全等三角形的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)課全等三角形的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)課一.全等三角形：1：什么是全等三角形？一個(gè)三角形經(jīng)過哪些變化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性質(zhì)？能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。（1）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。（2）：全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。（3）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。一.全等三角形：1：什么是全等三角形？一個(gè)三角形經(jīng)過哪些變化角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用法：

∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.用法：∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE二.角的平分線：1.角平分線的性質(zhì)：2.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用法：∵知識(shí)回顧：一般三角形

全等的條件：1.定義（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的條件：HL.包括直角三角形不包括其它形狀的三角形解題中常用的4種方法知識(shí)回顧：一般三角形全等的條件：1.定義（重合）法；2.S1。證明兩個(gè)三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?。全等三角形，是證明兩條線段或兩個(gè)角相等的重要方法之一，證明時(shí)

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。②分析要證兩個(gè)三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。③有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，有對(duì)頂角的，對(duì)頂角也是對(duì)應(yīng)角。總之，證明過程中能用簡(jiǎn)單方法的就不要繞彎路。證明方法1。證明兩個(gè)三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)?shù)呐蟹椒ㄖ敢C明兩個(gè)三角形全等的基本思路：（1）：已知兩邊----

找第三邊(SSS)找夾角（SAS)(2):已知一邊一角---已知一邊和它的鄰角找是否有直角(HL)已知一邊和它的對(duì)角找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA)找這個(gè)角的另一個(gè)(SAS)找這邊的對(duì)角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一邊(HL)(3):已知兩角---找兩角的夾邊(ASA)找夾邊外的任意邊(AAS)練習(xí)方法指引證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：（1）：已知兩邊---1．證明線段相等的方法(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法1．證明線段相等的方法(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形2．證明角相等的方法(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.2．證明角相等的方法(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法.可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判解：∵PC是△

APB的角平分線∴∠APC=

（角平分線定義）在

中2.如圖，PA=PB，PC是△PAB的角分線，∠A=55°.求：∠B的度數(shù)∴

≌

（

）

∴∠A=∠B（

）∵∠A=55°（已知）∴∠B=_____（等量代換）

PABC第2題∠BPC△APC和△BPCPA=PB(已知)∠BPC∠APC=PC=PC(公共邊)△APC△BPCSAS全等三角形對(duì)應(yīng)角相等練習(xí)55°解：∵PC是△APB的角平分線2.如圖，PA=PB，PC是復(fù)習(xí)題11S△ABF=S△BDFS△ABD=S△AFDS△BDC=S△AFDS△ABE=S△DEF△ABD≌△CDB復(fù)習(xí)題11S△ABF=S△BDFS△ABD=想一想探一探辨一辨用一用理一理作業(yè)探一探1.如圖（1），AB=CD，AC=BD，則△ABC≌△DCB嗎?說(shuō)說(shuō)理由ADBC圖（1）2.如圖（2），點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，CD與BE相交于點(diǎn)O，且AE=AD,AB=AC.△ABE≌△ACD嗎?說(shuō)說(shuō)理由.BCODEA圖（2）3.如圖（3），若OB=OD，∠A=∠C，△ABO≌△CDO嗎?說(shuō)說(shuō)理由.ADBCO圖（3）想一想探一探辨一辨用一用理一理作業(yè)探一探1.如圖（1），A想一想探一探辨一辨用一用理一理作業(yè)人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)5、如圖：AC=AD,AB=AB,

且∠B=∠B△ABC與△ABD全等嗎?\=\=ABCD4、如圖：AB=CD，BF=DE，∠DEC=∠BFA=90°△ABF與△CDE

全等嗎？探一探

C

D

E

A

B

F想一想探一探辨一辨用一用理一理作業(yè)人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)1、如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠

BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=

。12cABDE三.練習(xí)：1、如圖：在△ABC中，∠C=900，12cABDE三.練類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC．(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；

(2)證明：DC⊥BE.

