第第頁2023—2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊2.6應(yīng)用一元二次方程測試卷B卷（含解析）北師大版數(shù)學(xué)九上第二章2.6應(yīng)用一元二次方程

選擇題（共30分）

1.如圖，在寬為、長為的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要，則修建的路寬應(yīng)為（）

A．B．C．D．

2.牧民要圍成面積為35的矩形羊圈，且長比寬多2米，則此羊圈的周長是（）

A．20米B．24米C．26米D．20或22米

3.某廣場有一塊正方形的空地正中間修建一個圓形噴泉，在四個角修建四個四分之一圓形的水池，其余部分種植花草，若噴泉和水池的半徑都相同，噴泉邊緣到空地邊界的距離為3m，種植花草的區(qū)域的面積為100m，設(shè)水池半徑為xm，可列出方程（）

A．（2x+3）2﹣πx2＝100B．（x+6）2﹣πx2＝100

C．（2x+3）2﹣2x2＝100D．（2x+6）2﹣2πx2＝100

4.李明去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發(fā)現(xiàn)共送禮物30件，若設(shè)有n人參加聚會，根據(jù)題意可列出方程為（）

A．B．n（n﹣1）＝30

C．30D．n（n＋1）＝30

5.《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的長為x步，則可列方程為（）

A．2x+2（x+12）＝864B．2x+2（x﹣12）＝864

C．x（x+12）＝864D．x（x﹣12）＝864

6.某商場在銷售一種日用品時發(fā)現(xiàn)，如果以單價20元銷售，則每周可售出100件，若銷售單價每提高0.5元，則每周銷售量會相應(yīng)減少2件．如果該商場這種日用品每周的銷售額達到2024元．若設(shè)這種日用品的銷售單價為x元，則根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A．（20+x）（100﹣2x）＝2024B．（20+x）（100﹣）＝2024

C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024D．x（100﹣×2）＝2024

7.如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當(dāng)?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（）

A．B．或C．D．

8．如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

9.某市2023年年底自然保護區(qū)覆蓋率為15%，經(jīng)過兩年努力，預(yù)計該市2023年年底自然保護區(qū)覆蓋率將會達到21.6%，則該市這兩年自然保護區(qū)面積的平均增長率為（）

A．25%B．20%C．6.6%D．3.3%

10．某公司今年10月的營業(yè)額為2500萬元，按計劃第四季度的總營業(yè)額要達到9100萬元，求該公司11、12兩個月營業(yè)額的月均增長率．若設(shè)該公司11、12兩個月營業(yè)額的月均增長率為，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

二．填空題（共24分）

11.如圖，李大斧要建一個矩形羊圈，羊圈的一邊利用長為的住房墻，另外三邊用長的彩鋼圍成，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留了一扇寬的門．若要使羊圈的面積為，則所圍矩形與墻垂直的一邊長為．

12.方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形周長是．

13.有1個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感，那么平均每輪傳染人.

14.如圖，在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建小道（圖中陰影部分），其中，每段小道的兩邊緣平行，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為，那么m.

15.某商店銷售一批頭盔，售價為每頂60元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂40元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為元．

16.兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個位數(shù)的平方恰好等于這個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是.

解答題（共46分）

（8分）小明同學(xué)是一位古詩文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌·赤整懷古》：“而立之年東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”課文是：周瑜在而立之年（30-40歲）掌管東吳，英年早逝時的年齡是個兩位數(shù)，十位數(shù)字剛好小個位數(shù)字三，個位數(shù)字的平方就是他逝世時的年齡．請問，哪位學(xué)生算得快，周瑜逝世時的年齡是多少歲？請根據(jù)以上信息列出方程，并求解．

18.（8分）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元250年前后）在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的方程的圖解法是：如圖，以和b為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長就是所求方程的解．

（1）請用含字母的代數(shù)式表示的長；

（2）請利用你已學(xué)的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處．

19.（10分）．我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：

（1）每千克茶葉應(yīng)降價多少元？

（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？

20.（10分）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設(shè).渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計運行時速比原鐵路設(shè)計運行時速提高了120千米/小時，全程設(shè)計運行時間只需8小時，比原鐵路設(shè)計運行時間少用16小時.

（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計運行里程是多少千米

（2）專家建議：從安全的角度考慮,實際運行時速要比設(shè)計時速減少m%，以便于有充分時間應(yīng)對突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實際運行時間將增加小時，求m的值.

