上篇一一H）雄曲線的極點極線相關理論論證撰寫人：孫成育繁：在高中的很多教輔書上，我們會看到這樣的結論：2 2（1）若點尸（工0，兒）在榜園W+二=1上，則這點尸且與橢圓相切的直線方程cT1廣為弋+3匕=]（可以使用隱函數(shù)求導或者判別式證明）Q-g2 ，（2）如圖，若點尸（線,腎）在橢圜二千與二1外，則過點尸可以作兩條直線與橢圓和切，我們把兩個切點力，6連接,形成的線段/B稱為切點弦，則切點弦所在直線的方程為依然為誓+誓=1.cTb證明：設4匹,凹），8（七,為），由結論（1）知，直線/尸與直線BP的方程分別為?+斗=1,芋+當=1.由于?（乙,州）既在直線力尸又在直線6P上，所以ertrcrlr有小+空=|,畢+畢=].所以點。在直線考+警=1上.cTb-q-b_ 6rb"上述結論均涉及到了W+*:=1這條直線，并且它們都有明確的幾何意a-tr義，即它們是切線或者是切點弦所在的直線。那么，如果把點放在P（?%,打）橢圓內部，我們依舊可以寫出一條直餞,方程義?.高中勇宇群蒯除去到444媯里+咨=1,那么這條直線方程具備什么樣的幾何意義呢？ab-事實上，我們將點P（a/.）與直線H+綽=1分別稱為橢圓三+二=1的Q-b- kb-一對極點與板戰(zhàn)其中點/不為原點.極點，極線概念的提出，便將我們可以挖掘附圓的許多性質.設在平面直角坐標系X。），中，對于橢圓工+E=1,設點P（X0,打），且點尸與點一人■。不至合，則點P的極線為誓+邛=1.ab，我們給出以下性質:①每給出一個極點，就可以唯一確定一條極線.②每給出一條板度，就可以唯一確定一個極點.③若極點戶在桶題上，則極線為橢同在點尸處的切線（已證）.@>若極點p在柄S）外，則極線為怖回關于。的切點弦所在直線（已證）.⑤極點在橢圓內對，極線,與楙圓相離;極點在橫圓外時，機線與橢圓相交.=1聯(lián)立有4=〃％：(%+3-1)

a"b-證明：將橫回二十二二1與直線與+?a?h=1聯(lián)立有4=〃％：(%+3-1)

a"b-那么：尸（工0，打）在橢圓外O2+鼻>1U>A>0q立線與橢圓相交a-b-其余同理.⑥當極點尸是焦點（C,。）時，極線方程為x=：,此時極線恰好為準線.⑦當極點位于橢圓的對稱軸上時，極線垂近于極點所在的對稱抽.即：板點為（加,0）時，對應的板線為x=Jm由此可以得到當極點在橢圓的對稱軸上時，快速確定板線位苣的方法.-；??高中教字解題別究會33期陽行、???⑧設極點為P,對應極度的斜率為3則生a⑨板點尸位于橢圓內部時，以廣為中點的弦與板線平行.使用點差法即可證明.⑩設P點的機線為。，兩。點的機線為(對倍性)結論：//過點Q 過點產(chǎn)用文字語言敘述：若點一在點0的極線上，則點0必在點尸的極愛上.證明：設戶(.*,4)，Q(x0,yQ)則點戶對應的極線為+'心=1點。對應的城線為-7"+二號=?abz uzb2證明如下：/過點。0上3+￡1=10/過點戶* 工 人」 丫下面黑索兒小，美的推論：推論1.射線OP與棚EJ交于點A,與點P對應的級線交于點0,則|“|.|00卜I。町特劑地，當尸位十》抽上時，|。斗|O0|=T可?高中山學;跖迓科克會勿七44%?證明：設P（x0，N。），則點P的極線為#+耳=1,當P不在x軸上時，直戰(zhàn)OPab的方程為『二&戈.工0聯(lián)立/+￥=］與"』得a。：『：工』匕1）公b。 /F+。-坊&與+。