（RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis）第五章剛體定軸轉動1（RotationofRigidBodyabout§5.1剛體的運動§5.2剛體的定軸轉動定律§5.3轉動慣量的計算

§5.4轉動定律應用舉例§5.5定軸轉動中的功能關系§5.6剛體定軸轉動的角動量守恒定律§5.7旋進本章目錄2§5.1剛體的運動§5.2剛體的定軸轉動定律§5.3轉CABF由于彈性，力在連續(xù)體內傳播需要一定時間：§5.1剛體的運動一.剛體（rigidbody）的概念tt

+t才感受到力固體中彈性波的速度（k—勁度）若v，則k，此時物體有無限的剛性，它受作用力不會變形，因而可以瞬時傳遞力。我們把這種不能變形的物體稱為剛體。3CABF由于彈性，力在連續(xù)體內傳播需要一定時間：§5.1顯然，剛體是個理想化的模型，而且考慮到剛體的特點，規(guī)律的表示還可較一剛體是特殊的質點系，其上各質點間的相對位置保持不變。質點系的規(guī)律都可用于剛體，般的質點系有所簡化。通常v固體

103m/s，所以只要我們討論的運動過程的速度比此慢得多，就可把固體視為剛體。實際的意義。但是它有4顯然，剛體是個理想化的模型，而且考慮到剛體的特點，規(guī)二、剛體運動的幾種形式1.平動（平移）

運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。

剛體的任意運動都可視為某一點的平動和繞通過該點的軸線的轉動特點：剛體內所有的點具有相同的位移、速度和加速度。－－剛體上任一點的運動規(guī)律即代表剛體的平動規(guī)律。

研究方法：用質心代表整個剛體的運動?？梢暈橘|點。5二、剛體運動的幾種形式1.平動（平移）2.定軸轉動

剛體上所有質點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的轉動。這條直線稱為轉軸。定軸轉動：轉軸固定不動的轉動。O特點：剛體內所有的點具有相同的角位移、角速度和角加速度?！獎傮w上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表了剛體定軸轉動的規(guī)律62.定軸轉動剛體上所有質點都繞同一直線作圓5.剛體的一般運動剛體的一般運動可視為隨剛體上某一基點A的平動和繞該點的定點轉動的合成.OOO將剛體的運動看作質心的平動與相對于通過質心并垂直運動平面的軸的轉動的疊加。3.平面平行運動

剛體運動時,各點始終和某一平面保持一定的距離,或者說剛體中各點都平行于某一平面而運動4.剛體定點轉動剛體運動時，始終繞一固定點轉動.75.剛體的一般運動剛體的一般運動可視為隨剛體上O··OO·OO·轉動與基點的選取無關。兩種分解，基點選取不同，例如：平動可以不同，動力學中，常選質心為基點。三.剛體轉動的描述（運動學問題）1.定點轉動（rotationaboutafixedpoint）轉動卻相同，或2.定軸轉動（rotationaboutafixedaxis）8··OO·OO·轉動與基點的選取無關。兩種分解，剛體定軸轉動的描述角位置：

(1).定軸轉動的角量描述

角位移：

角速度：角加速度：

角速度和角加速度均為矢量，定軸轉動中方向沿轉軸的方向。角速度方向并滿足右手螺旋定則。(2).角量和線量的關系9剛體定軸轉動的描述角位置：(1).定軸轉動的角量描述

在剛體作勻角加速轉動時，=常數(shù)，有以下相應的公式:

在質點作勻加速直線運動時，a=常數(shù)，有以下相應的公式:3、勻變速轉動的公式剛體獲得角加速度的原因？10在剛體作勻角加速轉動時，=常數(shù)，有以下相應§5.2剛體的定軸轉動定律把剛體看作無限多質元構成的質點系。令—轉動慣量（對z軸）（rotationalinertia）vi剛體O×ω,ri定軸zmiΔriFi11§5.2剛體的定軸轉動定律把剛體看作無限多質元構成vi剛體O×ω,αri定軸zFiθimiΔri則即—轉動定律其中定軸情況下，可不寫下標z，記作：與牛頓第二定律相比，有：M

