專練07四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=3cm,AB=4cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以

每秒1cm的速度沿ATBTC勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段DP掃過四邊形ABCD所形成的陰影面積為S(cm?),點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<10),

請(qǐng)解答以下問題：

(1)邊DC的長(zhǎng)為cm；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出陰影面積S(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)之間的關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分?如果存在，請(qǐng)求出t的值；

如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)是否存在某一時(shí)刻3使aDPC恰好是直角三角形?如果存在，請(qǐng)直接寫出t的值；如果不存在，請(qǐng)說

明理由.

【答案】(1)如圖1,過點(diǎn)D作DHLBC于H,

AD11BC,々B=90°

二八=4=90°

.??四邊形ABHD是矩形

/.DH=AB=4cm,BH=AD=3cm,

,CH=BC-BH=6-3=3(cm)

在Rt^CDH中，根據(jù)勾股定理得，

2222

CD=y/DH+CH=V4+3=5(cm)；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4<t<10,如圖2,連接BD,

根據(jù)題意AB+BP==tcm，

，BP=t-AB=(t-4)cm

/.s=+A。)?AB=3x(t-4+3)X4

s=2t-2(4<t<10)；

(3)解：存在某一時(shí)刻3使線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分

1

,:S四邊形ABCD=5+BC).AB

1

)x(3+6)x4

=18(cm2)

3s四邊形ABCD=N=9(C7H2)

SAABD=,i4B=：x3x4=6

,'SAABD〈々S四邊形ABCD

???當(dāng)線段DP把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P必在BC上，如圖2,

s=9cm2

J2t-2=9

t=5.5

(4)存在某一時(shí)刻t,使4DPC恰好是直角三角形

ZC<90°

:.乙PCD<90°

???4DPC為直角三角形有兩種情況：

當(dāng)P在AB上，且NcDP=90。時(shí)，如圖3,連接PC,

=AD2+AP2=+t2=9+t2

在RpBCP中，PC?=PB2+BC2=(4-t)2+62=(4-t)2+36

在Rt4CDP中，NCDP=90°'

，PD2+CD2=PC2

即9+t2+52=(4-t)2+36

解得：t=2.25

當(dāng)P在AB上，且zCpD=90°時(shí),

:.PD2+CD2=PC2

即9+t2+(4-t)2+36=52

整理得t2-4t+10=0

此方程無實(shí)數(shù)根；

當(dāng)P在BC上，且zDpc=90°時(shí)，如圖4,點(diǎn)P與點(diǎn)H重合,

圖4

BP=BH=3,

t=7

綜上所述，當(dāng)t的值為2.25或7時(shí)，△DPC恰好是直角三角形.

2.如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，作射線DE并繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

45°,交直線BC邊于點(diǎn)F,連結(jié)EF.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上，求證：EF=AE+CF.

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上，且AD=2時(shí)，則ABEF的周長(zhǎng)是.

(3)當(dāng)點(diǎn)E不在邊AB上時(shí)，EF,AE,CF三者的數(shù)量關(guān)系是

【答案】(1)證明：如圖，延長(zhǎng)BA到G,使AG=CF,連接DG,

???四邊形ABCD是正方形，

，DA=DC,NDAG=/DCF=90。，

.,.△DAG^ADCF(SAS),

/.Z1=Z3,DG=DF,

VZADC=90°,NEDF=45°,

:.ZEDG=Z1+Z2=Z3+Z2=45°=ZEDF,

：DE=DE,

.,.△GDE^AFDE(SAS),

二EF=EG=AE+AG=AE+CF

(2)△BEF的周長(zhǎng)=BE+BF+EF,

由探究得：EF=AE+CF,

:.ABEF的周K=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4,

故答案為4；

(3)當(dāng)點(diǎn)E不在邊AB上時(shí)，分兩種情況:

①點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,

EF=CF-AE,理由是：

在CB上取CG=AE,連接DG,

VZDAE=ZDCG=90°,AD=DC,

/.△DAE^ADCG(SAS)

ADE=DG,ZEDA=ZGDC

VZADC=90°,

:.ZEDG=90°

???ZEDF+ZFDG=90°,

VZEDF=45°,

???ZFDG=90°-45°=45°,

???ZEDF=ZFDG=45°,

在aEDFfHAGDF中，

VDE=DG,ZEDF=ZGDF,DF=DF

AAEDF^AGDF(SAS),

AEF=FG,

/.EF=CF-CG=CF-AE；

②當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,

EF=AE-CF,理由是:

延長(zhǎng)BC到G,使CG=AE,連接DG,

DA=DC,ZDAE=ZDCG=90°,CG=AE

.,.△DAE^ADCG

二DE=DG,ZADE=ZCDG.