丁0聯(lián)立尸與￡+探=|例網(wǎng)2=金＞+4『%ab- b.x0+aj0b/+aj0所以\OP\\OQ\=OP-OQ=\ORf當點。住于坐標柚上附，顯然也成立.接下來說推論2,為了得到推論2,先看下面的背景：如圖，過點P（%,j，o）作橢圓的兩條割娛，分別交橢園彳+三=1干人&C,。四q-b’點，設方=2方，PD=/iPC9彳區(qū),以），陽與，外），。（％?。?C（q,/）.這里這樣設。與C是為了方便后續(xù)計算..Vj-za2=（1-2）a0（3）凹-生=（1-初。②因為46在桶測1+1=1（即力、2+/ 。濘）上所以有a2b2＜＜高中獨字溪迎鎰究會力9444汨3b2x：+a2yx=4次③h"： =a'?④由③—④X?得-/工?)+/0<-z>T)=4/(i-尸)b2(.r,-Zv2RA；+Zr2)+a2(v]-Xy2)(v,+zv2)=t7:62(l-/i)(l+2)將①②代入上式得：〃工。-/)3十九、)+02yo(1-4)()1+加2)=。皆(1TX1十A)b'x<X]+&)+〃[%()]+A>2)=C。+幻兩側同時除以〃％2得/(。+工)凡(M未加)TOC\o"1-5"\h\z—： +—； =1“?(1+幻/(1+/1)發(fā)現(xiàn)點（31,32）恰好在直線等+辮=|上.1+Z14-2 （T&改該點（3」:乜￡1+E上）為點”,又因為/（&.1）,81,.八），所以點M可以1+2 1+2 ?視為劉的定比分點.即=這樣就出現(xiàn)了Q=2而與Zi7=/i蕨，也就是說在線段48上找到了一個自M,使得而=4而的同時，又使得點Af恰好在橢圓的板線上.同理，我們在線段O上可以找到一個點N,使得點N在楙閱的極線上的同時，又滿足產(chǎn)6=〃五與麗=川汨.（過程中體現(xiàn)出的方法稱為走比分點差法）。在這里我們得到了橢圓工十三=1的極點與板線的一個幾何怠Z:如圖：「b，點戶是不在桃園上的一個點，過點P（%,％）作橢囿的兩條剖線，分別交橢圓￡+，=1于4SC0四點,在線段4a上取一點M,使得黑=黑（內分比二高中幼學筋期研究￡339444汕3

外分比）.在線段8上找到一個點N.使用= 那么MV這條紅線就是網(wǎng)=幽PB\\MB\\NC\\pc\網(wǎng)=幽PB\\MB\該橢圓關于點P的極線了?在該國的背景下，我們你戶滿足為一蛆詞和點列，稱P.D,W,C（滿足黑=牌）為一組澗和點列.（值得一提的是：調和點列的定義與回雉曲線無關，只要滿足“內分比二外分比.即可，我們把這種性質稱為調和性）更進一步地，我們可以去證明，/C與3。的交點以及/O與的交點都在直娛MN上.這個證明需要兩個著名的定理：一梅涅勞斯定現(xiàn)：-.<?高中勤宇潺越孫元會三為小刈坊3AA二惠瓦定理BXC已知平面上△.46。和點P（點P不在△N8C的三邊上），直找“，6九CP分別與直戰(zhàn)夕c,ca9”交于點x,y,2,則工?好?旦=1.ZBXCYA推論2：?如圖，在完全四點冊/BC。中，延長/ID,BC交干羔A,延長B4CD文于點F.點”在線段48上,點N在線段0c上,.則點〃.PBMBPCNCZ在立線0火上.證明：先證點”在立能上:為困，連接R。交8P于點"'，在△凡48中,高爾跡字屏迎請無左丁約心以弓

