2023年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)II)文

科數(shù)學(xué)

留意事項(xiàng)

L本試卷分第一卷(選擇題)和其次卷(非選擇題)兩局部。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。

2.答復(fù)第一卷時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無(wú)效。

3.答復(fù)其次卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

4.考試完畢后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一卷

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)

符合題目要求的。

(1)集合A={-2,0,2},B={X|x2-x-2=0},則AB=

(A)0⑻匕}(C){0}(D){-2}

(A)l+2i(B)-l+2i(C)l-2i(D)-l-2i

(3)函數(shù)f(x)在x=x處導(dǎo)數(shù)存在，假設(shè)p：fi(x)=0；q：x=x是f(x)的極值點(diǎn)，則

00o

(A)P是q的充分必要條件

(B)P是q的充分條件，但不是q的必要條件

(C)p是q的必要條件，但不是q的充分條件

(D)P既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

(4)設(shè)向量a,匕滿足|a+b|=Ji5,|a-b|=#,則a?b=

(A)1⑻2(C)3(D)5

(5)等差數(shù)列{a}的公差為2,假,a,a成等比數(shù)列，則{a}的前n項(xiàng)S=

n48nH

設(shè)a

2

(A)n(n+l)(B)n(n-l)

n(n+1)n(n-1)

(C)—2—(D)—2—

(6)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1〔表示1cm),圖中粗線畫出的

是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯

切削得到，則切削掉局部的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為

1751()1

(A)研(B)—(C)yy(D)—

4/9乙/3

側(cè)棱長(zhǎng)為有，D為BC

(7)正三棱柱ABC-ABC的底面邊長(zhǎng)為2,中點(diǎn)，則三棱錐

111

A-BDC的體積為

?1

3J3

(A)3(B)_(C)1(D)Y

22

(8)執(zhí)行右面的程序框圖，假設(shè)假設(shè)輸入的x,t均為2,則輸出的

S=

(A)4⑻5(C)6(D)7

x+)—1>0

(9)設(shè)x,y滿足的約束條件《x-J—1<0，則弋=x+2j的最木

x-3y+3>0

值為

(A)8(B)7(C)2(D)1

(10)設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交于C于4,5兩點(diǎn)，則

|/B|=

(B)6(C)12(D)7出

(11)假設(shè)函數(shù)/(*)=標(biāo)-Inx在區(qū)間(1,+oo)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是

(A)(一°°,—21(B)(―℃,—1](C)[2,+oo)(D)[1,+℃)

(12)設(shè)點(diǎn)M(x,1),假設(shè)在圓。：X2+y2=l上存在點(diǎn)N,使得NOMN=45°,則的取值

X

范圍是。o

(A)[-1,11⑻「-一

1(C)(D)

22

其次卷

本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題'第21題為必考題，每個(gè)考試考生都必需做

答。第22題'第24題為選考題，考生依據(jù)要求做答。

二、填空題：本或許題共4小題，每題5分。

(13)甲、已兩名元發(fā)動(dòng)各自等可能地從紅、白、如種顏色的運(yùn)動(dòng)服種選擇1種，則他們

選擇一樣顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

<14)函數(shù)/(')=$山(》+中)一2$抽中《)5乂的最大值為.

(15)函數(shù)/=/(2的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，/(3)=3,則/(一D=.

(16)數(shù)列｛。｝滿足Q----------,Q=2,貝IJQ二

，n+l]-Q21

n

三、解答題：解同意寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟。

（17）（本小題總分值12分）

四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1,BC=3,CD=DA=2.

（I）求NC和BD;（II）求四邊形ABCD的面積。

（18）（本小題總分值12分）

如圖，四凌錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA上面ABCD,E為PD的點(diǎn)。

（I）證明：PB〃平面AEC;

50位市民。依據(jù)這50位市民

甲部門乙部門

359

440448

975122456677789

97665332110601I234688

98877766555554443332100700113449

66552008123345

6322209011456

10000

（I）分別估量該市的市民對(duì)甲、乙部門評(píng)分的中位數(shù)；

（II）分別估量該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分做于90的概率;

（III）依據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià)。

（20）（本小題總分值12分）

設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓C：——（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF與x軸

12（72022

垂直，直線MF與c的另一個(gè)交點(diǎn)為N。

'3

（I）假設(shè)直線MN的斜率下,求C的離心率：

（II）假設(shè)直線MN在y軸上的截距為2且|MN=5|FN|,求a,b。

(21)(本小題總分值12分)

函數(shù)f(x)=X3-3x2+ax+2,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為-2.

