第2章彈性力學平面問題有限單元法2.1三角形單元2.2三角形單元中幾個問題的討論2.3平面問題有限元程序設計

2.4矩形單元2.5六結(jié)點三角形單元2.6四結(jié)點四邊形單元2.7八結(jié)點曲線四邊形等參元

2.8幾個問題的補充1第2章彈性力學平面問題有限單元法2.1三角形單元12.4矩形單元

三角形單元是常應變常應力單元，其精度受到一定的限制。采用更高階次位移模式的矩形單元，可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應力狀態(tài)。但是它對于幾何形狀復雜的模型難于采用，因此我們經(jīng)常把它和三角形單元組合起來使用，互補不足。22.4矩形單元三角形單元是常應變常圖示深梁，設劃分成具有八個矩形單元的網(wǎng)格，從中取出一典形單元e，單元有４個結(jié)點(i,j,m,p)。3圖示深梁，設劃分成具有八個矩形單元的網(wǎng)格，從中一、局部坐標

設單元的邊界平行于結(jié)構(gòu)整體坐標x,y，邊長分別為2a,2b，結(jié)點編號從左下角開始逆時鐘編成1，2,3,4。單元局部坐標的原點取在單元的形心(x0,y0)上，并采用無因次坐標ξ,η。ξ,η軸分別平行于x,y軸，4一、局部坐標設單元的邊界平行于結(jié)構(gòu)整體坐標x,y，邊長局部坐標ξ,η與結(jié)構(gòu)坐標x,y的關系是:單元規(guī)一化四個節(jié)點坐標(2-4-1)5局部坐標ξ,η與結(jié)構(gòu)坐標x,y的關系是:單元規(guī)一化(2-4二、結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣

每個結(jié)點2個位移分量，共８個位移分量，設結(jié)點位移和結(jié)點力列陣分別為：

6二、結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣每個結(jié)點2個位移分量，共８三、單元位移函數(shù)和形函數(shù)單元共有８個位移分量，將結(jié)點位移分量全部作為已知邊界條件，則位移函數(shù)可取為：或7三、單元位移函數(shù)和形函數(shù)單元共有８個位移分量，將結(jié)點位移分位移函數(shù)是單值連續(xù)的。在平行于x軸的直線上，位移分量是x的線性函數(shù)；在平行于y軸的直線上，它是y的線性函數(shù)，故2-4-4稱為坐標x,y的雙線性函數(shù)。將各結(jié)點坐標代入位移模式位移協(xié)調(diào)性8位移函數(shù)是單值連續(xù)的。在平行于x軸的直線上，位移解方程組便可求得待定常數(shù)。將這些參數(shù)代回式（2-4-4），經(jīng)整理得：同理：9解方程組便可求得待定常數(shù)。將這些參數(shù)代回式（2-4-4），經(jīng)以矩陣形式表示：（2－4－6）形函數(shù)矩陣[N]中的元素：有什么特征？10以矩陣形式表示：（2－4－6）形函數(shù)矩陣[N]中的元素：有什如果引進參數(shù):ξ0=ξiξ,η0=ηiη(i=1,2,3,4),(ξi,ηi)是矩形單元4個結(jié)點的局部坐標。結(jié)點i(ξi,ηi)的坐標值分別是(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,-1)。代入上式，則可將上式簡記成：或11如果引進參數(shù):ξ0=ξiξ,η0=ηiη(i=1,矩形單元的形函數(shù)，具有與三角形單元類似的特點，即：在結(jié)點上的形函數(shù)值：在單元形心上,12矩形單元的形函數(shù)，具有與三角形單元類似的特點，即：在單元形心四、幾何矩陣[B]，應力矩陣[S]在三角形單元中，我們已經(jīng)推知：應變：應力：矩形單元自然具有相同關系，只是[B]，[S]的內(nèi)容有所區(qū)別。仿照三角形單元：13四、幾何矩陣[B]，應力矩陣[S]在三角形單元中，我們已經(jīng)式中:14式中:14單元應力矩陣：式中：15單元應力矩陣：15五、單元剛度矩陣

將上述公式代入單剛的一般表達式

對于矩形單元,計算可得按結(jié)點分塊后的矩陣為:16五、單元剛度矩陣將上述公式代入單剛的一般表達式對于矩形單子矩陣為:17子矩陣為:17第2章彈性力學平面問題有限單元法2.1三角形單元2.2三角形單元中幾個問題的討論2.3平面問題有限元程序設計