因為RW',WCBD共點，由塞瓦定理得：—=1:DAM'8CR因為P.O,C共戰(zhàn)，由梅涅勞斯定理得：竺.辿.絲1=1；DAPBCR比較兩個式子得:AMfAPM'BPB又因為條篝所以AM9比較兩個式子得:AMfAPM'BPB又因為條篝所以AM9MBMB下面證點N在直戰(zhàn)0R上:如困：連接。A,與線段。交于點V,在△0CO中,因為0，,C&D4共點，由塞瓦定理得：——-^=1;N'CAQBD因為八4。三點共紋，由梅涅勞斯定理得：絲?絲,旦二1BDPCAQ比較兩式得:DNlDPVC-比較兩式得:DNlDPVC-PC又因喑嘿，所以—=—,即點N與N，更合.N'CVC粽上：點M,N在0R所在的直線上.推論2為我們給出f畫出極點尸所對應的機畿的更快速的辦夫即:如下圖背景下,點尸是不在橢圓上的一個點，過點打）作橢圖的兩條割線.分別交橢圓二十」=1于4&C,。四點、.則極線必定是直線的文點、與立分別交橢圓二十」線3c支點的連線.?高中尊學解題冊先負3944歸正

推論4.設尸.4Q.2是一組調和點列，，43中點為尸。中點為N,則MB：=MP、MQ,NA?NB=NP2推論5:設四邊形/8C。為橢圓的內掛四邊形.且要求直線47.6D爻于點尸；支線4B,CD文于點。.直線d。,3c定于點/?.則P的極線為0R,。的機支為PR；/?的機線為尸0.我們稱△PQ?為自極三甭形:片高巾受字辯題斛完會有羽4為公

推論6:若四邊彩乂88為悌歷時，太圖，/?！?c,則點P對應的極線過力C.8。所在直線的交點，且極線與/。平行.（由相似以及唯一性的汪法即可得）若4D〃8C〃f軸，由對稱性而4C8Q的交點。在'軸上，則點P住〃,0）的極線過點2,且與y平行毋合稚論1,有萬。?而=向（=1.（我們把這個蝶型」.下篇——極點、極線理論在高考中的應用橢圓部分有關橢圓極點.極線的理論部分，我們在上耳已也論證了其正確營.本節(jié)我們將這些性質與推淪使用到高考中去.我們把重要的性質與推論再回頒一下：2 2設在平面五角坐標系城”中，對于橢圜1+5=1,設點P（勺,凡），且點p與點ITI）。不重合，則苞夕的機線為?4￥=1.q.b-若極點?在橢圓上，則極故為桶圄在點〃處的切線.若極點r在橢圓外，則極蛟為橢闌關于r的切點弦所在直線當極點?是焦點?.0）時，機線方程為工二三，此時機線恰好為準線c(4)極點為⑺。）時.對應的雙線為工=”.n\(4)極點為⑺。）時.對應的雙線為工=”.n\極戰(zhàn)恰好垂立于工?軸.板點為（0,〃）時，對應的雙線為y二上，極線恰好垂直于N軸.n（5）若點尸在點。的極線上，則點0必在點尸的極線上.（對偶性）我們稱P與0為一姐共疑點.（6）設臼邊般A8CO為翻回的內接呻邊勃.且直線/C,80交于點P;直線AB,CD交于點Q.直線40,6。交于點A.則P的極線為QR：。的極線為PA:R的機線.為P。,曷中型字潺蒯例一沙

（7）若四邊影ABCD為那彩時，如圖，.4。〃況.，則點戶對應的機線燒過.4gBD所在直線的交，點，且極度與40平行.若乂?！?。〃），物，由對稱性知/C,BD的交點0在工軸上，則點尸（上＞,0）的極線過點。,且與y平行.結合推論1,有萬?云占.「二1.（我們花這個橫量林之為/模登）工.哥—題硼—339444353(8)遺極點為P,對應極線的斜率為則(9)極點P位于桶圓內部時，以P為中立的弦與根淺平行.前7個給出了尋找極愛的各種方法.【2011B川理】如圖，桶圄有兩頂點/(一1,0)、8(10),過其焦點)(0,1)的直線/與橢囤交于C,O兩點，并與工軸交于點，.直慢/。與直線8D交于點當點p異于兒6兩點時，求證：5??而為定值.