10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)與樣本空間，會寫試驗(yàn)的樣本空間.2.了解隨機(jī)事件的有關(guān)概念，掌握隨機(jī)事件的表示方法及含義.知識點(diǎn)一隨機(jī)試驗(yàn)我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.知識點(diǎn)二樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn)，如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.知識點(diǎn)三隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件1.一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個隨機(jī)事件都可以用這個試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.2.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.3.空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱為?為不可能事件.1.對于隨機(jī)試驗(yàn)，當(dāng)在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時，每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是不知道的.(×)2.連續(xù)拋擲2次硬幣，該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{正正，反反，正反}.(×)3.“已知一個盒中裝有4個白球和5個黑球，從中任意取1個球，該球是白球或黑球”，此事件是必然事件.(√)4.“某人射擊一次，中靶”是隨機(jī)事件.(√)一、樣本空間的求法例1寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和；(2)從含有兩件正品a1，a2和兩件次品b1，b2的四件產(chǎn)品中任取兩件，觀察取出產(chǎn)品的結(jié)果；(3)用紅、黃、藍(lán)三種顏色給圖中3個矩形隨機(jī)涂色，每個矩形只涂一種顏色，觀察涂色的情況.解(1)該試驗(yàn)的樣本空間Ω1＝{3,4,5，…，18}.(2)該試驗(yàn)，所有可能的結(jié)果如圖所示，因此，該試驗(yàn)的樣本空間為Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.(3)如圖，用1,2,3分別表示紅色、黃色與藍(lán)色三種顏色，則此試驗(yàn)的樣本空間為Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.延伸探究本例(2)中“任取兩件”改為連續(xù)取兩次，且每次取出后又放回，此時樣本空間又是什么？解如圖，所以樣本空間為Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}.反思感悟?qū)憳颖究臻g的關(guān)鍵是找樣本點(diǎn)，具體有三種方法(1)列舉法：適用樣本點(diǎn)個數(shù)不是很多，可以把樣本點(diǎn)一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏.(2)列表法：適用于試驗(yàn)中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗(yàn)結(jié)果相對較多的樣本點(diǎn)個數(shù)的求解問題，通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對”，也可用坐標(biāo)法，列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏.(3)樹狀圖法：適用較復(fù)雜問題中的樣本點(diǎn)的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進(jìn)行列舉.跟蹤訓(xùn)練1寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天節(jié)日中值班，每人值班1天，記錄值班的情況；(2)從一批產(chǎn)品中，依次任選三件，記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.解(1)如圖，設(shè)甲、乙、丙、丁分別為1,2,3,4，所以樣本空間Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.(2)設(shè)正品為H，次品為T，樣本空間Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.二、隨機(jī)事件的表示例2試驗(yàn)E：甲、乙兩人玩出拳游戲(錘子、剪刀、布)，觀察甲、乙出拳的情況.設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“甲乙平局”；事件B表示隨機(jī)事件“甲贏得游戲”；事件C表示隨機(jī)事件“乙不輸”.試用集合表示事件A，B，C.解設(shè)錘子為w1，剪刀為w2，布為w3，用(i，j)表示游戲的結(jié)果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，則樣本空間E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.因?yàn)槭录嗀表示隨機(jī)事件“甲乙平局”，則滿足要求的樣本點(diǎn)共有3個：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.事件B表示“甲贏得游戲”，則滿足要求的樣本點(diǎn)共有3個：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.因?yàn)槭录﨏表示“乙不輸”，則滿足要求的樣本點(diǎn)共有6個，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.反思感悟?qū)τ陔S機(jī)事件的表示，應(yīng)先列出所有的樣本點(diǎn)，然后，確定隨機(jī)事件中含有哪些樣本點(diǎn)，這些樣本點(diǎn)作為元素表示的集合即為所求.跟蹤訓(xùn)練2如圖，從正方形ABCD的四個頂點(diǎn)及其中心O這5個點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)觀察取點(diǎn)的情況，設(shè)事件M為“這兩點(diǎn)的距離不大于該正方形的邊長”，試用樣本點(diǎn)表示事件M.解M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.三、隨機(jī)事件的含義例3在試驗(yàn)E：“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，指出下列隨機(jī)事件的含義：(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.解(1)事件A中所含的樣本點(diǎn)中的第二個數(shù)為3，根據(jù)樣本空間知第二個數(shù)為3的樣本點(diǎn)都在事件A中，故事件A的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為3.(2)事件B中所含的樣本點(diǎn)中兩個數(shù)的和均為6，且樣本空間中兩數(shù)和為6的樣本點(diǎn)都在事件B中，故事件B的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6.(3)事件C的所含樣本點(diǎn)中兩個數(shù)的差的絕對值為2，且樣本空間中兩個數(shù)差的絕對值為2的樣本點(diǎn)都在C中，故事件C的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為2.反思感悟解答此類題目，應(yīng)先理解事件中樣本點(diǎn)的意義，再觀察事件中樣本點(diǎn)的規(guī)律，才能確定隨機(jī)事件的含義.跟蹤訓(xùn)練3柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳.指出下列隨機(jī)事件的含義.(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.