相應F，J

相應m

，相應a

。12vi剛體O×ω,αri定軸zFiθimiΔri則即—轉動連續(xù)體：1.轉動慣量的物理意義：剛體轉動慣性大小的量度。

2.轉動慣量的計算轉動慣量大小有關因素:與剛體的質量及質量相對于給定軸的分布有關。

注:在定軸轉動定律中，不論是對M還是對于J，首先都要明確的是轉軸的位置，只有軸確定，M和J才有意義。在（SI）中，J的單位：kgm2§5.3轉動慣量的計算dmrm轉軸13連續(xù)體：1.轉動慣量的物理意義：剛體轉動慣性大小的量度。質量為線分布質量為面分布質量為體分布其中、、分別為質量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布轉動慣量：14質量為線分布質量為面分布質量為體分布其中、、分別為質量3.常用的幾種轉動慣量表示式

細棒細棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體153.常用的幾種轉動慣量表示式細棒細棒薄圓環(huán)圓盤或薄球殼球4.計算轉動慣量的幾條規(guī)律①對同一軸J具有可疊加性

②平行軸定理JCdmJC平行×（證明見書P260—P262）164.計算轉動慣量的幾條規(guī)律①對同一軸J具有可疊加性②平行3.對薄平板剛體的正交軸定理rimi

ΔxzyiyxiO即如圖例：173.對薄平板剛體的正交軸定理rimiΔxzyiy§5.4轉動定律應用舉例定軸

O·Rthmv0=0繩（不可伸長）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑動，下落時間t=3s。求：輪對O軸J=？

解：動力學關系：對輪：′T=–TmgmaαRGTN·對m：運動學關系：(3)(4)(1)(2)繩輪間無相對18§5.4轉動定律應用舉例定軸·Rthmv0=0(1)~(4)聯(lián)立解得：分析結果：●量綱對；●h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入數(shù)據(jù)：正確。合理；此為一種用實驗測轉動慣量的方法。19(1)~(4)聯(lián)立解得：分析結果：●量綱對；●h、m例1.

一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質量為

m，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為Mr，繩與滑輪間無相對滑動。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，Mr求：.20例1.一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪解:研究對象m1，m2，m建立坐標，受力分析如圖.對各隔離體寫出運動方程：對m1

：對m2：對m：又：21解:研究對象m1，m2，m建立坐標聯(lián)立求得：注意：當不計滑輪的質量及摩擦阻力時：這便是中學所熟知的結果問：如何求角加速度？根據(jù)可求得22聯(lián)立求得：注意：當不計滑輪的質量這便是中學所熟知的結果問：如例2電風扇在開啟電源后，經(jīng)過時間達到了額定轉速，此時相應的角速度為。當關閉電源后，經(jīng)過時間風扇停轉。已知風扇轉子的轉動慣量為J，并假定摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，試根據(jù)已知量推算電機的電磁力矩。

23例2電風扇在開啟電源后，經(jīng)過23在內解：關閉電源后，經(jīng)過時間★

結果：電磁摩擦24在內解：關閉電源后，★結果：電磁摩轉動慣量小的滾得快！質心運動定理過質心軸轉動定理純滾動條件（運動學條件）【例3】兩個質量和半徑都相同，但轉動慣量不同的柱體，在斜面上作無滑動滾動，哪個滾得快？mgfRCxy25轉動慣量小的滾得快！質心運動定理過質心軸轉動定理純滾動條件（例4有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度開始旋轉，它將在旋轉幾圈后停止？26例4有一半徑為R的圓形平板平放26解：27解：27作業(yè)：P286~2875.25.95.12解題要點28作業(yè)：P286~2875.25.95.1§5.5定軸轉動中的功能關系一.力矩的功力矩的空間積累效應：