分析：點產(chǎn)的弧線與工軸正":點尸的柘發(fā):三點Q:根據(jù)向量數(shù)量積的人何宓義.使用二模理.2 2[2010江蘇】在平面直角坐標系.g中，如即已知橢圓的左右頂點為48，右焦點為尸,諛過點7仁加)的亙娘7M,以與此柿園分別交于點必(七,yDA'G，%)，其中7〃>0,尸]>0,必設，=9,求證直線A/N必過工軸上一定點(其坐標與/"無關》.高中敬字解題例先生為訓小!先二分析：iLMV與k軸文于點K?極點r對應的坡線沒過點K:極點K對應的杈線抄過點7且與x軸垂直：使用/模型.【2012年北京】已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=X(we/?)(2)ilm=4.曲線C與y軸交點為48(點N位于點8的上方).立級j=h+4與由紋。交于不同的兩點A/.N.直線與直發(fā)3M交于點G.求證：4G.N三點共線.【2009年編建】如國，已知橢圓。.的離心率為°=3長軸的左右筑點分別為24(-20),4(2,0).(1)求橢圓C的方程：(2)諛立線工=磔，+1與橢圓C文于尸.0兩點.直埃.41與4。交于點S.試問當，"變化時,點s是否恒在一條定直或上？若是,請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.分析：調PQ與x結文于點A7,極點S對應的極線過點P:極點?身應的極線過點S艮4盧于丫軸：使用/模型.一中—題斫究會—94449-

【2008安徽埋】議梯圜C:=+t=lm＞力＞0)過點W(JIl).且左焦點為"一母耳(-亞,0)(1)求橢圓。的方程；(2)當過點P(4,l)的動直線/與戰(zhàn)國C相交與兩不同點42時，在線段.48上取點Q,滿足［/卜那卜圖卜屈|,證明：點Q總在某定直繪上.分析：理論部分；調出性.2 2 /X*【2015均川】如圖：橢同5:二+二=1(〃＞力＞0)的離心幸是乂二，過點P(O.I)的a?b- 2動直線/與楙回相交于48兩點，當立線/平行于/軸時，宜戰(zhàn)/被橢圓￡截得的線段長為2底.⑴求橢圓￡的方程:(2)是否存在與點尸不同的定點°,使得剛網(wǎng)(2)是否存在與點尸不同的定點°,使得剛網(wǎng)恒成立？苦存在，求出點。的坐標：若不存在，請說明理由.【2013江西】橢圓C:工一:=1(。＞＞＞0)的離心率-二正.a+b=3.(Tb~ 2(1)術橢圓(1)術橢圓C的方程:二.葛卬攻字婢迎請方去力到44為了(2)如圖所示，46,D足物圓C的頂點，尸是棚囤。上除頂點外的任意一點、，直線。。交x軸于點N,直圾交，，于點M,談BP的斜率為k,MV的斜率為m,證明：2加一上為定值.分析：UAP與BD文干點E,極點、N時應的極統(tǒng)涇過￡1/且與n仙垂直；由/模4理存：0/工、=。2=4.議A&0).)?：.rw=-.乂M在直線月0上.而二線AD:j=^x+l.所以+ 軻下的就是坐標代入計算了.【2011山東文】在平面面角坐標系中，已知楠SJC：(■十Jz=1.如圖所示，斜率為人出,0)且不過原點的立餞/交描圖「于46兩點，線段4B的中點為￡,射線。上交橢囪C于點G,交直線工=-3于點。(-3.〃).⑴求小+了的最小值；⑵若|時二|"||明.①求證：直線,過定點；分析(2)：役幺2與x為記于點由理論您分對點。的極慢就是/,。的枕線過M,則酎的極線過。且與t軸痣力：支用力櫬型.?「高中受序解題研究史與例44g???.