2.4矩形單元2.5六結(jié)點三角形單元2.6四結(jié)點四邊形單元2.7八結(jié)點曲線四邊形等參元

2.8幾個問題的補充18第2章彈性力學平面問題有限單元法2.1三角形單元182.5六結(jié)點三角形單元

192.5六結(jié)點三角形單元19一、面積坐標

1．面積坐標的定義在第2節(jié)中，我們討論過三角形單元形函數(shù)的幾何意義，如果從三角形單元e內(nèi)任意點p向三個頂點i,j,m引連線，使其分割成三個小三角形便可得到這些小三角形面積與形函數(shù)的關系。20一、面積坐標1．面積坐標的定義20反過來說，只要給定了三角形面積Ai,Aj,Am，p點即可確定。因為Ai,Aj,Am中只有兩個是獨立的(Ai＋Aj＋Am=A)，這與P點坐標(x,y)對應。因此，我們可以用三角形面積來定義三角形內(nèi)的任意一點P的位置，并稱它為面積坐標。P點的面積坐標定義為以下三個面積比:21反過來說，只要給定了三角形面積Ai,Aj,Am由此定義,必有：Li+Lj+Lm=1。由于面積坐標Li,Lj,Lm只限于用來確定三角形單元上(內(nèi))點的位置（只有當L(i,j,m)≤1才有定義）,并且只是在單元分析中使用，所以L(i,j,m)屬于局部坐標。直角坐標與坐標原點、平移轉(zhuǎn)動等有關，可因人而異，故稱它為人為坐標，而面積坐標具有不變性，故稱其為自然坐標。）xyoP(x,y)22由此定義,必有：Li+Lj+Lm=1。由于面積坐標2．面積坐標Li和整體坐標x,y之間的關系或xyOijmP(x,y)Ai寫成矩陣形式為232．面積坐標Li和整體坐標x,y之間的關系或xyOijmP(比較得知，三角形常應變單元的形函數(shù)Ni,Nj,Nm分別等于三角形面積坐標Li,Lj,Lm，即將上式與三角形常應變單元形函數(shù)進行比較因此在三角形的三個頂點上亦具有與形函數(shù)相同的結(jié)點坐標:xyOijmP(x,y)Ai24比較得知，三角形常應變單元的形函數(shù)Ni,Nj,Nm三角形內(nèi)部點和邊界點上的面積坐標值可以用右圖中的一些等值線表示（面積坐標的等值線）。從圖中可看出：在平行于jm邊的任何一條直線上各點都具有相同的Li值(可從幾何作圖上看出)其值等于該直線到對應jm邊界的距離與結(jié)點i到jm邊界距離的比值。其它亦然。三角形重心的面積坐標？25三角形內(nèi)部點和邊界點上的面積坐標值可以用右圖中的一些等面積坐標等值線26面積坐標等值線263．面積坐標與直角坐標的關系將式(2-5-1)寫成矩陣形式得到用x、y表示的面積坐標:其反變換式為:273．面積坐標與直角坐標的關系27數(shù)學意義:三角形ijm內(nèi)某點的坐標(x,y),可以用三角形頂點(3個結(jié)點)的坐標(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)進行函數(shù)插值而獲得，其插值多項式是三角形的面積坐標Li,Lj,Lm，也就是三角形的形函數(shù)Ni,Nj,Nm。xyOijmP(x,y)Ai28數(shù)學意義:三角形ijm內(nèi)某點的坐標(x,y),可以用三角形頂?shù)葏卧@種坐標（x,y）表達式的插值函數(shù)和位移場（u,v）表達式的插值函數(shù)采用同一函數(shù)的單元稱為等參單元(簡稱等參元)。（又稱：坐標變換函數(shù)和位移插值函數(shù)中的形函數(shù)相同）。xyOijmP(x,y)Ai直角坐標與面積坐標的變換關系：三角形常應變單元的位移插值函數(shù)：29等參單元這種坐標（x,y）表達式的插值函數(shù)和位移場（u“等參元”的另一種定義是：（參考書：湖南科技社《有限元法概論》）設位移變量u的近似式:u是用s-1次插值函數(shù)近似表示的。坐標變換式：通常，坐標變換式的次數(shù)與u近似式的次數(shù)并不相等，由此可將單元分成三類。１、次參元r<s又名亞參元（Sub-parametricelement）２、等參元r=s(isoperimetricelement)３、超參元r>s(Super-parametricelement)30“等參元”的另一種定義是：（參考書：湖南科技社《有限元法概論亞參元概念：有時為了減少結(jié)點坐標數(shù)據(jù)的輸入量，用于位移描述的結(jié)點數(shù)和用于坐標變換的結(jié)點數(shù)可以不一樣。如圖示四邊形單元，可將位移取為8個結(jié)點,即位移函數(shù)為：而坐標變換式則取為:我們稱這種坐標結(jié)點少，而位移結(jié)點多的單元為亞參元。31亞參元概念：31二、六結(jié)點三角形單元在三角形單元三條邊界的中點上各增設一個結(jié)點，使三角形單元共有12個位移自由度。１、結(jié)點位移和節(jié)點力列陣：

