第六章常微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)一階微分方程第三節(jié)可降階的高階微分方程第四節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第五節(jié)二階常系數(shù)線性齊次微分方程第六章常微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)第二節(jié)一階微分方程本節(jié)主要內(nèi)容:一、可分離變量的一階微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程第二節(jié)一階微分方程本節(jié)主要內(nèi)容:一、可分離變量的一階微分

一、可分離變量的一階微分方程下面介紹幾種常用的一階微分方程的基本類型及其解法．一階微分方程的一般形式為

(1)

的形式，稱(1)式為可分離變量的微分方程．其中f(x)只是x的函數(shù),g(y)只是y的函數(shù).(2)如果一階微分方程(1)式可以化為形如或

下面介紹幾種常用的一階微分方程的基本類型及其解法．一階微這類方程的特點是：經(jīng)過適當整理，可使方程的一邊只含有一個變量和其微分.這類方程的特點是：經(jīng)過適當整理，可使方程的一邊只含有一個變量高等數(shù)學一階微分方程教學課件這個通解是以隱函數(shù)形式給出的，也可以顯化為得方程的通解兩邊積分解

將方程分離變量，得例1求微分方程

y′-eysinx=0的通解．

這個通解是以隱函數(shù)形式給出的，也可以顯化為得方程的通解兩邊積例2求微分方程的通解解

將方程分離變量，有兩邊積分得故通解為例2求微分方程的通解解將方程分離變量，有兩邊例3求微分方程解

將方程分離變量，有兩邊積分得的通解例3求微分方程解將方程分離變量，有兩邊積分得的(3)因為是不為零的任意常數(shù)，把它記作C，便得到方程的通解可以驗證C=0時，,它們也是原方程的解，因此（3）式中的C可設為任意常數(shù)．

(3)因為是不為零的任意常數(shù)

解方程中，如果積分后出現(xiàn)對數(shù)，理應都需作類似上述的討論．為方便起見，例2可作如下簡化處理：兩邊積分得分離變量后得故通解為其中C為任意常數(shù)．解方程中，如果積分后出現(xiàn)對數(shù)，理應都需作類似上述的討論兩邊積分得方程通解解

方程變形后分離變量得，得由初始條件故所求特解為求微分方程例4滿足初始條件的特解．兩邊積分得方程通解解方程變形后分離變量得，得由1.定義的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換,令代入原式可分離變量的方程

二、齊次方程分離變量，得1.定義的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換,令代入原解

將方程變形為齊次方程的形式例5

求微分方程的通解．令,則方程化為解將方程變形為齊次方程的形式例5

求微分方程分離變量后，得兩邊積分，得即以代回，得通解分離變量后，得兩邊積分，得即以代回，得通解例6求解微分方程解例6求解微分方程解微分方程的通解為即微分方程的通解為即例7求解微分方程解微分方程的通解為例7求解微分方程解微分方程的通解為解令則代入化簡并分離變量兩邊積分換回原變量或例8解令則代入化簡并分離變量兩邊積分換回原變量或例8利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為三、一階線性微分方程(5)的方程（其中稱為一階線性微分方程，是x的已知函數(shù)），稱為自由項．Q(x)1.Q(x)≡0，方程(5)變?yōu)?6)形如方程(6)稱為一階線性齊次微分方程；三、一階線性微分方程(5)的方程（其中稱為一階線性微分方2.Q(x)≡0，方程(5)變?yōu)?7)方程(7)稱為一階線性非齊次微分方程；例如線性的;非線性的.2.Q(x)≡0，方程(5)變?yōu)?7)方程(7)稱為一階線1.一階線性齊次微分方程的解法齊次方程的通解為是可分離變量的方程，一階線性齊次微分方程：分離變量得兩邊積分得(8)1.一階線性齊次微分方程的解法齊次方程的通解為是可分離變量的為了書寫方便，約定以后不定積分符號只表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)，如符號是P(x)的一個原函數(shù).說明：為了書寫方便，約定以后不定積分符號只表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法實質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換2.一階線性非齊次微分方程的解法的形式，其中C(x)是待定的函數(shù)．常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法實質(zhì):積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應齊次方程通解非齊次方程特解積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應齊次方程通解非齊次非齊次線性方程的通解相應齊方程的通解=非齊次方程的一個特解即非齊通解=齊通解+非齊特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。+非齊次線性方程的通解相應齊方程的通解=非齊次方程的一個特解即

原方程即解兩邊積分，得解法一

用常數(shù)變易法：的通解．分離變量得先求故例10求微分方程的通解。原方程即解兩邊積分，得解法一用常數(shù)變易法：的通解變換常數(shù)C1，令，則整理得把y,y′代入原方程，得于是變換常數(shù)C1，令，則整理得把y,y′代入原方程，得代入得到該非齊次方程的通解.把解法二利用通解公式求解，這時必須把方程化成(5)的形式．有代入得到該非齊次方程的通解.把解法二利用通解公式求解，這故故例11解求解微分方程例11解求解微分方程例12求微分方程滿足初始條件的特解.將原方程變形為解例12求微分方程滿足初始條件的特解.將原方程變形所以原方程的通解為把初始條件代入上式，得故所求方程的特解為所以原方程的通解為把初始條件代入上式，得故所求方程的特解例13求解微分方程解將方程變形為這是一個一階線性微分方程，其中例13求解微分方程解將方程變形為這是一個一階線性高等數(shù)學一階微分方程教學課件