【2015北京理】已知橢圓C:二+二=1(。>6>0)的高心率為正?點尸(0.1)和點(T/ 24(也〃)(加土0)都在橢圓C上，直線,21史r軸于點M.⑴米樹圓C的方程，并求點切的坐標陽］嘰〃表示)(2)設。為原點，點B與點/關于Hb對稱，直線P/?交x軸于點V.問：>?軸上是否存在點2,使得NOQW=NON2?若存在，求出。的坐標,若不存在，說明理由.補充推論：如圖，設橢圓「的一個焦點為尸，與廠相應的漁坡為1.(1)若過點尸的直線與「相交于M,N兩點、，則「在A/,N兩點處的切線的交點0在準淺/上，且封QI.AW;(2)若過準線/上一點0作「的兩條切線,切點分別為A/,N,則直線MV過焦點廣.JL?P±A//V：(3)若過焦點F的直線與「相交于M,N兩點，過尸作FQJ.MV交準娛/于Q,則連線QM.pV是I的兩條切線利M極點極淺的相關理論即可驗法.【2012福建卷】如圖，槽圓E:二十二=l(a>〃)0)的左角點為耳，右焦點為E,"I)-禺心率e=g,過f的直線交橢圓于46兩點.JLA46月的周裝為8.(1)求橢圓￡的方程.(1)求橢圓￡的方程.-；：：,高中玄學搟題講究會列9必為6?（2）設動直線J:y=fcv+〃z與橫圜￡有且只有一個公共點?，且與直線工=4相交于點。.試探究：衣坐標平面內是否存在定點M,使得以。。為直徑的圓恒過點M?若存在，求出點M的坐標：若不存在，說明理由.值解一提的是：這些題雖然又老又攵雜.但是對于高考教學研究者們還是具備一定的價值的。比如下面的模型：2如圖.設橢圓的方程為三+/=1,點M（20）.過點〃作兩條割線分別交橢圓于4C,艮。四點，使得x砧平分N.LWZ）,根據(jù)對稱性易知四邊形/。9。為梯形，點河的極餞過血與。>的交點廣且與x軸奎克，根據(jù)a?模型，可知|。咋M=a）反之，若［0四|。仞|=后，則有工軸平分/AW）這便是2018年高考理科圈錐曲線的大題背景了.對于文科題.同樣有類似背景.（坐標互為相反教）【2018全國1理】設橢圈C：5+./=］的右焦點為廣.過戶的立線/與。交于A.4兩點，點用的坐標為（2,0）.⑴當/與上軸叁立時，求在愛4〃的方程：⑵設。為坐標原點，證明：NOM.4-WMB.【2015新課標1】在直角坐標系中，曲線C:箕=工與直線y=G+a（a>0）交4于A/,N兩點.二：‘高中纜宇搟通斫有去益+9沙方???(1)當￡=0時，分別求。在點A/和N處的切域方程；(2)y軸上是否存在點P,仗得當A變動時，總和NORV=NO/W?說明理由.【2013陜防】已知動圓過定點/(4,0),且莊)?柚上截得的弦MN的長為8.(1)求動回悶心的挽蓬C的方程；/=Rr(2)已知點8(-10),設不垂直于x軸的直線/與軌跡C交于不同的兩點P.。，若工業(yè)足/尸60的角平分圖證明直線/過定點.練習:， 2補充1:已知橢回「十二=1.點A〃2.l)為橢間內部一點，求過點M的中點弦X4方位.補充2：已知橢圓口十匕=1,過點240)為直戰(zhàn)./與梅圓交于4。兩點，作點力TOC\o"1-5"\h\z4 3關于x州的對稱點0,連掛0R,求證百發(fā)0A過定點.2 2樸充3:已知橢圓二+匚=1.過點尸(2,0)作假斜角互補的兩條立淺交梯回于8 440兩點，(/,〃均在x軸的同側)，求證直線.48過定點.2 2訃充4：已知橢畫二+匚=1過點Q(-Le),總中，。是瞬圓的離心率，梢囿的左、a曠右頂點分別為X(-2,0)8(2,0).⑴求描圜的方程；⑵過點￡(4,0)的直娛/與櫛囪交于N兩點，求證：直娛AM與8N的交點戶在一條定直線上.