解(1)事件M的含義是“從3雙不同的鞋中隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋不成雙”.(2)事件N的含義是“從3雙不同鞋中，隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”.(3)事件P的含義是“從3雙不同鞋中，隨機(jī)抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”.1.下列事件是必然事件的是()A.從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽B.函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)為增函數(shù)C.平行于同一條直線的兩條直線平行D.隨機(jī)選取一個實(shí)數(shù)x，得2x<0答案C解析A.是隨機(jī)事件，5張標(biāo)簽都可能被取到；B.是隨機(jī)事件，當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝logax為減函數(shù)；C.是必然事件，實(shí)質(zhì)是平行公理；D.是不可能事件，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象可得，對任意實(shí)數(shù)x,2x>0.2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，從A，B中各任意取一個數(shù)，構(gòu)成一個兩位數(shù)，則所有基本事件的個數(shù)為()A.8B.9C.12D.11答案D解析從A，B中各任意取一個數(shù)，可構(gòu)成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11個.3.元旦期間，小東和爸爸、媽媽外出旅游，一家三口隨機(jī)站成一排，則小東恰好站在中間的站法種數(shù)為()A.2B.3C.4D.5答案A4.拋擲3枚硬幣，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，則M＝_________________________________________________________________.答案{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}解析試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)，(反反反)}，則M＝{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}.5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，則事件M的含義是________________________________________________________________________.答案拋骰子兩次，向上點(diǎn)數(shù)之和為81.知識清單：(1)隨機(jī)試驗(yàn).(2)樣本空間.(3)隨機(jī)事件.2.方法歸納：列表法、樹狀圖法.3.常見誤區(qū)：在列舉樣本點(diǎn)時要按照一定的順序，要做到不重、不漏.1.下列事件中不可能事件的個數(shù)為()①拋一石塊下落；②如果a>b，那么a－b>0；③沒有水分，種子能發(fā)芽；④某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化.A.1B.2C.3D.4答案B解析①②是必然事件，④是隨機(jī)事件，③⑤是不可能事件.2.試驗(yàn)E：“任取一個兩位數(shù)，觀察個位數(shù)字與十位數(shù)字的和的情況”，則該試驗(yàn)的樣本空間為()A.{10,11，…，99} B.{1,2，…，18}C.{0,1，…，18} D.{1,2，…，10}答案B解析由題意可知，該試驗(yàn)的樣本空間為{1,2，…，18}.3.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，觀察選出的2人，設(shè)事件M為“甲被選中”，則事件M含有的樣本點(diǎn)個數(shù)為()A.2B.4C.6D.8答案B解析設(shè)5名學(xué)生分別為甲、乙、丙、丁、戊，則M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4個樣本點(diǎn).4.從5人中選出2人擔(dān)任正、副班長，則樣本點(diǎn)個數(shù)為()A.10B.15C.20D.25答案C解析把5人分別記為A，B，C，D，E，用x表示正班長，y表示副班長，則樣本點(diǎn)用(x，y)表示，∴Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，故共有20個樣本點(diǎn).5.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，觀察抽得的2張數(shù)字，設(shè)抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)為事件Q，則事件Q含有的樣本點(diǎn)個數(shù)為()A.8B.10C.11D.15答案B解析如下表所示，表中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù).123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)則Q＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}.所以Q中含有10個樣本點(diǎn).6.已知A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，從A，B中各取一個元素分別作點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω為__________________________________________.答案{(－1,1)，(－1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)}7.從100個同類產(chǎn)品中(其中2個次品)任取3個.①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少有一個次品；⑥至少有一個正品.其中必然事件是________，不可能事件是________，隨機(jī)事件是________.答案⑥④①②③⑤解析從100個產(chǎn)品(其中2個次品)中取3個可能結(jié)果是“三個全是正品”“兩個正品一個次品”“一個正品兩個次品”.8.從2,3,8,9中任取兩個不同數(shù)字，分別記為a，b，用(a，b)表示該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則事件“l(fā)ogab為整數(shù)”可表示為________________.答案{(2,8)，(3,9)}解析只有l(wèi)og28＝3，log39＝2為整數(shù).9.某商場舉行購物抽獎的促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號分別為0,1,2,3四個小球(除編號不同外，其他完全相同)的抽獎箱中，每次取出一個球記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球的編號的和等于6，則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)設(shè)隨機(jī)事件A為“抽中三等獎”，隨機(jī)事件B為“抽中獎”，試用集合表示事件A和B.解(1)Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}.(2)A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}，B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(2,3)，(3,2)，(3,3)}.10.某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)設(shè)事件M為“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)，試用集合表示M.解(1)Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}.