類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三解：（1）△BAE≌△CAD

證明：∠BAC＝∠EAD＝90°

∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE

即∠BAE＝∠CAD

又AB＝AC，AE＝AD，

△ABE≌△ACD（SAS）

（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA,

又∠COE＝∠AOD

∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90°

則有∠DCE＝180°－90°＝90°，

所以DC⊥BE.解：（1）△BAE≌△CAD

證明：∠BAC＝∠EA【點(diǎn)評(píng)】△ABE與△ACD中，已經(jīng)有兩邊，夾角可以通過等量代換找到，從而證明△ABE≌△ACD；通過全等三角形的性質(zhì)，通過導(dǎo)角可證垂直.我們可以試著從變換的角度看待△ABE與△ACD，后一個(gè)三角形是前一個(gè)三角形繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)的角度90°，即DC⊥BE.【點(diǎn)評(píng)】△ABE與△ACD中，已經(jīng)有兩邊，夾角可以通過等量代如圖，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.證明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.

在△DAB與△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CE.如圖，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形

(1)．作公共邊可構(gòu)造全等三角形：2、如圖：在四邊形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.證明：連接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

在△ABC與△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)．作公共邊可構(gòu)造全等點(diǎn)評(píng)】∠B與∠D不包含在任何兩個(gè)三角形中，只有添加輔助線AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.添加公共邊作為輔助線的時(shí)候不能割裂所給的條件，如果證∠A＝∠C，則連接對(duì)角線BD.點(diǎn)評(píng)】∠B與∠D不包含在任何兩個(gè)三角形中，只有添加輔助線AC舉一反三：【變式】在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C證明：過點(diǎn)A作AD⊥BC

在Rt△ABD與Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.舉一反三：

(2)．倍長(zhǎng)中線法：己知：在ΔABC中，AD為中線.求證：AD＜證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD為中線，∴BD＝CD

在△ADC與△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE

在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.(2)．倍長(zhǎng)中線法：己知：在ΔABC中，AD為中線.人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨想一想探一探辨一辨用一用理一理作業(yè)ABECD例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨想一想探一探辨一辨用一用理一理辨一辨ABECD例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）DE＝CE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）辨一辨ABECD例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨ABECD例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）AD＝BCAC＝BDAB＝BA△ABD≌△BAC(SSS)人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨ABECD例1：如圖，對(duì)于給出辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）DE＝CE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）AD＝BCDE＝CESSA不可以判定全等?！?＝∠2ABECD12辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12AD＝BC∠D=∠C∠1=∠2△ADE≌△BCE(AAS)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECDAD＝BC∠DAB=∠CBAAB＝BA△ABD≌△BAC(SAS)人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）DE＝CE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12∵AC＝BD∴AE=BEDE＝CEDE＝CE∠1＝∠2AE=BE△ADE≌△BCE(SAS)人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12AC＝BD∠D=∠CSSA不可以判定全等。辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12AC＝BD∠DAB=∠CBASSA不可以判定全等。辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）DE＝CE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12∠D=∠C∠1=∠2DE＝CE△ADE≌△BCE(ASA)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）DE＝CE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12DE＝CE∠DAB=∠CBA沒有形成全等的條件辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量關(guān)系（1）AD＝BC（2）AC＝BD（3）CE＝DE（4）∠D=∠C（5）∠DAB=∠CBA，小剛認(rèn)為至少要給三個(gè)條件，才能判定圖中的三角形全等；小明認(rèn)為只要給其中的兩個(gè)條件，就能判定圖中三角形全等，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？（1）（2）（1）（3）（1）（4）（1）（5）（2）（3）（2）（4）（2）（5）（3）（4）（3）（5）（4）（5）ABECD12∠D=∠C∠DAB=∠CBAAB=BA△ABD≌△BAC(AAS)人教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)辨一辨例1：如圖，對(duì)于給出的五個(gè)等量4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度（大于零度而小于六十度），以上的結(jié)論海成立嗎？證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在12.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：△ADG為等腰直角三角形。12.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩拓展題9.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。ACEBD要證明兩條線段的和與一條線段相等時(shí)常用的兩種方法：1、可在長(zhǎng)線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等。（割）2、把一個(gè)三角形移到另一位置，使兩