<>??高中徵字解題陰究之列9444953??-拋物線，雙曲線，圓部分議在平面左角坐標系直川中.針對于拋物線y=2p/?破點、尸(乙,打).則點尸的板談為M>y=〃<+px.(1)若極點〃在拋物線上，則極線為拋物蜿在點/>處的切線.(2)若板點夕不在次物線上，則機線為拋物級關于尸的切點弦所在直統(tǒng)(如果存在).(3)若極點，足焦點，此時極故恰好為準線.(4)極點為(磯0)時，對應的極線為X=T7I,極線恰好垂直于JT抽.(5)若點P在總。的極線上，則點。必在點P的極線上.(6)設四邊形N8CO為拋物線的內接四邊彩.且直線/。潭。交于點?；直線46.CO交十點。.直娛4D.BC交于點R.則P的極線為QR.0的板暖為PR；A的極線為夕。.(7)若四邊防力3C0為梯形時，談AD，BC,則點P對應的極線經(jīng)過XC,0O所在直線的文點，且極線與.4。平行.(8)以極點?為中點的弦與極戰(zhàn)平行.(9)設極點?在準線上，過點。作據(jù)物線的兩條切線,切點為16,則直線44過焦點，且PFJ..48(這方而的特性在資料書中已經(jīng)在資料書中都有所體現(xiàn)，不再一一敘述)對于雙曲線0-卓=1,點尸(.%,凡)對應的極餞,方程為警-罟=1:對于閱一+『2=M,點戶(％,y0)對應的極線方程為-％x+y()y=/：具體轉性：如對偶性，謂和性，幾何意義依然成立，我們不再具體推導,請大家自行花掘.飛高中效學解題孫夯會羽汨44?3其實：對于圓錐曲線的極點極妓，我們可以竹如下統(tǒng)一定義：已知圓鋒由線r：//+CF+2d2￡i，+F=O.則稱點P(x0.乂)和色線/:/,\"十。0)?寸0(》).%)+￡(尸+%)+尸=0是圓鋒由線「的一對極點和極線.規(guī)律：以%、?替換Y,以義丁替換《/'以紅匕替換「以片上替換尸，即可2 2得到點PC%,.%)的極線方程.[20104國】已知拋物港C:./=4.丫的焦點為尸，過點K(-LO)的五圾/與。相交于4,6兩點，點.4關于x軸的對稱點為證明：點尸在直線6。上.【2006全國】已知拋物線/=4]，的焦點為尸.從8是搶物線上的兩動點.且AF=z7fi(z>0),過48兩點分別作勉初線的切線，并設其交點為P.(1)證明而?方為定值：(2)設AJ6f的面枳為S,寫出S=/(1)的表達式，并求S的敢小值.解：(D設點P(x?-1),/(玉,乂),8(%,)、)，

廠,4,8三點對應的極線方位分別為y=-l,xlx=2(yl+y),x2x=2(y2+y),由中0=2(?-1)x2xQ=2(y2-i)于48,E三點共線，故相應的三極線共點于P(x0.-1)中0=2(?-1)x2xQ=2(y2-i)又尸P=(兒,-2),彳5=(工-MM-必)，故FPAB=x0(x:-xl)-2(力一必)=0.(2)設45的方程為了=履+1.與拋物線的極線方程%/=2(%+負對比可知直線月6對應的極點為尸(2￡-1),杷y=kx+\代入x2=4y并由弦箕公式得|力同=4(1+犬)，所以S『w=||JB||FP|=2(1+￡2)也(1+F).顯然，當4=0時，S取最小值4.【2005江西】設拋物線C:y=/的焦點為/，動點P在直埃/:/-y-2=0上運動，過P作地物線的兩條切線PA,PB,且與能物線分別相切于45兩點.(1)求A4P8的重心G的軌跡方程：解：⑴設，親尸(丫0，汽),4(不乂),8(工2，8)，與￥^~=工0%對比如直線八x->'-2=0對應的極點為(；,2),尸為直線/上的動點，則點尸對應的極線月8必恒過