(2)M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}.11.(多選)給出關(guān)于滿足AB的非空集合A，B的四個命題，其中正確的命題是()A.若任取x∈A，則x∈B是必然事件B.若任取x?A，則x∈B是不可能事件C.若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件D.若任取x?B，則x?A是必然事件答案ACD12.將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a，b，設(shè)事件M為“方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解”，則事件M中含有樣本點(diǎn)的個數(shù)為()A.6B.17C.19D.21答案C解析將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，∵方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝b2－4a≥0，則M＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)}，共含19個樣本點(diǎn).13.一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個一個摸出來，為了保證在第k次或第k次之前一定能摸出紅球，則k的最小值為()A.10B.15C.16D.17答案C解析摸完黑球和白球共需15次，則第16次一定能摸出紅球.14.寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場足球賽，觀察甲隊(duì)比賽結(jié)果(包括平局)________________；(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)________________.答案(1)Ω＝{勝，平，負(fù)}(2)Ω＝{0,1,2,3,4}解析(1)對于甲隊(duì)來說，有勝、平、負(fù)三種結(jié)果.(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，其次品的個數(shù)可能為0,1,2,3,4，不能再有其他結(jié)果.15.將一個各個面上涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任取1個，觀察取到的小正方體的情況，則事件B為“從小正方體中任取1個，恰有兩面涂有顏色”，那么事件B含有________個樣本點(diǎn).答案12解析每條棱的中間位置上有一個是兩個面涂有顏色的小正方體，共12個.16.漢字是世界上最古老的文字之一，字形結(jié)構(gòu)體現(xiàn)著人類追求均衡對稱、和諧穩(wěn)定的天性.如圖所示，三個漢字可以看成軸對稱圖形.小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個漢字設(shè)計了一個游戲，規(guī)則如下：將這三個漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上，背面朝上，洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若兩次抽出的漢字能構(gòu)成上下結(jié)構(gòu)的漢字(如“土”“土”構(gòu)成“圭”)，則小敏獲勝，否則小慧獲勝.(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)設(shè)小敏獲勝為事件A，試用樣本點(diǎn)表示A.解(1)每次游戲時，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表所示：第二張卡片第一張卡片土口木土(土，土)(土，口)(土，木)口(口，土)(口，口)(口，木)木(木，土)(木，口)(木，木)∴Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)}.(2)能組成上下結(jié)構(gòu)的漢字的樣本為(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木).∴A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}.10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解事件的關(guān)系與運(yùn)算.2.通過事件之間的運(yùn)算，理解互斥事件和對立事件的概念.知識點(diǎn)一事件的關(guān)系定義符號圖示包含關(guān)系一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B知識點(diǎn)二交事件與并事件定義符號圖示并事件(或和事件)一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)知識點(diǎn)三互斥事件和對立事件定義符號圖示互斥事件一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?對立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝?1.若A，B表示隨機(jī)事件，則A∩B與A∪B也表示事件.(√)2.若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件.(×)3.若兩個事件是對立事件，則這兩個事件也是互斥事件.(√)4.若事件A與B是互斥事件，則在一次試驗(yàn)中事件A和B至少有一個發(fā)生.(×)一、互斥事件和對立事件的判斷例1某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”.判斷下列事件是否為互斥事件，如果是，判斷它們是否為對立事件.(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.解(1)由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件.(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”，“只訂乙報”，“訂甲、乙兩種報”.事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.即事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件.(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件.反思感悟判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗(yàn)中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件；判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗(yàn)中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件.跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么下列各對事件中，互斥而不對立的是()A.至少有一個紅球與都是紅球B.至少有一個紅球與都是白球C.至少有一個紅球與至少有一個白球D.恰有一個紅球與恰有兩個紅球答案D解析根據(jù)互斥事件與對立事件的定義判斷.A中兩事件不是互斥事件，事件“三個球都是紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對立事件；C中兩事件能同時發(fā)生，如“恰有一個紅球和兩個白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對立事件.(2)有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個方向前進(jìn)，每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是()A.互斥但非對立事件 B.對立事件C.非互斥事件 D.以上都不對答案A解析由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件.二、事件的運(yùn)算例2在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件.例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.