2022-2023學年數學中考解答題專項訓練——二次函數

一、解答題

1.在同一坐標系內，畫出函數y=2x2和y=2(x-1)2+1的圖象，并說出它們的相同點和不同點.

2.寫出拋物線y=-x2+4x的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最大值.

3.若二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點(0,1)和(1,-2)兩點，求此二次函數的表達式.

4.求下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：y=2x2+12x+2l.

5.求拋物線y=；x2-x+l在-2&W2的最大值與最小值.

6.如圖，二次函數y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,頂點為D,

求ABCD的面積.

7.已知關于x的一元二次方程x2+2x+——=0有實數根，k為正整數.

2

(1)求k的值;

(2)當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=x2+2x+—/的圖象向下平移9個

單位，求平移后的圖象的表達式;

(3)在(2)的條件下，平移后的二次函數的圖象與x軸交于點A,B(點A在點B左側)，直

線丫=1?+15(k>0)過點B,且與拋物線的另一個交點為C,直線BC上方的拋物線與線段BC組成

新的圖象，當此新圖象的最小值大于-5時，求k的取值范圍.

8.若拋物線的頂點坐標為(-1，2),且過點(1,-2),求拋物線的解析式.

9.用配方法把二次函數y=-2x2+6x+4化為y=a(x+m)?+k的形式，再指出該函數圖象的開口方

向、對稱軸和頂點坐標.

10.一玩具廠去年生產某種玩具，成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件.今年計

劃通過適當增加成本來提高產品檔次，以拓展市場.若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加

0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高0.5x倍，則預計今年年銷售量將比去年

年銷售量增加x倍（本題中0<xW）.

（1）用含x的代數式表示，今年生產的這種玩具每件的成本為多少元，今年生產的這種玩具每件

的出廠價為多少元.

（2）求今年這種玩具的每件利潤y元與x之間的函數關系式.

（3）設今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大

年銷售利潤是多少萬元？

注：年銷售利潤=（每件玩具的出廠價-每件玩具的成本）x年銷售量.

11.如果二次函數y=x2-x+c的圖象過點（1,2）,求這個二次函數的解析式，并求出該函數圖象的

頂點坐標.

12.已知二次函數圖象的頂點坐標是（1,-4）,且與y軸交于點（0,-3）,求此二次函數的解析式

13.已知一條拋物線分別過點（3,-2）和（0,1）,且它的對稱軸為直線x=2,試求這條拋物線

的解析式.

14.如圖，直線y=-x+3與x軸交于點C,與y軸交于點A,點B的坐標為（2,3）拋物線y=-

x2+bx+c經過A、C兩點.

（1）求拋物線的解析式，并驗證點B是否在拋物線上；

（2）作BDLOC,垂足為D,連接AB,E為y軸左側拋物線點，當△EAB與△EBD的面積相等

時，求點E的坐標；

（3）點P在直線AC上，點Q在拋物線y=-x2+bx+c上，是否存在P、Q,使以A、B、P、Q為

頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

一4

15.如圖1,在平面直角坐標系中，二次函數y=-=x2+12的圖象與y軸交于點A,與x軸交于

B,C兩點（點B在點C的左側），連接AB,AC.

D

（2）過點C作射線CD〃AB,點M是線段AB上的動點，點P是線段AC上的動點，且始終滿

足BM=AP（點M不與點A,點B重合），過點M作MN〃BC分別交AC于點Q,交射線CD于點

N（點Q不與點P重合），連接PM,PN,設線段AP的長為n.

①如圖2,當nV^AC時，求證：ZiPAM絲^NCP；

②直接用含n的代數式表示線段PQ的長；

③若PM的長為歷，當二次函數y=-^-x2+12的圖象經過平移同時過點P和點N時，請直接

寫出此時的二次函數表達式.

答案解析部分

1.【答案】解：如圖,

相同點：開口方向和開口大小相同；

不同點：函數y=2（x-1）2+1的圖象是由函數y=2x2的圖象向上平移1個單位長度,

再向右平移1個單位長度所得到的，位置不同.

2.【答案】解：y=—x2+4x=—（x—2）"+4；

...拋物線的開口向下，對稱軸是直線x=2,頂點坐標是（2,4）,最大值是4.

3.【答案】解：?.?二次函數y=x?+bx+c的圖象經過（0,1）和（1,-2）兩點，

1=G

-2=l+b+c.

b=-4,

解得

c=1.

.?.二次函數的表達式為y=x2-4x+l.

4.【答案】解：y=2f+12x+21

=2（f+6x+9-9）+21

=2（x+3『-18+21

=2（%+3）2+3

???對稱軸為直線》=一3,頂點坐標為（-3,3）.