21.（10分）博物館決定在一層的靠墻處，用55米長的可拆卸的屏風(fēng)墻圍成三個相連的矩形展廳．如圖所示，展廳的總面積為200平方米．為了方便游客進出，在展廳的四周（除圍墻）和各場地之間留出了1米的缺口作為出入口．若設(shè)米，且（考慮到場地因素）．21·cn·jy·com

（1）求該展廳的長度為多少米；

（2）該館現(xiàn)有兩名布置場館的師傅，已知王師傅平均每天布置展廳的面積是劉師傅的1.5倍，劉師傅獨自完成布置工作比王師傅獨自完成多2天，則劉師傅平均每天可完成布置展廳的面積為多少平方米．

北師大版數(shù)學(xué)九上第二章2.6應(yīng)用一元二次方程

選擇題（共30分）

1.如圖，在寬為、長為的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要，則修建的路寬應(yīng)為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)修建的路寬應(yīng)為x米

根據(jù)等量關(guān)系列方程得：(20-x)(30-x)=504，

解得：（不合題意，舍去），

故答案為：C．

2.牧民要圍成面積為35的矩形羊圈，且長比寬多2米，則此羊圈的周長是（）

A．20米B．24米C．26米D．20或22米

【答案】B

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)寬為x米，則長為（x+2）米，

根據(jù)題意可得：x（x+2）=35，

解得：x=5或x=－7（舍去），

∴x+2=5+2=7米，

則周長=（5+7）×2=24米．

故答案為：B

3.某廣場有一塊正方形的空地正中間修建一個圓形噴泉，在四個角修建四個四分之一圓形的水池，其余部分種植花草，若噴泉和水池的半徑都相同，噴泉邊緣到空地邊界的距離為3m，種植花草的區(qū)域的面積為100m，設(shè)水池半徑為xm，可列出方程（）

A．（2x+3）2﹣πx2＝100B．（x+6）2﹣πx2＝100

C．（2x+3）2﹣2x2＝100D．（2x+6）2﹣2πx2＝100

【答案】D

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)水池半徑為xm，正方形的邊長為(2x+6)m，

根據(jù)題意列出方程（2x+6）2﹣2πx2＝100．

故答案為：D．

4.李明去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發(fā)現(xiàn)共送禮物30件，若設(shè)有n人參加聚會，根據(jù)題意可列出方程為（）

A．B．n（n﹣1）＝30

C．30D．n（n＋1）＝30

【答案】B

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-傳染問題

【解析】【解答】每兩人都互相贈送禮物，他發(fā)現(xiàn)共送禮物30件，若設(shè)有n人參加聚會，每人送出件禮物，根據(jù)題意可列出方程為

故答案為：B

5.《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的長為x步，則可列方程為（）

A．2x+2（x+12）＝864B．2x+2（x﹣12）＝864

C．x（x+12）＝864D．x（x﹣12）＝864

【答案】D

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)矩形田地的長為x步，

∵它的寬比長少12步，

∴矩形的寬為（x-12）步，

∵一個矩形田地的面積等于864平方步，

∴．

故答案為：D．

6.某商場在銷售一種日用品時發(fā)現(xiàn)，如果以單價20元銷售，則每周可售出100件，若銷售單價每提高0.5元，則每周銷售量會相應(yīng)減少2件．如果該商場這種日用品每周的銷售額達到2024元．若設(shè)這種日用品的銷售單價為x元，則根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A．（20+x）（100﹣2x）＝2024B．（20+x）（100﹣）＝2024

C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024D．x（100﹣×2）＝2024

【答案】D

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：由題意可得，

，

故答案為：D．

7.如圖，在中，，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為，點Q的速度為，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當(dāng)?shù)拿娣e為時，則點P運動的時間是（）

A．B．或C．D．

【答案】A

【分析】

設(shè)出動點P，Q運動t秒，能使的面積為，用t分別表示出BP和BQ的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．

【詳解】

解：設(shè)動點P，Q運動t秒，能使的面積為，

則BP為(8-t)cm，BQ為2tcm，由三角形的面積公式列方程得

(8-t)×2t=15，

解得t1=3，t2=5（當(dāng)t2=5，BQ=10，不合題意，舍去）

∴動點P，Q運動3秒，能使的面積為．

故選A．

8．如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】

將每條道路平移到矩形的一邊處，表示出新矩形的長和寬，利用矩形的面積的計算方法得到方程即可．

【詳解】

解：根據(jù)題意得：；

故答案為：．

故選C．

9.某市2023年年底自然保護區(qū)覆蓋率為15%，經(jīng)過兩年努力，預(yù)計該市2023年年底自然保護區(qū)覆蓋率將會達到21.6%，則該市這兩年自然保護區(qū)面積的平均增長率為（）