，NADE+NEDC=/CDG+NEDC=90.

即：ZADC=ZEDG=90,

":/EDF=45°,

，ZGDF=90°-45°=45°,

，ZEDF=ZGDF,

VDF=DF,ZEDF=ZGDF,DE=DG

.?.△EDF也△GDF,

，EF=GF,

，EF=CG-CF=AE-CF：

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E不在邊AB上時(shí)，EF,AE,CF三者的數(shù)量關(guān)系是：EF=CF-AE或EF=AE-CF

3.在小學(xué)，我們已經(jīng)初步了解到，長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等，每個(gè)角都是90。.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，

AD=9cm,AB=4cm,E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)D出發(fā)，以lcm/s向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),

以acm/s向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)當(dāng)t=3時(shí)，

①求線段CE的長(zhǎng)；

②當(dāng)EP平分NAEC時(shí)，求a的值；

(2)若2=1,且4CEP是以CE為腰的等腰三角形，求t的值；

(3)連接DP,直接寫出點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于DP對(duì)稱時(shí)的a與t的值.

【答案】⑴解：①當(dāng)t=3時(shí)廁DE=3,

在RtACDE中，由勾股定理可得:CE=VDE2+CD2=V32+42=5;

②當(dāng)EP平分/AEC時(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得:點(diǎn)P到EC的距離等于點(diǎn)P到AD的距離，即EC邊上的高

等于4,所以SAPCE=|X4XEC=|XPCXCD,

所以|x4x5=|xPCx4,

所以PC=5廁PB=BC-PC=9—5=4,

又因?yàn)镻B=at=3t,

所以31=4,解得a=2；

4

(2)解：在RSCDE中，由勾股定理可得:CE=VDE2+CD2=Vt2+42=Vt2+16,

所以PC=BC-BP=9-t,

由勾股定理可得:PE=J(9—2t尸+16,

當(dāng)EC=PE吐

Vt2+16=J(9-2t尸+16，解得t=3或t=9(不符合題意，舍去)，

當(dāng)EC=PC時(shí)，

Vt2+16=9-t,解得t=黑,

lo

所以t=3或t=籌,

18

(3)解：因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于DP對(duì)稱，

所以DP垂直平分CE,所以DE=CD=4,PE=PC,

所以DE=t=4,

因?yàn)锽P=at,所以BP=4a,

所以PC=9—4a,

由勾股定理可得:PE=716+(5-4a)2,

,16+(5-4a尸=9—4a,解得a=|,

所以a=-,t=4.

4

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以lcm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同

時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

備用圖

（1）當(dāng)t=2時(shí)，ADPQ的面積為cm2；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中4DPQ的面積能否為26cm2?如果能，求出t的值，若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)A、P、Q、D四點(diǎn)恰好在同一個(gè)圓上時(shí)，求t的值；

（4）運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)以Q為圓心，QP為半徑的圓，與矩形ABCD的邊共有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取

值范圍.

【答案】（1）由題意得AP=1x2=2,BQ=2x2=4

???PB=AB-AP=6-2=4,CQ=CB-BQ=12-4=8

._12X2__4X4

ccADCQ=等=

??%DAP-，bAQBP-~o，S24

_

??S^DPQ=S矩形ABCDSADAP-SAQBP-SADCQ=72-12-8-24=28(cm2)；

故答案為：28；

（2）解：法一：根據(jù)題意得

1ii

,△DAP=6x12——x12t——x2t(6—t)--x6x(12—2t)=26

整理得t2-6t+10=0

b2-4ac=-4<0,

方程無實(shí)數(shù)根

.,.△DPQ的面積不可能為26cm2

法二：

S&DAP=6x12--X12t——X2t(6—t)——x6x(12—2t)=1?-6t+36=(t-3)?+27

當(dāng)t=3時(shí)，△DPQ的面積有最小值為27cm2

...△DPQ的面積不可能為26cm2

(3)解：VZA=90°

:.A、P、D三點(diǎn)在以DP為直徑的圓上

若點(diǎn)Q也在圓上，則NPQD=90°

VPQ2=(6-t)2+(2t)2,DQ2=62+(12-2t)2,DP2=t2+122

當(dāng)PQ2+DQ2=DP2,ZPQD=90°

二(6-1)2+(2t)2+62+(12—2t)2=t2+122

解得tl=6,t2=|

；.t=6或|時(shí)A、P、Q、D四點(diǎn)恰好在同一個(gè)圓上.

