第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材料力學(xué)§7–１應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣的？M低碳鋼扭轉(zhuǎn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮低碳鋼拉伸試驗(yàn)鑄鐵拉伸試驗(yàn)問題?塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)問題?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o斜截面斷開？應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)怎樣建立強(qiáng)度條件？MPtsFstsssMt強(qiáng)度條件如何建立？彎扭組合變形強(qiáng)度條件如何建立？簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件：FF同一點(diǎn)在斜截面上時(shí)：

表明：同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。材料力學(xué)

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。材料力學(xué)應(yīng)力指明哪一個(gè)面上

哪一點(diǎn)？

哪一點(diǎn)哪個(gè)方向面？

過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

就是研究一點(diǎn)處沿各個(gè)不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

三、單元體：?jiǎn)卧w——圍繞被研究點(diǎn)截取一尺寸為無限小的正六面體。單元體的性質(zhì)——a、各表面上應(yīng)力均勻分布；

b、平行平面上應(yīng)力相等。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyz0σσττ軸向拉伸σσττ扭轉(zhuǎn)彎曲變形ττσστσσ例FPlaSFlaS13S平面zMzT4321yxtt2四、主單元體、主平面、主應(yīng)力：主單元體

各平面上切應(yīng)力均為零的單元體。主平面

切應(yīng)力為零的平面。主應(yīng)力

主平面上的正應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz主應(yīng)力排列規(guī)定：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz在受力構(gòu)件中任意一點(diǎn)，必定存在三個(gè)相互垂直的主平面，因此在每一點(diǎn)處必有三個(gè)主應(yīng)力，以s1，s2

和

s3表示，且規(guī)定s1s2

s3單向應(yīng)力狀態(tài)

一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)

一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)

三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxzs1s2s3三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)材料力學(xué)二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)材料力學(xué)xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)材料力學(xué)三向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例特例材料力學(xué)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例sA=sp

Dt=Ps

=pD4ts=?2N=pDlN=stls=pD2tssss二向應(yīng)力狀態(tài)三向壓縮§7–2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyzxysxtxysyOxyα1.斜截面上的應(yīng)力dAαnt列平衡方程dAαnt利用三角函數(shù)公式并注意到化簡(jiǎn)得xyα2.正負(fù)號(hào)規(guī)則正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正；壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力：繞微元順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。α角：由x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時(shí)為正；反之為負(fù)。αntx確定正應(yīng)力極值設(shè)α＝α0

時(shí)，上式值為零，即3.

正應(yīng)力極值和方向即α＝α0

時(shí)，切應(yīng)力為零由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（4.

切應(yīng)力極值和方向由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力所在平面。試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知解：（1）斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主應(yīng)力單元體：某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和－600角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。例題在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其正應(yīng)力σ的和為一常數(shù)。例題分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時(shí)，其上任意一點(diǎn)都是單向應(yīng)力狀態(tài)。

低碳鋼試樣拉伸至屈服時(shí)表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。例題分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)最大切應(yīng)力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。

鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即450螺旋面）斷開的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。一、應(yīng)力圓方程(1)(2)§7–2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法材料力學(xué)Rc應(yīng)力圓（Mohr莫爾圓）材料力學(xué)建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(x，xy)和點(diǎn)B(y，yx)

AB線與s

軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓

——應(yīng)力圓；應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOOstCD(sx

,txy)D'(sy

,tyx)AB應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2an

D(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOstC

D(sx

,txy)

D'(sy

,tyx)x2an

E(sa,

ta)

2a0ABFE點(diǎn)的坐標(biāo)是因CE和CD為圓周的半徑，有代入，可求得：四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3

主應(yīng)力排序：

s1s2

s3tsocadtsotso材料力學(xué)例3用應(yīng)力圓求主應(yīng)力，

并確定主平面的位置802060-4060例4求斜截面de上的正應(yīng)力及切應(yīng)力-2020-30-40s3例5

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與s

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓0應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2BAC20st(MPa)(MPa)O20MPa在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)s3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2BAC20st(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyOx

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生橫力彎曲，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2A2CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1OA1qxy主應(yīng)力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd13應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)31主應(yīng)力跡線：

主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都表示該點(diǎn)的主拉應(yīng)力方位（或主壓應(yīng)力方位）。實(shí)線表示主拉應(yīng)力跡線；虛線表示主壓應(yīng)力跡線。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)q

圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個(gè)橫向力作用。

（1）從梁表面的A、B、C三點(diǎn)處取出的單元體上，用箭頭表示出各個(gè)面上的應(yīng)力。

（2）定性地繪出A、B、C三點(diǎn)的應(yīng)力圓。

（3）在各點(diǎn)的單元體上，大致地畫出主平面的位置和主應(yīng)力的方向。

（4）畫圖表示梁破壞時(shí)裂縫在B、C兩點(diǎn)處的走向。例題§7–3

三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)yxz應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2xyzs3s3s1s2s2s1s3tsIIIIIIs3s2s1I平行于σ1的方向面－其上之應(yīng)力與σ1無關(guān)，于是由σ2

、σ3可作出應(yīng)力圓I平行于σ2的方向面－其上之應(yīng)力與σ2無關(guān)，于是由σ1

、σ3可作出應(yīng)力圓

II平行于σ3的方向面－其上之應(yīng)力與σ3無關(guān)，于是由σ1

、σ2可作出應(yīng)力圓IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts

代表與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)位于三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)。材料力學(xué)2、三向應(yīng)力分析彈性理論證明，圖a任意一點(diǎn)單元體內(nèi)任意截面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖a圖b單元體內(nèi)的極值應(yīng)力tmax應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2xyzs3例6

求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：yz面為主平面，主應(yīng)力為建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓得:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)5040xyz3010(M

Pa)s（M

Pa）tABCABs1s2s3tmax1.基本變形時(shí)的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律xyzsx§7–4

廣義胡克定律xyz

x

y2、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系(廣義胡克定律)依疊加原理,得:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)yxz3、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法★分析：(1)即(2)當(dāng)時(shí)，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：(3)當(dāng)時(shí)，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。材料力學(xué)4.各向同性材料的體應(yīng)變體應(yīng)變單位體積的體積變化。s1s2s3平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)

小變形條件下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變sxsysz§7－5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度13

2圖a圖

c3

-m

2-m1-m應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)m圖bmm體積改變能密度形狀改變能密度應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)圖

c3

-m

2-m1-mm圖bmm圖b單元體的體積改變能密度為：其中得§7－6、強(qiáng)度理論一、基本變形下的強(qiáng)度條件（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）式中失效正應(yīng)力失效切應(yīng)力（通過試驗(yàn)測(cè)定）基本變形下危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)二、怎樣建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件？難點(diǎn)：如何用實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的失效應(yīng)力?試驗(yàn)的復(fù)雜性

應(yīng)力狀態(tài)的多樣性

兩種強(qiáng)度失效形式塑性屈服（流動(dòng)）材料產(chǎn)生顯著的塑性變形。(1)脆性斷裂

材料在沒有明顯的塑性變形情況下發(fā)生突然斷裂。即強(qiáng)度理論：關(guān)于材料破壞或失效原因的假設(shè)。材料不論處于什么應(yīng)力狀態(tài)下，引起失效的因素是相同的，也就是，造成失效的原因與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，便可由拉伸試驗(yàn)的結(jié)果建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。三、常用的強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論

最大拉應(yīng)力理論

最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論

最大切應(yīng)力理論

形狀改變能密度理論莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則

—最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于最大拉應(yīng)力達(dá)到了材料的極限應(yīng)力σu。關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論123u=b最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論斷裂條件強(qiáng)度條件局限性：1、未考慮另外二個(gè)主應(yīng)力影響，2、對(duì)沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)無法應(yīng)用，如：?jiǎn)蜗驂嚎s、三向壓縮。實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于大部分脆性材料受拉應(yīng)力作用時(shí)，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符合，如鑄鐵拉伸、扭轉(zhuǎn)。鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)—最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到了極限值εu。123—最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論=b最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論斷裂條件強(qiáng)度條件即局限性：