(I)求a；(H)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線》=/(x)與直線y=熾一2只有一個(gè)交

點(diǎn)。

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，假設(shè)多做，則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請(qǐng)

寫清題號(hào)。

(22)1本小題總分值10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，P是。0外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與。0相交

于點(diǎn)B,C,PC=2PA,D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)E,證

明：

(I)BE=EC；

(II)AD-DE=2PB2O

(23)(本小題總分值10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐

71

標(biāo)方程為P=2cos6,6￡[0,5。

(I)求C的參數(shù)方程；

(II)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線1：y=-x+2垂直，依據(jù)(I)中你得到的參

數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)。

(24)(本小題總分值10分)選修4-5：不等式選講

1

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+—|+1x-a|(a>0)。

a

(I)證明：f(x)22；

(ID假設(shè)f(3)<5,求a的取值范圍。

文科數(shù)學(xué)試題答案

一.選擇題

(1)B(2)B(3)C(4)A(5)A(6)C

(7)C(8)D(9)B(10)C(11)D(12)A

二.填空題

(13)-(14)1(15)3(16)-

32

=.解答題

(17)解：

(I)由題設(shè)及余弦定理得

BD1=BC2+CD1-2BCCZ>cosC

=13-12cosC?①

BD2=AB2+DA2-2AB-DAco&A

=5+4cosC.②

由①，②得cosC=->故C=60。，BD=".

2

(II)四邊形458的面積

S——AB-ZX4sinAH—BC,C2?sinC

22

=(—x1x2+—x3x2)sin600

s=2石.

(18)解：

(I)設(shè)8D與4c的交點(diǎn)為。，連結(jié)EO.

因?yàn)?8CD為矩形，所以。為應(yīng))的中點(diǎn).又

E為尸。的中點(diǎn)，所以EO〃P8.

EOU平面/EC,尸8a平面4EC,

所以尸8〃平面4EC.

1Ji

(II)V=-PAABAD=—AB.

66

由夕=正，可得18=2.

作AHLPB交PB于H.

由題設(shè)知BCJ.平面/所以8CJ./H,故/H_L平面PBC.又

,aPA-AB3后

Ari———=------.

PB13

所以A到平面PBC的距離為嚕.

（19）解：

（I）由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26

位的是75,75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值

是75.

50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68,故樣本中

位數(shù)為空竺=67,所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.

<n）由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為

—=0.1,—=0.16,故該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別

5050

為0.1,0.16.

（in）由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位

數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)

差，說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差

異較大.（注：考生利用其他統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析，結(jié)論合理的同樣給分.）

（20）解：

（I）根據(jù)c=從及題設(shè)知2從=3ac.

a

將一，代入2肥=3"，解得￡=工，-=-2（舍去）.

a2a

故C的離心率為二.

2

（II）由題意，原點(diǎn)。為可居的中點(diǎn)，從與〃y軸，所以直線M耳與y軸的交點(diǎn)

0（0,2）是線段肛的中點(diǎn)，故—=4,即

a

肝=4a.①

由|MV|=5|4N|得|叫=2電|.

設(shè)N（x“x）,由題意知乂<0,則

2（f）=c，即b=擊

代入c的方程，得21+4=1.

4ab

將①及c=J，-y代入②得豈上克+」_=1.

4a24a

解得。=7,i2=4o=28?故

a=7,b=2>/7.

(21)解：

(I)/3=3--6x+o,/'(O)=a.

曲線了=/(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=ax+2.

由題設(shè)得一2=-2,所以a=l.

a

(H)由(I)知，/(X)=P-3X2+X+2.

設(shè)g(x)=/(x)-tr+2=x1-3x2+(1-k)x+4.

由題設(shè)知l-*>0.

當(dāng)xWO時(shí)，g'(x)=3x?-6x+l-jt>0,g(x)單調(diào)遞增，g(-l)=*-lvO,g(0)=4,

所以g(x)=0在(YO,0］有唯一實(shí)根.

當(dāng)x>0時(shí)，令Mx)=x'-3x?+4,則g(x)=Mx)+Q-*)x>Mx)?

A,(x)=3x2-6r=3x(x-2),Mx)在(0,2)單調(diào)遞減，在(Z+8)單調(diào)遞增，所以

g(x)>*x)2M2)=0.

所以g(x)=0在(0,*o)沒(méi)有實(shí)根.

綜上，g(x)=O在R有唯一實(shí)根，即曲線y=/(x)與直線y=*x-2只有一個(gè)交點(diǎn).

(22)解：

(I)連結(jié)48,AC.由題設(shè)知尸4=PO,

NPAD=々DA.

因?yàn)閆PDA=ZDAC+ZDCA,

ZPAD=ZBAD+APAB,

NDC4=NP4B,

所以ND/C=Na4D,從而BE^EC.

因此8E=EC.

(II)由切割線定理得P/=P8?PC.