎(x)>0時，一1令<2；黝(x)<0時，尤<一1或x>2；酗(x)=0時，x=-l或x=2.

則函數(shù)/U)的大致圖象是()

5.函數(shù)y=y（x）的圖象如圖所示，則y=/（x）的圖象可能是（）

A.(0,+oo)B.+00C.(-00,-1)

8.函數(shù)式尢）=（九一2把。的單調(diào)遞增區(qū)間為

9.函數(shù)40=。一1把"一/的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

10.函數(shù)/U）=x2—2hu的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,+oo）C.（-00,1）D.(-1,1)

3

11.函數(shù)y=x+：+21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)

12.函數(shù)yu）=xlll￥+x的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.&+oo）B.（0,C.隹,+[

13.已知函數(shù)/（x）=/—5x+21nx,則函數(shù)次1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

B.(0,1)和(2,+oo)C.(0,

和(2,+oo)D.(1,2)

14.函數(shù)大幻=自的單調(diào)遞減區(qū)間是.

15.函數(shù),/（x）=etcosx的單調(diào)遞增區(qū)間為.

16.函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（）

A(it3ii\

-GTjB.(7t,2TI)C.(2，2JD.(2K,3兀)

17.己知定義在區(qū)間(一兀，兀)上的函數(shù)八元)=xsinx+cosx,則J(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

18.(多選)若函數(shù)g(x)=e7U)(e=2.718…，e為自然對數(shù)的底數(shù))在?r)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)次x)

具有M性質(zhì).下列函數(shù)不具有M性質(zhì)的為()

A.B.<x)=/+lc.?r)=sinxD.J(x)=x

19.已知函數(shù)兀0=%+/.

⑴求曲線於)在點(一小/(一部處的切線方程;

(2)討論函數(shù)y=^的單調(diào)性.

20.設(shè)函數(shù)yu)=xe“r+bx,曲線y=Ax)在點(2,正2))處的切線方程為y=(e—l)x+4.

(1)求a,人的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

考點二比較大小或解不等式

【方法總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

【例題選講】

[例3](1)在R上可導(dǎo)的函數(shù)段)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式獷(x)<0的解集為()

A.(-co,-1)U(O,1)B.(-1,O)U(1,+oo)

C.(—2,—1)U(1,2)D.(-oo,—2)U(2,+oo)

(2)已知函數(shù)_/(x)=xsinx,xCR,則//)，川)，/(一的大小關(guān)系為()

A-B.*)>f(一(M})C./?>XD>/(-f)D./(一為e)次1)

(3)已知奇函數(shù)次x)是R上的增函數(shù)，g(x)=M(x),貝U()

A-g(log3；)>g(2—於g(2-$B.^(log3^>^(2-1)>^(2-1)

C.g(2-1)>g(2-|)>^log3￡)D.g(2-1)>g(2-1)>g(log3￡)

1-x

(4)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)兀r),若滿足777二°，則必有()

A.AO)+X2)>2/(1)B.XO)W)<2A1)C.A0)+A2)<2ADD.XO)+A2)>2/(1)

(5)已知函數(shù)70)=。，-e=-2x+1,則不等式y(tǒng)(2x—3)>1的解集為.

(6)設(shè)函數(shù),/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)xK)時，兀0=廿一cosx,則不等式式及-2)>0的解集為()

A.(—00,1)B.(-8,g)C.(；，+oo)D.(1,+oo)

【對點訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)y=/U)(xdR)的圖象如圖所示，則不等式的解集為.

2.已知函數(shù)y(x)=3x+2cosx,若a=/(3也)，6=犬2),c=/(log27),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<hC.b<a<cD.b<c<a

3.已知函數(shù)段)=sinx+cosx—2x,。=五一兀)，Z?=/(2e),c=y(ln2),則〃，b,c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

4.函數(shù)./(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若為x)=J(2—x),且當(dāng)xG(—8,1)時，(x—l?(x)<0,設(shè)。=式0),

c=/(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

5.已知函數(shù)/其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若火“一劫十心吟處則實數(shù)。的取值范圍

是.

6.已知函數(shù)Hx)=$—4x+2e*—2e",其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若4〃-1)+負(fù)2°2)忘0,則實數(shù)”的取

值范圍是()

A.(-8,—1]B.+8)c.(-1'J)D.—1.4

7.若函數(shù)外)=向+厘一siar,則不等式於一l)Wy(l)的解集為.

8.已知函數(shù)次x)=xsinx+cosx+x2,則不等式4nx)+y⑴的解集為.

考點三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【方法總結(jié)】

利用單調(diào)性求參數(shù)的兩類熱點問題的處理方法

(1)函數(shù),/U)在區(qū)間D上存在遞增(減)區(qū)間.

方法一：轉(zhuǎn)化為，了(用>0(<0)在區(qū)間。上有解”；

方法二：轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間D的一個子區(qū)間使/(x)>0(<0)成立”.