力矩的功：dzx·軸rF29§5.5定軸轉動中的功能關系一.力矩的功力矩的空間積累二.定軸轉動動能定理令轉動動能：剛體定軸轉動動能定理：（飛輪儲能）30二.定軸轉動動能定理令轉動動能：剛體定軸轉動動能定理：（三.剛體的重力勢能×ChChiEp=0miΔ31三.剛體的重力勢能×ChChiEp=0miΔ31注意：功能原理適應于純質點系統(tǒng)也適應于純剛體系統(tǒng)同時也適應于（質點+剛體）的混合系統(tǒng)。但計算動能時必須注意★

剛體轉動動能四.剛體定軸轉動的功能原理內32注意：功能原理適應于純質點系統(tǒng)也適應于純剛體系統(tǒng)同時也適五.剛體的機械能守恒定律內若：則：常數(shù)若剛體轉動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。六.應用舉例對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能守恒定律仍成立。33五.剛體的機械能守恒定律內若：則：常數(shù)若剛體轉動過程中只[例]已知：如圖示，。θ··ω軸OCABl,ml/4求：桿下擺到角時，解：（桿+地球）系統(tǒng)，(1)(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度均勻直桿質量為m，長為l，初始水平靜止。軸光滑，34[例]已知：如圖示，。θ··ω軸OCABl,ml/4求§5.6剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律討論力矩對時間的積累效應。質點系：對點：對軸：剛體：——剛體定軸轉動的角動量定理35§5.6剛體定軸轉動的角動量定理討論力矩對時間的積累效應。剛體定軸轉動的角動量守恒定律：對剛體系，M外z=0時，，此時角動量可在系統(tǒng)內部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對轉軸的總角動量不變。36剛體定軸轉動的角動量守恒定律：對剛體系，M外z=0時克服直升飛機機身反轉的措施：裝置尾漿推動大氣產(chǎn)生克服機身反轉的力矩裝置反向轉動的雙旋翼產(chǎn)生反向角動量而相互抵消37克服直升飛機機身反轉的措施：裝置尾漿推動大氣產(chǎn)生克服機身反轉滑冰運動員的旋轉38滑冰運動員的旋轉38計算角動量時注意：★

質點角動量★

剛體角動量★有剛體時切忌用動量守恒，只能用角動量守恒★

注意：剛體系定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律適應于純質點系統(tǒng)也適應于純剛體系統(tǒng)同時也適應于（質點+剛體）的混合系統(tǒng)。39計算角動量時注意：★質點角動量★剛體角動量★有剛體時m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸均質圓盤（水平）R[例]如圖示，求：碰撞后的瞬刻盤

P轉到x軸時盤解：m下落：(1)mPhv對（m+盤），碰撞中重力對O軸力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，

=60系統(tǒng)角動量守恒：40m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸均質圓盤（水平）R[例](3)對（m+M+地球）系統(tǒng)，mmg·OMR令P、x重合時EP=0，則：(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：(4)只有重力作功，E守恒。（m+盤）轉動慣量41(3)對（m+M+地球）系統(tǒng)，mmg·OM例5空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉動，轉動慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始時環(huán)的角速度為0。質量為m的小球靜止在環(huán)內最高處A點，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點和環(huán)的最低處的C點時，環(huán)的角速度及小球相對與環(huán)的速度各為多少？42例5空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉動，轉動慣量為J0（設環(huán)的內壁和小球都是光滑的，小球可視為質點，環(huán)截面半徑）小球受力：環(huán)受力：重力、與軸、與小球之間作用力對所有力的力矩分析可知：兩物體所受力關于軸