A．25%B．20%C．6.6%D．3.3%

【答案】B

【分析】

根據(jù)一元二次方程增長率應(yīng)用公式計算即可；

【詳解】

設(shè)這兩年自然保護區(qū)面積的平均增長率為x，

依題意得，

解得：，（舍）；

故答案選B．

10．某公司今年10月的營業(yè)額為2500萬元，按計劃第四季度的總營業(yè)額要達到9100萬元，求該公司11、12兩個月營業(yè)額的月均增長率．若設(shè)該公司11、12兩個月營業(yè)額的月均增長率為，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】

設(shè)該公司11、12兩個月營業(yè)額的月均增長率為，根據(jù)增長率公式列式即可；

【詳解】

則可列方程為，

故選D．

二．填空題（共24分）

11.如圖，李大斧要建一個矩形羊圈，羊圈的一邊利用長為的住房墻，另外三邊用長的彩鋼圍成，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留了一扇寬的門．若要使羊圈的面積為，則所圍矩形與墻垂直的一邊長為．

【答案】8

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊長為米時，羊圈面積為80平方米，此時所圍矩形與墻平行的一邊長為米，

依題意得：，

整理得：，

解得：，．

當(dāng)時，，不符合題意，舍去；

當(dāng)時，，符合題意．

即：當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，羊圈面積為80平方米．

故答案為：8．

12.方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形周長是．

【答案】10

【知識點】一元二次方程的其他應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，

得x1＝2，x2＝4，

當(dāng)2為腰，4為底時，不能構(gòu)成等腰三角形；

當(dāng)4為腰，2為底時，能構(gòu)成等腰三角形，

∴等腰三角形周長=4+4+2＝10．

故答案為：10．

13.有1個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感，那么平均每輪傳染人.

【答案】5

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-傳染問題

【解析】【解答】解：設(shè)平均每輪傳染人，

，

解得(不符合題意，舍去)，

答：平均每輪傳染5人，

故答案為：5.

14.如圖，在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建小道（圖中陰影部分），其中，每段小道的兩邊緣平行，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為，那么m.

【答案】2

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)小道進出口的寬度為x米，依題意得（402x）（26x）=864，

整理，得x246x+88=0.

解得，x1=2，x2=44.

∵44＞40（不合題意，舍去），

∴x=2.

答：小道進出口的寬度應(yīng)為2米.

故答案為：2.

15.某商店銷售一批頭盔，售價為每頂60元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂40元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為元．

【答案】55

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：設(shè)每頂頭盔的售價為x元，獲得的利潤為w元，

w＝（x40）[200＋（60x）×20]＝20（x55）2＋4500，

∴當(dāng)x＝55時，w取得最大值，此時w＝4500．

故答案為：55．

16.兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個位數(shù)的平方恰好等于這個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是.

【答案】25或36

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)個位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x-3），這個兩位數(shù)是10（x-3）+x，

依題意得：

∴

∴

∴x-3=2或3.

答：這個兩位數(shù)是25或36.

故答案為：25或36.

解答題（共46分）

（8分）小明同學(xué)是一位古詩文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌·赤整懷古》：“而立之年東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”課文是：周瑜在而立之年（30-40歲）掌管東吳，英年早逝時的年齡是個兩位數(shù)，十位數(shù)字剛好小個位數(shù)字三，個位數(shù)字的平方就是他逝世時的年齡．請問，哪位學(xué)生算得快，周瑜逝世時的年齡是多少歲？請根據(jù)以上信息列出方程，并求解．

【詳解】解：設(shè)周瑜逝世時年齡的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)字為x+3，

根據(jù)題意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2，

化為一般形式得：x2﹣5x+6＝0，

∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝2，x2＝3，

當(dāng)x＝2時，（x+3）2＝25，

當(dāng)x＝3時，（x+3）2＝36，

又∵周瑜的年齡在30-40歲之間，

∴周瑜逝世時的年齡是36歲．

18.（8分）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元250年前后）在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的方程的圖解法是：如圖，以和b為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長就是所求方程的解．

（1）請用含字母的代數(shù)式表示的長；

（2）請利用你已學(xué)的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處．

【答案】（1），；（2）正確性：的長就是方程的正根．遺憾之處：圖解法不能表示方程的負(fù)根

【詳解】

解：（1），

．

．（4分）

（2）用求根公式求得．（7分）

正確性：的長就是方程的正根．

遺憾之處：圖解法不能表示方程的負(fù)根．

19.（10分）．我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：

（1）每千克茶葉應(yīng)降價多少元？

（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？

【詳解】

（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價x元．根據(jù)題意，得：

（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．

化簡，得：x2﹣10x+2400=0．

解得：x1=30，x2=80．

答：每千克茶葉應(yīng)降價30元或80元．

（2）由（1）可知每千克茶葉可降價30元或80元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應(yīng)