解(1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.(2)因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟事件間運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖.借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2拋擲相同硬幣3次，設(shè)事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，兩次反面向上}，事件C＝{兩次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；(2)試求事件A與事件D的交事件，事件B與事件C的并事件，并判斷二者的關(guān)系.解(1)B?A，C?A，E?A，且A＝B＋C＋E.(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.三、隨機(jī)事件的表示及含義例3設(shè)A，B，C表示三個隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.(1)三個事件都發(fā)生；(2)三個事件至少有一個發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.解(1)ABC(2)A∪B∪C(3)Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)(4)ABeq\x\to(C)(5)(A∪B)eq\x\to(C)(6)ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C∪eq\x\to(A)BC延伸探究本例條件不變，試用A，B，C表示以下事件.(1)三個事件都不發(fā)生；(2)三個事件至少有兩個發(fā)生.解(1)eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C)(2)ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C∪eq\x\to(A)BC(或AB∪BC∪AC)反思感悟清楚隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對應(yīng)關(guān)系有助于解決此類問題.符號事件的運(yùn)算集合的運(yùn)算A隨機(jī)事件子集eq\x\to(A)A的對立事件A的補(bǔ)集AB事件A與B的交事件集合A與B的交集A∪B事件A與B的并事件集合A與B的并集跟蹤訓(xùn)練35個相同的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取兩個小球.記事件A為“第一次抽取的小球上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“抽取的兩個小球上的數(shù)字至少有一個是偶數(shù)”，事件C為“兩個小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，試用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq\x\to(A)∩eq\x\to(C)，eq\x\to(B)∩C.解總的樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，eq\x\to(A)∩eq\x\to(C)＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，eq\x\to(B)∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.1.某人射擊一次，設(shè)事件A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事件B為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事件C為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事件D為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是()A.A與B為對立事件B.B與C為互斥事件C.C與D為對立事件D.B與D為互斥事件答案D2.抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品答案B解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.3.設(shè)M，N，P是三個事件，則M，N至少有一個不發(fā)生且P發(fā)生可表示為()A.(eq\x\to(M)∪eq\x\to(N))P B.(eq\x\to(M)eq\x\to(N))PC.(eq\x\to(M)∪eq\x\to(N))∪P D.(eq\x\to(M)N)∪(Meq\x\to(N))答案A4.甲、乙兩人破譯同一個密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含義是________，事件“密碼被破譯”可表示為________.答案只有一人破譯密碼eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)∪AB5.從0,1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)字組成一個不重復(fù)的兩位數(shù).事件A表示組成的兩位數(shù)是偶數(shù)，事件B表示組成的兩位數(shù)中十位數(shù)字大于個位數(shù)字，則事件A∩B用樣本點(diǎn)表示為_______.答案{10,20,30,40,50,32,42,52,54}1.知識清單：(1)事件的包含關(guān)系與相等關(guān)系.(2)交事件和并事件.(3)互斥事件和對立事件.2.方法歸納：列舉法、Venn圖法.3.常見誤區(qū)：互斥事件和對立事件之間的關(guān)系易混淆.1.下列各組事件中，不是互斥事件的是()A.一個射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計一個班級期中考試數(shù)學(xué)成績，平均分?jǐn)?shù)不低于90分與平均分?jǐn)?shù)不高于90分C.播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%答案B2.許洋說：“本周我至少做完三套練習(xí)題.”設(shè)許洋所說的事件為A，則A的對立事件為()A.至多做完三套練習(xí)題 B.至多做完二套練習(xí)題C.至多做完四套練習(xí)題 D.至少做完二套練習(xí)題答案B解析至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6，…套練習(xí)題，故它的對立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題.3.把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A.對立事件 B.相等C.互斥但不對立事件 D.以上說法都不對答案C解析因?yàn)橹挥?張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；但這兩個事件并不是必有一個發(fā)生，所以它們不是對立事件.4.向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點(diǎn)數(shù)之和小于10，事件B表示兩次點(diǎn)數(shù)之和能被5整除，則事件eq\x\to(A)B用樣本點(diǎn)表示為()A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}答案D5.設(shè)A，B為兩事件，則(A∪B)(eq\x\to(A)∪eq\x\to(B))表示()A.必然事件 B.不可能事件C.A與B恰有一個發(fā)生 D.A與B不同時發(fā)生答案C解析A∪B表示事件A，B至少有1個發(fā)生，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)表示事件A，B至少有一個不發(fā)生，∴(A∪B)(eq\x\to(A)∪eq\x\to(B))表示A與B恰有一個發(fā)生.6.設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.