(4)如圖1,

OQ與邊AD相切

過點(diǎn)Q作QEJ_AD

；G)Q與邊AD相切

；.QE=QP

62=(6-t)2+(2t)2

解得tl=O(舍去)，t2=y

OQ與過點(diǎn)D

則QD=QP

(6-1)2+(2t)2=62+(12-2t)2

h=2V117-18,t2=-2VH7-18(舍去)

.?.當(dāng)y<t<2V1T7-18時(shí)，③Q與矩形ABCD的

邊共有四個(gè)交點(diǎn).

5.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AD=2cm,AB=BC=8cm,CD=10cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以Icm/s

的速度，沿B-A-D-C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以lcm/s的速度，沿C-D-A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，

過點(diǎn)Q作QELBC于點(diǎn)E.若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)另一個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒.問:

(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊BA上運(yùn)動(dòng)，t=時(shí)，直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分；

(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的3使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與ACQE相似?若存在，求出所

有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由：

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為腰的等腰三角形?

若存在，求出所有符合條件的t的值或取值范圍.

【答案】(1)

AD

VBP=CQ=t,

AAP=8-t,DQ=10-t,

:AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,

，8-1+2+10-t=t+8+L

，t=3<8.

二當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分；

故答案為：3秒；

(2)解：第一種情況：0〈區(qū)8若△PADs/\QEC則/ADP=/C

Q4.

/.tanZADP=tanZC=-=-

63

.8-t_4.16

233

若4PAD^ACEQ則/APD=/C

8424

tanZAPD=tanZC=-=一,—=-

638-t3

第三種情況：10VtW2aADP為鈍角三角形與RtACQE不相似;

.\t=與或t=”時(shí)，△PAD與^CQE相似.

(3)解：第一種情況：當(dāng)叱長(zhǎng)8時(shí).過Q點(diǎn)作QE1_BC,QH1AB,垂足為E、H.

：AP=8-t,AD=2,

PD=VAP2+AD2=Vt2-16t+68.

34

VCE=-t,QE=-t,

5y5

???QH=BE=8?t,BH=QE=t.

41

APH=t--t=-t.

55

***PQ=yjQH2—PH2=Jgt?-+64,DQ=l()-t.

I：DQ=DP,10-t=—16t+68，

解得t=8秒.

11：DQ=PQ,10-t=辰-竺t+64，

y55

解得：t=竺二且,t=四也2>8(不合題意舍去)

33

?26-2734

3

第二種情況：8三氐1()時(shí).DP=DQ=l()-t.

二當(dāng)8<t<10時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立.

第三種情況：10<曰2時(shí).DP=DQ=l-10.

...當(dāng)10<t<l2時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立.

綜上所述，t=至二更或8<t<10或10<t<12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立.

3

6.正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF_LCD于點(diǎn)F.如圖1,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合時(shí)，顯然有DF=CF.

（1）如圖2,若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PELPB且PE交CD于點(diǎn)E.

①求證：DF=EF；

②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系；并說出理由；

（2）若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)0、C重合），PELPB且PE交直線CD于點(diǎn)E.請(qǐng)完成圖3并判斷（1）

中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論.（所寫結(jié)論均不必證明）

【答案】（1）解：①連接PD,

,四邊形ABCD是正方形，AC平分/BCD,CB=CD,ABCP^ADCP,

/.ZPBC=ZPDC,PB=PD

VPB±PE,NBCD=90。，

AZPBC+ZPEC=360°-ZBPE-ZBCE=180°,

，/PED=/PBC=/PDC,；.PD=PE,

VPF1CD,DF=EF

②PC=V2CE+PA,理由如下：

延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G,則四邊形ADFG是矩形，；.AG=DF

VAFCP是等腰直角三角形，

，CP=V2CF=V2(CE+EF)

=V2(CE+DF)=V2(CE+AG)

=V2(CE+乎AP)

=V2CE+PA

(2)解：如圖，

?VPB1PE,BC±CE,

AB,P、C、E四點(diǎn)共圓，

NPEC=NPBC,

在△PBC和4PDC中

BC=DC(已知)，ZPCB=ZPCD=450(已證)，PC邊公共邊，

/.△PBC^APDC(SAS),

，NPBC=NPDC,

/.ZPEC=ZPDC,

VPFIDE,

，DF=EF；

②同理：PA=V2PG=V2DF=V2EF,PC=V2CF,

.,.PA=V2EF=V2(CE+CF)=V2CE+V2CF=V2CE+PC

即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PA=V2CE+PC.

7.如圖，在矩形力BCD中，AB=2cm,乙4DB=30。.P、Q兩點(diǎn)分別從A,B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折

線AB-BC運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2bcm/s;點(diǎn)Q在上以

2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PNLAD,垂足為點(diǎn)N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作

⑦PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s),回PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為yQm?).

(善用圖)

(1)當(dāng)PQ14B時(shí)，x=.