(2)函數(shù)/(X)在區(qū)間D上遞增(減).

方法一：轉(zhuǎn)化為‘TV巨000)在區(qū)間D上恒成立”問題；

方法二：轉(zhuǎn)化為“區(qū)間D是函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子集”.

【例題選講】

[例4]⑴若函數(shù)/尸源一3/m：2+6x在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—co,1JB.(—00,1)C.(—00,2]D.(—00,2)

(2)設(shè)函數(shù)_Ax)=%2—91IW在區(qū)間m—1,。+1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)”的取值范圍是.

(3)若函數(shù)應(yīng)￥)=己6吊犬+4)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是()

—

A.[—y[2f+oo)B.[1,+oo)C.(oo,—也]D.(-oo,1J

(,4a2,八

\x+-;—-4。，0ctsz,

(4)若x+a一是(0,+oo)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

lx—xlnx,x>a

A.[1,e2]B.[e,e2]C.[e,+oo)D.[e2,+oo)

(5)若函數(shù)4幻=一支+++2狽在3，+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則。的取值范圍是.

(6)若函數(shù)兀v)=2x2—Inx在其定義域的一個子區(qū)間伙一1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍

是.

[例5]已知函數(shù)/(x)=hix,g(x)=%x2+2x(q翔).

(1)若函數(shù)/7(x)=/(x)—g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)〃。)=兀0—g(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

(3)若函數(shù)〃(x)=Ax)—g(x)在[1,4]上不單調(diào)，求〃的取值范圍.

[例6]已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=^ax+b.

(1)若7(x)與g(x)的圖象在x=l處相切，求g(x)；

(2)若夕(*)=哆秒一次》)在[1,+oo)上是減函數(shù)，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【對點訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)1x)=^+*若函數(shù)y(x)在[2,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(一8,8)B.(-8,16]C.(一8,—8)0(8,+~)D.(-°°,-16]U[16,+°°)

2.已知函數(shù)式》)=/川一N+x在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍為.

3.若丫=_￥+1(4>0)在[2,+8)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是.

4.若函數(shù)4》)=/+丹”在百，+oo)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

5.已知函數(shù)7U)=sin2x+4cosx一辦在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,3]B.[3,+oo)C.(3,+oo)D.[0,+oo)

6.若函數(shù)g(x)=lnx+52—s—I.存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)C.(—8,3)D.(—oo,3]

7.已知函數(shù)段)=lnx+a—b)2g￡R)在n岳1可上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)b的取值范圍是.

8.己知函數(shù)於)=一宗+以一31nx在[3t+1]上不單調(diào)，則I的取值范圍是.

9.(多選)若函數(shù)/U)=ar3+3/—x+l恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)。的取值可以是()

A.-3B.-1C.0D.2

10.已知二次函數(shù)力(1)=奴2+以+2,其導(dǎo)函數(shù)y=/f(x)的圖象如圖所示，J(x)=6lnx+h(x).

⑴求函數(shù)段)的解析式；

(2)若函數(shù)兀<)在區(qū)間(1，，”+鄉(xiāng)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)加的取值范圍.

11.已知函數(shù)X,

(1)當(dāng)。=—2時，求函數(shù)yu)的單調(diào)遞減區(qū)間；

2

(2)若函數(shù)且⑴/⑴+嚏在“，+8)上單調(diào)，求實數(shù)。的取值范圍.

12.己知函數(shù)人1)=廿一0￥^一。(〃￡2.

(1)若人外在(0,+8)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)求證：x在(0,2)上任取一個值，不等式:一士?恒成立(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))

人eIN

專題05含參函數(shù)的單調(diào)性討論

【方法總結(jié)】

分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性

討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況，所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析

式中的符號變化部分，即導(dǎo)數(shù)的主要部分，簡稱導(dǎo)主.討論時要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對導(dǎo)函數(shù)

符號的影響，一般來說需要進(jìn)行四個層次的分類：

(1)最高次基的系數(shù)是否為o,即“是不是”；

(2)導(dǎo)函數(shù)是否有變號零點，即“有沒有”；

(3)導(dǎo)函數(shù)的變號零點是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)，即“在不在”：

(4)導(dǎo)函數(shù)的變號零點之間的大小關(guān)系，即“大不大

牢記：十二字方針“是不是，有沒有，在不在，大不大

考點一導(dǎo)主一次型

【例題選講】

［例1］已知函數(shù)式X)=X-HlM(4eR),討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性.

【對點訓(xùn)練】

1.己知函數(shù)＜x)=ahu—依一33晝2.討論函數(shù)的單調(diào)性.

2.已知函數(shù)危)=lax—ax(aeR),討論函數(shù)於)的單調(diào)性.

考點二導(dǎo)主二次型

【方法總結(jié)】

此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡變形后，通常可以轉(zhuǎn)化為一個二次函