則：(1)A∪B＝________________；(2)eq\x\to(A)∩B＝________；(3)A∩(B∩C)＝________.答案(1){2,3,4,5}(2){5}(3)?7.在某大學(xué)的學(xué)生中任選一名學(xué)生，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是大三學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動員，則事件ABeq\x\to(C)的含義是________________.答案該生是大三男生，但不是運(yùn)動員8.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，記取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件A，B，C，D，E，則事件取出的是理科書可記為________.答案B∪D∪E解析由題意可知事件“取到理科書”可記為B∪D∪E.9.從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書.設(shè)A＝{數(shù)學(xué)書}；B＝{中文版的書}；C＝{2000年后出版的書}.問：(1)A∩B∩eq\x\to(C)表示什么事件？(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A?(3)如果eq\x\to(A)＝B，那么是否意味著圖書室中的所有的數(shù)學(xué)書都不是中文版的？解(1)A∩B∩eq\x\to(C)＝{2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書}.(2)在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.(3)是.eq\x\to(A)＝B意味著圖書室中的非數(shù)學(xué)書都是中文版的，而且所有的中文版的書都不是數(shù)學(xué)書.同時eq\x\to(A)＝B又可等價成eq\x\to(B)＝A，因而也可以解釋為：圖書室中所有數(shù)學(xué)書都不是中文版的，而且所有外文版的書都是數(shù)學(xué)書.10.盒子里有3個紅球，2個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.求：(1)事件D與事件A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與事件A的交事件是什么事件？(3)把紅球記為1,2,3，白球記為a，b，試用集合的形式表示A∪C，C∩D.解(1)對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球或3個紅球，故C∩A＝A.(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)}.11.對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是()A.A?D B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D答案D12.(多選)一箱產(chǎn)品有正品4件、次品3件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”答案AD解析對于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，與“2件都是次品”顯然是互斥事件；對于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時發(fā)生，因此這兩個事件不是互斥事件；對于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，與“至少有1件次品”不是互斥事件；對于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是正品”顯然是互斥事件，故AD是互斥事件.13.盒子內(nèi)分別有3個紅球，2個白球，1個黑球，從中任取2個球，則下列選項(xiàng)中的兩個事件互斥而不對立的是()A.至少有1個白球，至多有1個白球B.至少有1個白球，至少有1個紅球C.至少有1個白球，沒有白球D.至少有1個白球，紅球、黑球各1個答案D解析當(dāng)取出的2個球是1白1紅時，A中兩個事件同時發(fā)生，所以A中的兩個事件不是互斥事件，此時B也一樣，所以排除A，B；C中，兩個事件不可能同時發(fā)生，但是必有一個發(fā)生，所以C中的兩個事件是對立事件，所以排除C；D中，兩個事件不可能同時發(fā)生，但是當(dāng)取出的2個球都是紅球時，這兩個事件都沒有發(fā)生，所以D中的兩個事件是互斥事件但不是對立事件.14.電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝____________.(用B，C，D間的運(yùn)算關(guān)系式表示)答案(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)15.如果A，B是互斥事件，那么()A.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件B.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定是互斥事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定不是互斥事件D.A∪B是必然事件答案A解析由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B為不可能事件，所以eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件，故A正確；C選項(xiàng)中，當(dāng)B＝eq\x\to(A)時，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)互斥，故C錯誤；D和B可舉反例，如投擲骰子試驗(yàn)中，A表示向上數(shù)字1，B表示向上數(shù)字為2，A∪B不是必然事件，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)不是互斥事件，故B，D錯誤.16.投擲一枚均勻的硬幣，連續(xù)投擲3次.Ai表示第i次正面朝上，試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?(1)A1∪A2；(2)A1∪A2∪A3；(3)eq\x\to(A)2A3；(4)eq\x\to(A1∪A2)；(5)eq\x\to(A)1∩eq\x\to(A)2；(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.解(1)A1∪A2表示第1次和第2次投擲硬幣至少有1次正面朝上.(2)A1∪A2∪A3表示3次投擲硬幣中至少有1次正面朝上.(3)eq\x\to(A)2A3表示第2次投擲硬幣反面朝上且第3次正面朝上.(4)eq\x\to(A1∪A2)表示第1次和第2次投擲硬幣均反面朝上.(5)eq\x\to(A)1∩eq\x\to(A)2表示第1次和第2次投擲硬幣均反面朝上.(6)3次投擲硬幣中至少有2次正面朝上.10.1.3古典概型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解古典概型的概念及特點(diǎn).2.掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率計算問題.知識點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.知識點(diǎn)二古典概型一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.知識點(diǎn)三古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).1.古典概型中每個事件發(fā)生的可能性相同.(×)2.古典概型有兩個重要條件：①樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)是有限的，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；②各個樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.(√)3.用古典概型的概率公式可求“在線段[0,5]上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)小于2”的概率.(×)4.