5.【答案】解：?.?拋物線y=yx2-x+l,

b-1,

V=--.............-1

拋物線的對稱軸方程為：2a

zX—

2

va=->0,則函數圖象的開口向上,

2

當x=i時，y最小值=5-1+1=5,

當％=—2時-，y=gx4—(—2)+1=5,

當x=2時，y=gx4—2+1=1,

k1，u

而一<1<5,

2

所以拋物線y=！x2-x+1在-2<x<2的最大值為5,最小值為L

22

6.【答案】解：延長DC交x軸于E,

依題意，可得y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

???頂點D(1,4),

令y=0,可得x=3或x=T,

AB(3,0),

令x=0,可得y=3,

：.C(0,3),

???OC=3,

???直線DC的解析式為y=x+3,

令y=0,可得x=-3,

：.E(-3,0),

BE=6,

**?SABCD—SABED-SABCE——x6x4x6x3=12-9=3.

22

???△BCD的面積為3.

k

7.【答案】解：(1)???關于x的一元二次方程X2+2X+——=0有實數根,

2

k_1

/.△=b2-4ac=4-4x------>0,

2

.\k-1<2,

.\k<3,

為正整數，

；.k的值是1,2,3；

(2)?.?方程有兩個非零的整數根，

當k=l時，，x2+2x=0,不合題意，舍去，

當k=2時，x2+2x+-=0,

2

方程的根不是整數，不合題意，舍去，

當k=3時,x2+2x+l=0,

解得：x,=x2=-1,符合題意，

，k=3,

y=x2+2x+1,

.?.平移后的圖象的表達式y(tǒng)=x2+2x+l-9=x2+2x-8；

(3)令y=0,x2+2x-8=0,

/.xi=-4,X2=2,

??,與x軸交于點A,B(點A在點B左側)，

AA(-4,0),B(2,0),

,直線1：y=kx+b(k>0)經過點B,

.?.函數新圖象如圖所示，當點C在拋物線對稱軸左側時，新函數的最小值有可能大于-5,

令y=-5,即x2+2x-8=-5,

解得：Xl=-3,X2=l,(不合題意，舍去)，

拋物線經過點(-3,-5),

當直線y=kx+b(k>0)經過點(-3,-5),(2,0)時:

可求得k=l,

由圖象可知，當0<kVl時新函數的最小值大于-5.

8.【答案】解：設拋物線解析式為y=a(x+l>+2,

(1,一2)代入得ax(l+iy+2=-2,

4tz=T

解得。=—1,

即拋物線解析式為y=-。++2.

9.【答案】解：y=-2x2+6x+4,

(9、9

=-2x2-3x+—+4+-,

I4j2

3

開口向下,對稱軸為直線x=-，頂點(U15口2］J

10.【答案】解：(1)10+7x；12+6x；

(2)y=(12+6x)-(10+7x),

/.y=2-x(0<x<l)；

(3)Vw=2(1+x)?y

=2(1+x)(2-x)

=-2x2+2x+4,

；.w=-2(x-0.5)2+4.5

Y-2<0,0<x<l,

，w有最大值，

，當x=0.5時,w品大=4.5(萬元).

答：當x為0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是4.5萬元.

11.【答案】解：將x=l,y=2代入y=x2-x+c得:2=1-1+c,即c=2,

則二次函數解析式為y=x2-x+2；

17

Vy=x2-x+2=(x--)2+-,

24

17

拋物線頂點坐標為(一，一)

24

12.【答案】解:設二次函數為y=a(x-l>-4(a/)),

代入(0,-3)得-3=a(0-l)2-4

解得a=l

二次函數為y=(x-l)2-4.

13.【答案】解:?.?拋物線的對稱軸為x=2,

.?.可設拋物線的解析式為y=a(x-2)2+b

?(3—2)~+b=-2

把(3,-2),(0,1)代入解析式得

+b-\

解得,b=—3,

.?.所求拋物線的解析式為y=(x-2>-3

14.【答案】解：(1)在y=-x+3中，

令x=0,得y=3；令y=0,得x=3,

/.A(0,3),C(3,0).

?拋物線y=-x?+bx+c經過A、C兩點,

>c=3

-9+3b+c-0'

b=2

解得《

c=3

，拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,

當x=2時，y=-22+2x2+3=3,

?,?點B(2,3)在拋物線上；

(2)VA(0,3),B(2,3),

AAO=BD=3,

VAO±OC,BD±OC,

，AO〃BD,

???四邊形AODB是平行四邊形，

?.*ZAOD=90°,

J平行四邊形AODB是矩形，

AAB±AO.