的力矩均等于零。43（設環(huán)的內壁和小球都是光滑的，小球可視為質點，環(huán)截面半徑所以，在

軸方向角動量守恒由于它們在運動過程中，在

軸向所受合外力矩為零，選小球和環(huán)為系統(tǒng)，對A、B點有:44所以，在由于它選（小球+環(huán)+地球）為系統(tǒng)，則系統(tǒng)機械能守恒。取過環(huán)心的水平面為勢能零點。45選（小球+環(huán)+地球）則系統(tǒng)機械對于A、C點有46對于A、C點有46例6一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉動。開始時，圓盤靜止，一質量為m的子彈以水平速度V0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求（1）子彈擊中圓盤后,盤獲得的角速度（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉動（忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩）47例6一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙水平（1）解：子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度子彈和圓盤在碰撞前后角動量守恒48（1）解：子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度子彈和圓盤在碰撞（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉動解一：根據(jù)定軸轉動定律49（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉動解一：根據(jù)定軸轉動定律49解二：對（圓盤+子彈）應用角動量定理50解二：對（圓盤+子彈）應用角動量定理50作業(yè)：P287~2885.155.165.195.2051作業(yè)：P287~2885.155.165.例7（）一勻質細棒長為2L，質量為m。以與棒長方向相垂直的速度V0在光滑水平面內平動時與前方一固定的光滑支點O發(fā)生完全非彈性碰撞。碰撞點位于棒中心的一方L/2處，如圖所示。求棒在碰撞后的瞬時繞O點轉動時的角速度52例7（）一勻質細棒長為2L，質量52解：碰撞前后角動量守恒。計算碰撞前瞬時，桿對點o的角動量大小

棒上所有點角速度不同但有相等的平動速度?！?/p>

在棒上任意處取質量元特點：53解：碰撞前后角動量守恒。計算碰撞前瞬時，桿★

質量元相對o點的角動量大小54★質量元相對o點的角動量大小54

棒上所有點平動速度不同，但有相等的角速度。計算碰撞后瞬時，桿對點的角動量大小★結論：特點：55棒上所有點平動速度不計算碰撞后瞬時，桿對例8（）如圖所示，一半徑為R，質量為的水平圓臺，正以角速度

繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉動，轉動慣量。臺上原站有倆人，質量各等于轉臺質量的一半，一人站于臺邊A處，另一人站于距臺中心的B處。今A處的人相對于原臺以速率V順著圓臺轉向沿圓周走動，同時B處的人相對于原臺以速率2V逆圓臺轉向沿圓周走動。求圓臺這時的角速度。56例8（）如圖所示，一半徑為R，質56例8（）解答（轉臺+二人）對轉軸角動量守恒走動前臺A處人B處人57例8（）解答（轉臺+二人）對轉軸走動前臺A處人B處人5走動后臺A處人B處人★

結果：58走動后臺A處人B處人★結果：58旋進：

§5.7旋進（進動，precession）如玩具陀螺的運動：軸轉動的現(xiàn)象。高速旋轉的物體，其自轉軸繞另一個59旋進：§5.7旋進（進動，precp2p1·×m2>m1r2m1r1L2L1LOωz點的不平行于。若質量對轉軸分布對稱，下面我們就討論這種質量對轉軸分布對稱對轉軸不對稱，的剛體的旋進問題。剛體自轉的角動量不一定都與自轉軸平行。例如，圖示的情形：質量則：則對軸上O60p2p1·×m2>m1r2m1r1L2L1L×MdL·mgθOω∥L從而產(chǎn)生旋進運動。玩具陀螺的旋進：只改變方向而不改變大小，61×MdL·mgθOω∥L從而產(chǎn)生旋進運動。玩具陀螺的旋進：只dΩLO旋進角速度：演示車輪旋進（KL023)TV旋進防止炮彈翻轉（注2）62dΩLO旋進角速度：演示車輪旋進（KL023)T1.車輪的旋進（演示）討論：改變的方向，旋進方向是否改變？改變配重，對旋進有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？2、炮彈的旋進（錄像）c631.車輪的旋進（演示）討論：改變的方向，旋進方向是否改3.回轉效應產(chǎn)生附加力矩：

輪船轉彎時，渦輪機軸承要承受附加力。左轉dLMMdt=dL附加力附加力軸承附加力可能造成軸承的損壞，附加力矩也可能造成翻船事故。M左轉彎的力矩

三輪車拐彎時易翻車（內側車輪上翹）。L643.回轉效應產(chǎn)生附加力矩：輪船轉彎時，渦輪機軸承要承▲地球轉軸的旋進，歲差隨著地球自轉軸的旋進，北天極方向不斷改變。北極星3000年前小熊座現(xiàn)在小熊座12000年后天琴座（織女）T=25800年C1C2F1F2太陽赤道平面