從甲地到乙地共n條線路，且這n條線路長短各不相同，求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率是古典概型問題.(√)一、古典概型的判斷例1下列概率模型是古典概型嗎？為什么？(1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個實(shí)數(shù)，求取到實(shí)數(shù)2的概率；(2)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；(3)從1,2,3，…，100這100個整數(shù)中任意取出一個整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率.解(1)不是古典概型，因?yàn)閰^(qū)間[1,10]中有無限多個實(shí)數(shù)，取出的實(shí)數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個”矛盾.(2)不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆驅(qū)е隆罢娉稀迸c“反面朝上”的概率不相等，與古典概型定義中“每一個試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾.(3)是古典概型，因?yàn)樵谠囼?yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個整數(shù)被抽到的可能性相等.反思感悟古典概型需滿足兩個條件(1)樣本點(diǎn)總數(shù)有限.(2)各個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.跟蹤訓(xùn)練1下列問題中是古典概型的是()A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求擲出1點(diǎn)的概率C.在區(qū)間[1,4]上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于1.5的概率D.同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率答案D解析A，B兩項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的出現(xiàn)不是等可能的；C項(xiàng)中樣本點(diǎn)的個數(shù)是無限多個；D項(xiàng)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的，且是有限個.故選D.二、古典概型概率的計算例2一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球.求：(1)樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n；(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)；(3)摸出2個黑球的概率.解由于4個球的大小相等，摸出每個球的可能性是均等的，所以是古典概型.(1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內(nèi)摸出2個球，樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6個樣本點(diǎn).(2)事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3個樣本點(diǎn).(3)樣本點(diǎn)總數(shù)n＝6，事件“摸出兩個黑球”包含的樣本點(diǎn)個數(shù)m＝3，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，即摸出2個黑球的概率為eq\f(1,2).反思感悟求古典概型概率的步驟(1)確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n.(2)確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)m.(3)P(A)＝eq\f(m,n).跟蹤訓(xùn)練2為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是________.答案eq\f(2,3)解析從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).三、較復(fù)雜的古典概型的概率計算例3先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子.(1)求點(diǎn)數(shù)之和為7的概率；(2)求擲出兩個4點(diǎn)的概率；(3)求點(diǎn)數(shù)之和能被3整除的概率.解如圖所示，從圖中容易看出樣本點(diǎn)與所描點(diǎn)一一對應(yīng)，共36種.(1)記“點(diǎn)數(shù)之和為7”為事件A，從圖中可以看出，事件A包含的樣本點(diǎn)共有6個：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)記“擲出兩個4點(diǎn)”為事件B，從圖中可以看出，事件B包含的樣本點(diǎn)只有1個，即(4,4).故P(B)＝eq\f(1,36).(3)記“點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C，則事件C包含的樣本點(diǎn)共12個：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).故P(C)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).反思感悟在求概率時，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，更方便.跟蹤訓(xùn)練3某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15個.所選2個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3個，則所求事件的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結(jié)果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9個.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2個，則所求事件的概率為P＝eq\f(2,9).1.下列不是古典概型的是()A.從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B.同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率答案C解析A，B，D為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個特征：有限性和等可能性，而C不滿足等可能性，故不為古典概型.2.甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析樣本點(diǎn)有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六個.甲站在中間的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2個，所以甲站在中間的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A.0.4 B.0.6C.0.8 D.1答案B解析記3件合格品分別為A1，A2，A3,2件次品分別為B1，B2，從5件產(chǎn)品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種可能，其中恰有一件次品有6種可能，由古典概型得所求事件概率為eq\f(6,10)＝0.6.4.用1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)能被2整除的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析用1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共6個，分別為123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312這2個數(shù)，故能被2整除的概率為eq\f(1,3).5.