材料在二向或三向受拉時(shí)，應(yīng)比單向拉伸更安全，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果并非如此。

實(shí)驗(yàn)表明：此理論適用于以壓應(yīng)力為主的情況。如，石料或混凝土受軸向壓縮，鑄鐵受拉－壓二向應(yīng)力，且壓應(yīng)力較大時(shí)。關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）

無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生塑性屈服,都是由于最大切應(yīng)力達(dá)到了材料的極限值τu。123=s屈服條件強(qiáng)度條件實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服現(xiàn)象能夠得到較為滿意的解釋。局限性：

2、不能解釋三向均勻受拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1、未考慮的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生塑性屈服,都是由于形狀改變能密度達(dá)到了材料的極限值vdu。形狀改變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）=s屈服條件強(qiáng)度條件123強(qiáng)度條件實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。第三強(qiáng)度理論偏于安全,第四強(qiáng)度理論偏于經(jīng)濟(jì).強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：相當(dāng)應(yīng)力σr§7–7

莫爾強(qiáng)度理論莫爾認(rèn)為：假設(shè)單由外圓就足以決定極限應(yīng)力狀態(tài)，以各種應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)，建立帶有一定經(jīng)驗(yàn)性的強(qiáng)度理論。強(qiáng)度理論近似包絡(luò)線極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線O

極限應(yīng)力圓一、兩個(gè)概念：1、極限應(yīng)力圓：2、極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線。強(qiáng)度理論[c]st[

t]O1O2莫爾強(qiáng)度理論的推導(dǎo)2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：1、破壞判據(jù)：O3

1

3MLTFN二、莫爾強(qiáng)度理論：任意一點(diǎn)的極限應(yīng)力圓與包絡(luò)線相切，則材料開始屈服或發(fā)生脆斷。強(qiáng)度理論O1、選用強(qiáng)度理論時(shí)要注意：第一、第二強(qiáng)度理論，通常適用于脆性材料（脆斷）第三、第四強(qiáng)度理論，通常適用于塑性材料（屈服）2、材料的破壞形式與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，也與加載速度、溫度等有關(guān)。同一種材料在不同情況下，破壞形式不同,強(qiáng)度理論也相應(yīng)不同?！?–8強(qiáng)度理論的應(yīng)用常溫、靜載、勻質(zhì)、連續(xù)、各向同性材料鑄鐵：?jiǎn)蜗蚴芾瓡r(shí)，產(chǎn)生脆性斷裂第一、第二強(qiáng)度理論三向均勻受壓時(shí)，產(chǎn)生屈服失效第三、第四強(qiáng)度理論3、如果考慮材料存在內(nèi)在缺陷如初始裂紋，須利用斷裂力學(xué)中的斷裂準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算。低碳鋼：?jiǎn)蜗蚴芾瓡r(shí)，產(chǎn)生塑性屈服第一、第二強(qiáng)度理論三向均勻受拉時(shí)，產(chǎn)生脆性斷裂第三、第四強(qiáng)度理論4、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：（1）、外力分析：確定未知外力值，判斷變形形式。（2）、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)截面及最大內(nèi)力值。（3）、應(yīng)力分析：畫危險(xiǎn)截面的應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出危險(xiǎn)點(diǎn)的單元體。（4）、強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。強(qiáng)度理論例已知：鑄鐵構(gòu)件上危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵拉伸許用應(yīng)力

[t]=30MPa。試校核該點(diǎn)的強(qiáng)度。

解：首先根據(jù)材料和應(yīng)力狀態(tài)確定破壞形式，選擇強(qiáng)度理論。

r1=1[t]其次確定主應(yīng)力脆性斷裂，最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0結(jié)論：強(qiáng)