PAGEPAGE1類變分不等式的有限元逼近簡(jiǎn)介類變分不等式是一類關(guān)于變分問題的不等式，廣泛應(yīng)用于非線性偏微分方程的研究中。在近年來(lái)的研究中，有限元方法被廣泛應(yīng)用于求解這類問題。本文將介紹類變分不等式的基本概念和原理，并探討有限元方法在求解類變分不等式問題中的應(yīng)用。類變分不等式所謂類變分不等式，是指下面的含參數(shù)t的不等式：$$\\int_{\\Omega}\ablau\\cdot\abla(v-u)\\dx\\geq\\int_{\\Omega}f(v)(v-u)\\dx-t\\int_{\\Omega}|\abla(v-u)|^2\\dx$$其中$u\\inH^1_0(\\Omega)$，$v\\inH^1_0(\\Omega)$，$\\Omega$是定義在$\\mathbb{R}^n$上的Lipschitz域，f是一個(gè)非負(fù)的從$H^1_0(\\Omega)$到R的連續(xù)函數(shù)。類變分不等式的解決可以應(yīng)用于各種非線性偏微分方程的研究，如Navier-Stokes方程的穩(wěn)定性和反演問題等。有限元逼近由于類變分不等式中涉及到的u和v滿足一定的偏微分方程和邊界條件，因此其求解通常需要使用數(shù)值方法進(jìn)行近似求解。有限元方法是求解偏微分方程的一種經(jīng)典數(shù)值方法，因此可應(yīng)用于類變分不等式的求解中。在有限元方法中，首先需要將原問題離散化為一個(gè)有限維的求解問題，然后使用數(shù)值算法求解近似解。弱形式對(duì)于類變分不等式，我們需要先將其轉(zhuǎn)化為弱形式，即找到一個(gè)發(fā)布空間$V\\subsetH^{1}_0(\\Omega)$，使得類變分不等式對(duì)所有的$v\\inV$成立。首先，對(duì)于$u\\inH^1_0(\\Omega)$和$v\\inV$，我們有：$$\\int_{\\Omega}\ablau\\cdot\abla(v-u)\\dx=\\int_{\\Omega}\abla(v-u)\\cdot\ablau\\dx=0$$因此，我們可以將類變分不等式轉(zhuǎn)化為以下的形式：$$\\int_{\\Omega}\ablau\\cdot\ablav\\dx\\geq\\int_{\\Omega}f(v)v\\dx-t\\int_{\\Omega}|\ablav|^2\\dx$$這就得到了類變分不等式的弱形式。有限元離散接下來(lái)，我們需要將弱形式離散化為一個(gè)有限維的求解問題。假設(shè)我們使用Pk類有限元，將解空間V離散為一個(gè)N維的有限元空間$V_h\\subsetH^1_0(\\Omega)$$$A_hu_h\\geqF_h(u_h)-t\\|\ablau_h\\|^2,\\quad\\forallu_h\\inV_h$$其中，Ah和Fh$$\\begin{aligned}A_h(u_h,v_h)&=\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h}\\int_K\ablau_h\\cdot\ablav_h\\dx\\\\F_h(u_h,v_h)&=\\sum_{K\\in\\mathcal{T}_h}\\int_Kf(v_h)u_h\\dx\\end{aligned}$$$\\mathcal{T}_h$表示$\\Omega$的一個(gè)三角剖分，以Pk為基函數(shù)的有限元空間Vh$$V_h=\\{v_h\\inC^0(\\Omega):\\forallK\\in\\mathcal{T}_h,v_h|_K\\inP_k(K),v_h|_{\\partial\\Omega}=0\\}$$數(shù)值求解有了離散化的形式后，我們可以使用數(shù)值算法求解。通常的方法是使用線性代數(shù)求解器，如共軛梯度法等，來(lái)解決線性方程組：A其中，bh在實(shí)際求解過(guò)程中，需要注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于非線性的f，需要使用迭代算法求解離散化后的問題；在數(shù)值求解過(guò)程中，需要控制離散化誤差和有限元近似誤差的影響，以保證數(shù)值算法的收斂性和穩(wěn)定性；在非匹配的三角剖分上，有限元方法的數(shù)值解可能會(huì)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，需要采取一定的措施進(jìn)行平滑或適當(dāng)增加三角剖分的密度?？偨Y(jié)本文介紹了類變分不等式的基本概念和原理，并探討了