從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，則其和為5的概率是________.答案0.2解析兩數(shù)之和等于5有兩種情況(1,4)和(2,3)，總的樣本點(diǎn)有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，所以P＝eq\f(2,10)＝0.2.1.知識清單：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.2.方法歸納：常用列舉法(列表法、樹狀圖)求樣本點(diǎn)的總數(shù).3.常見誤區(qū)：列舉樣本點(diǎn)的個數(shù)時，要按照一定順序，做到不重、不漏.1.下列是古典概型的是()A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項(xiàng)目，求甲被選中的概率D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點(diǎn)答案C解析A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的個數(shù)是無限的，故B不是；C項(xiàng)中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個也不具有等可能性，故D不是.2.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案C解析試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6個樣本點(diǎn)，且每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，數(shù)字之和為奇數(shù)的有4個樣本點(diǎn)，所以所求概率為eq\f(2,3).3.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)答案B解析樣本點(diǎn)的總數(shù)為6，構(gòu)成“取出的2個數(shù)之差的絕對值為2”這個事件的樣本點(diǎn)的個數(shù)為2，所以所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故選B.4.小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,30)答案C解析∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴基本事件總數(shù)為15.∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).5.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案D解析設(shè)“所取的數(shù)中b>a”為事件A，如果把選出的數(shù)a，b寫成數(shù)對(a，b)的形式，則樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15個，事件A包含的樣本點(diǎn)有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).6.從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率為________.答案eq\f(1,5)解析用A，B，C分別表示三名男同學(xué)，用a，b，c分別表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15種.其中2名都是女同學(xué)包括ab，ac，bc，共3種.故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).7.在1,2,3,4四個數(shù)中，可重復(fù)地選取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍的概率是________.答案eq\f(1,4)解析用列舉法知，可重復(fù)地選取兩個數(shù)共有16種可能，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4種，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).8.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中標(biāo)號為0的小球1個，標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球n個.已知從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，取到標(biāo)號是2的小球的概率是eq\f(1,2)，則n的值為________.答案2解析由題意可知eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.9.某學(xué)校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進(jìn)行調(diào)查.(1)求應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中隨機(jī)抽取2名教師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2名教師均為初級教師的概率.解(1)共抽取6人，又21∶14∶7＝3∶2∶1，所以應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中抽取的人數(shù)分別為3，2,1.(2)在分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中，3名初級教師分別記為A1，A2，A3,2名中級教師分別記為A4，A5，高級教師記為A6，則從中抽取2名教師的樣本空間為Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即樣本點(diǎn)的總數(shù)為15.抽取的2名教師均為初級教師(記為事件B)包含的樣本點(diǎn)為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3個.所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).10.某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身高低于1.80米的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78米以下的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率.解(1)由題意知，從該小組身高低于1.80米的同學(xué)中任選2人這一試驗(yàn)E1的樣本空間Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6個樣本點(diǎn)，且每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，故屬于古典概型.設(shè)事件M表示“選到的2人身高都在1.78米以下”，則M＝{AB，AC，BC}，共含有3個樣本點(diǎn)，所以P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)從該小組同學(xué)中任選2人，這一試驗(yàn)E2的樣本空間Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10個樣本點(diǎn)，且每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.設(shè)事件N表示“選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中”，則N＝{CD，CE，DE}，共含有3個樣本點(diǎn)，所以P(N)＝eq\f(3,10).11.如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(1,20)答案A解析從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)的樣本空間Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10個，其中勾股數(shù)有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).12.