設E(x,-x2+2x+3),

22

則SAEAB二;AB?[3-(-x+2x+3)]=x-2x,

13

SAEBD=—BD?(2-x)=-(2-x),

22

?SAEAB—SAEBD,

3

/.x2-2x=—(2-x),

2

3

解得X尸---，X2=2(舍去)，

2

,一39

???點E的坐標為(-不，---)；

24

(3)存在P、Q,使以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形.理由如下:

設點P的坐標為(x,-x+3),分兩種情況：

①當AB為邊時；

I)如果四邊形BAPQ為平行四邊形，那么PQ〃AB〃x軸，且PQ=AB=2,

；.Q點坐標為(x+2,-x+3),

VQ點在拋物線y=-x2+2x+3上，

-x+3=-(x+2)2+2(x+2)+3,

整理得x2+x=0,

解得Xl=-1,X2=0(舍去)，

...點P的坐標為(-1,4)；

II)如果四邊形BAQP為平行四邊形，那么PQ〃AB〃x軸，且PQ=AB=2,

，Q點坐標為(x-2,-x+3),

VQ點在拋物線y=-x2+2x+3上,

，-x+3=-(x-2)2+2(x-2)+3,

整理得x2-7x+8=0,

的俎7+V177-V17

解得X|=----------，X2=-----------，

22

/.點P的坐標為（7+厲,-Z±2叵）或（"后,7-而）；

2222

②當AB為對角線時，則AB與PQ互相平分，

VA（0,3）,B（2,3）,

AAB中點坐標為（1,3）,

?.?點P的坐標為（x,-x+3）,

...點Q的坐標為（2-x,x+3）,

???Q點在拋物線y=-x2+2x+3上，

x+3=-（2-x）2+2（2-x）+3,

整理得x2-x=0,

解得X|=l,X2=0（舍去），

.?.點P的坐標為（1,2）；

綜上所述，符合條件的點P坐標為（-1,4）或（姮,-姮）或（二晅,

222

）或（1,2）.

2

15.【答案】（1）答：（-9,0）,（9,0）.

4

解：B、C為拋物線與x軸的交點，故代入y=0,得產-王^2+12=0,

解得x=-9或x=9,

即B（-9,0）,C（9,0）.

（2）①證明：???AB〃CN,

.?./MAP二NPCN,

VMN/7BC,

???四邊形MBCN為平行四邊形，

ABM=CN,

VAP=BM,

，AP=CN,

VBO=OC,OA±BC,

??.OA垂直平分BC,

，AB=AC,

，AM=AB-BM=AC-AP=CP.

在小PAM和小NCP中，

'AP=CN

<NMAP=NPCN，

AM=CP

/.△PAM^ANCP(SAS).

②解：I.當n<；AC時，如圖1,

：四邊形MBCN為平行四邊形，

AZMBC=ZQNC,

VAB=AC,MN〃BC,

NMBC=NQCB=NNQC,

.\ZNQC=ZQNC,

，CN=CQ,

VAMAP^APCN,

，AP=CN=CQ,

AP=n,AC=7A(?2+OC2=V122+92=15>

r.PQ=AC-AP-QC=15-2n.

2.當1!=!人(：時，顯然P、Q重合，不符合題意.

2

3.當n>，AC時，如圖2,

2

?/四邊形MBCN為平行四邊形，

AZMBC=ZQNC,BM=CN

VAB=AC,MN〃BC,

JZMBC=ZQCB=ZNQC,

.,.ZNQC=ZQNC,

ABM=CN=CQ,

VAP=BM,

???AP=CQ,

VAP=n,AOI5,

???PQ=AP+QC-AC=2n-15.

綜上所述，當n＜，AC時，PQ=15-2n；當n＞，AC時，PQ=2n-15.

22

g4^16._p,4232—

③y=-----x2+—x+4或----JT+—x-12.

279279

分析如下：

1.當n＜」AC時，如圖3,過點P作x軸的垂線，交MN于E,交BC于F.

2

此時△PEQs^PFCsaAOC,PQ=15-2n.

ME=EN=-MN=-BC=9,

22

PE=yJpM2-ME2=,97-81=4,

OC：OA：AC=3：4：5,△PEQ^APFC^AAOC,

PQ=5,

15-2n=5,

/.AP=n=5,

，PC=10,

AFC=6,PF=8,

VOF=OC-FC=9-6=3,EN=9,EF=PF-PE=8-4=4,

：.P(3,8),N(12,4).

44

設二次函數y=-=x