32二、六結(jié)點三角形單元在三角形單元三條邊界的中點上各增設一個結(jié)２、單元位移函數(shù)和形函數(shù)設為２次多項式：為了計算簡單，采用面積坐標Li,Lj,Lm(Li=1/2A(ai+bix+ciy)(i,j,m)，單元上六個結(jié)點的面積坐標計算如圖示。33２、單元位移函數(shù)和形函數(shù)33將六個結(jié)點的12個位移分量代入，并采用面積坐標，按前面類似的推導過程，便可得到用形函數(shù)表達的單元位移函數(shù)：寫成矩陣形式:式中形函數(shù):34將六個結(jié)點的12個位移分量代入，并采用面積坐標，按前面類似的３、幾何矩陣[B],應力矩陣[S]應變{ε}=[B]9pjnb5te面積坐標函數(shù)的運算:設函數(shù)Z=f(Li,Lj,Lm)，由于面積坐標Li,Lj,Lm都是x,y的函數(shù)。因此將面積坐標對直角坐標求導時，應按復合函數(shù)求導法則：35３、幾何矩陣[B],應力矩陣[S]35同理:由(2-5-1)(Li=1/2A(ai+bix+ciy)(i,j,m))得：所以，面積坐標函數(shù)對直角坐標的偏導數(shù)為:36同理:由(2-5-1)(Li=1/2A(ai+bix+ci同理:由此得：37同理:由此得：37同理可得εy和γxy的類似表達式，于是得到六結(jié)點三角形單元的幾何方程:式中：38同理可得εy和γxy的類似表達式，于是得到六結(jié)點三角形單元單元應力方程:應力矩陣:式中:39單元應力方程:應力矩陣:式中:39從（2-5-8、9）兩式可見，六結(jié)點三角形單元的應力和應變分量均為整體坐標x,y或面積坐標L的一次函數(shù)，因此它比常應變單元精度好。而且，它們沿任何方向又都是線性變化的，能滿足邊界的變形協(xié)調(diào)條件，即單元的兩條收斂準則，完備性和協(xié)調(diào)性都能得到滿足。40從（2-5-8、9）兩式可見，六結(jié)點三角形單元的應力和應變分４、單元剛度矩陣

單剛為12×12階，由一般公式可推導出單剛的顯式為:式中:41４、單元剛度矩陣414242在上述公式推導中，還需用到如下積分公式：(—面積坐標冪函數(shù)在三角形上的面積分,參考：《有限元法基礎》蔣友諒，國防社80版）式中a,b,c為任意正整數(shù)。推導可見上述參考書，提示：因Li,j,m三個中只有兩個為獨立，故可Lm=1-Li-Lj用代入。如，在某一邊界上的線積分：43在上述公式推導中，還需用到如下積分公式：43把上面這些六結(jié)點三角形單元剛度矩陣的子矩陣與三結(jié)點三角形單元剛度矩陣的子矩陣比較，可以發(fā)現(xiàn)二者之間有一定的關系，即可以用三結(jié)點時的子矩陣來構(gòu)成六結(jié)點單剛：式中:ΣKii=Kii+Kjj+Kmm。各子塊均為三結(jié)點時三角形單元的子塊Krs44把上面這些六結(jié)點三角形單元剛度矩陣的子矩陣與三結(jié)點三角形單元5.六結(jié)點三角形單元的荷載等效變換因為六結(jié)點三角形元的位移函數(shù)已不再是線性函