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析所有樣本點(diǎn)的個數(shù)為36.由log2xy＝1得2x＝y(tǒng)，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))滿足log2xy＝1，故事件“l(fā)og2xy＝1”包含3個樣本點(diǎn)，所以所求的概率為P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).13.一次擲兩枚均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0無實(shí)數(shù)根的概率是________.答案eq\f(1,12)解析總的樣本點(diǎn)個數(shù)為36.因?yàn)榉匠虩o實(shí)根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.即m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個樣本點(diǎn).所以所求概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).14.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都被選中的概率為________.答案eq\f(3,10)解析從五個人中選取三人，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10個樣本點(diǎn)，甲、乙都被選中的結(jié)果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).15.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱“甲、乙心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,18)D.eq\f(4,9)答案D解析首先要弄清楚“心有靈犀”的實(shí)質(zhì)是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，則滿足要求的事件可能的結(jié)果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16種，而依題意得，樣本點(diǎn)總數(shù)為36.因此他們“心有靈犀”的概率P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).16.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.解(1)用數(shù)對(x，y)表示小亮參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2，2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}即樣本點(diǎn)的總數(shù)為16，記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3<xy<8”為事件C.則事件B包含的樣本點(diǎn)共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的樣本點(diǎn)共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以P(C)＝eq\f(5,16).因?yàn)閑q\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.10.2事件的相互獨(dú)立性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.能利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題.知識點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概念對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立.知識點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立.1.不可能事件與任何一個事件相互獨(dú)立.(√)2.必然事件與任何一個事件相互獨(dú)立.(√)3.“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互獨(dú)立”的充要條件.(√)4.如果兩個事件相互獨(dú)立，則它們的對立事件也是相互獨(dú)立的.(√)一、事件獨(dú)立性的判斷例1判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件.(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”.(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”.解(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件.(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7)，可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件.反思感悟兩個事件是否相互獨(dú)立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，則事件A，B為相互獨(dú)立事件.跟蹤訓(xùn)練1分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨(dú)立性的是________.(填序號)①A，B；②A，C；③B，C.答案①②③解析根據(jù)事件相互獨(dú)立性的定義判斷，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式計算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以驗(yàn)證P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義，事件A與B相互獨(dú)立，事件B與C相互獨(dú)立，事件A與C相互獨(dú)立.二、相互獨(dú)立事件概率的計算例2根據(jù)資料統(tǒng)計，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險的概率為0.6，購買甲、乙保險相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立.(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率；(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率.解記A表示事件“購買甲種保險”，B表示事件“購買乙種保險”，則由題意得A與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(B)與eq\x\to(A)都是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)記C表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”，則C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)記D表示事件“購買乙種保險但不購買甲種保險”，則D＝eq\x\to(A)B，所以P(D)＝P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.延伸探究本例中車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種的概率是多少？解記E表示事件“至少購買甲、乙兩種保險中的一種”，方法一則事件E包括eq\x\to(A)B，Aeq\x\to(B)，AB，且它們彼此為互斥事件.所以P(E)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B)＋AB)＝P(eq\x\to(A)B)＋P(Aeq\x\to(B))＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.方法二事件“至少購買甲、乙兩種保險中的一種”與事件“甲、乙兩種保險都不購買”為對立事件.所以P(E)＝1－P(eq\x\to