(2)若直線MQ與AD交于點(diǎn)E,當(dāng)x=:時(shí)，求EQ的長(zhǎng)；

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x取值范圍；

(4)直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分時(shí)，直接寫出x的值.

【答案】⑴當(dāng)PQ±AB時(shí)，如圖所示

.?.PQ〃AD,

，ZPQB=ZADB=30°

,BQ=2PB,

由題意可得AP=2x,BQ=2x

.*.BP=AB-AP=2-2x

.??2x=2(2—2x)

2

"X=3

故答案為：|.

(2)解：當(dāng)x=：時(shí)，如下圖所示

4

33

BQ=2x-=^cm

在RSABD中，ZADB=30°

，BD=2AB=4cm

/.DQ=BD-BQ=|

.?.EQ=：DQ="

（3）解：①如圖1中，當(dāng)0<xW；時(shí)，重疊部分是平行四邊形PQMN.

過點(diǎn)Q作QH1AB于點(diǎn)H

圖1

/BQH=NADB=30°

/.QH=BQcos30o

由題意可得AP=2x,BQ=2x

**?QH=>/3x

y=AP-QH=2V3x2.

②如圖2中，當(dāng)|<x41時(shí)，重疊部分是梯形PQEN.

過點(diǎn)Q作QHLAB于H

此時(shí)QH=BQcos3(T=>/3x，EQ=|DQ=|(4-2x)=2-x,AP=2x

y=1(EQ+AP)-QH=yx2+V3x

③如圖3中，當(dāng)l<x<2時(shí)，重疊部分是梯形PNEQ.如下圖所示

由題意可得BP=2V3(x-1),BQ=2x,PN=AB=2

/.AN=BP=2>/3(x—1),DQ=4—2x,AD=BDcos30°=2A/3

EQ=|DQ=|(4-2x)=2-X,DE=DQcos300=苧(4-2x)=2>/3-V3x

.,.EN=AD-DE-AN=-V3x+273

y=1(EQ+NP)-EN=yx2-3gx+473

2V3x2(0<X<|)

綜上所述y={yx2+V3x(|<x<1)

yx2-3V3x+45/3(l<x<2)

(4)當(dāng)x=|或x=T時(shí)，直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分.理由如下

①當(dāng)直線AM過BC的中點(diǎn)E時(shí)，此時(shí)直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分

過點(diǎn)Q作QHJ_AB于H,如圖所示

D

圖4

ABE=jBC=V3,QH=BQcos30°=V3x，BH=BQsin30°=x

JPH=AB-AP-BH=2-3x

,:PQ〃AE

???ZEAB=ZQPH

/.tanZEAB=tanZQPH

?EB_QH

*'AB-PH

即立=a

22-3x

解得：X=1:

②當(dāng)直線AM過CD的中點(diǎn)E時(shí)?，此時(shí)直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分

過點(diǎn)Q作QHJ_AB于H,如圖所示

*

木戶H■B

：.DE=1CD=1,QH=BQcos30°=V3x，BH=BQsin30°=x

，PH=AB-AP-BH=2-3x

VPQ/7AE,CD〃AB

AZEAB=ZQPH,ZEAB=ZDEA

:.ZDEA=ZQPH

AtanZDEA=tanZQPH

?AD_QH

DE-PH

PH2x^3_v3x

1~2-3x

解得：X=；;

綜上：當(dāng)x=|或x=］時(shí)，直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分.

8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)F,且

點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF,BF,EF,過點(diǎn)F作GF1AF交AD于點(diǎn)G,設(shè)

(1)求證：AE=GE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F落在4c上時(shí)，用含n的代數(shù)式表示吟的值;

AB

(3)當(dāng)AD=4AB,且Z.FGC=90°時(shí)，求九的值.

【答案】(1)證明：設(shè)AE=a,則AD=na,

由對(duì)稱知，AE=FE,

,zEAF=Z.EFA,

vGF1AF,

ZEAF+ZFGA=zEFA+zEFG=90°,

:.zFGA=ZEFG,

???EG=EF,

:.AE=EG；

(2)解：如圖1,當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí),

由對(duì)稱知，BE1AF,

乙ABE+zBAC=90°,

VZDAC+zBAC=90°,

二4ABE=ZDAC,

vZBAE=ZD=90°,

/.AABE-ADAC,

ABAEACv

A—=—,vAB=DC,

DADC

???AB2=AD-AE=na2,

VAB>0,

AAB=Vna，

ADnar-

M=扁=訴；

(3)解：若AD=4AB,則AB=：a,

4

如圖當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，，此時(shí)

2,FBCEF=AE=AB=a4=a,

D

n=4,

???當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，n>4,

VZCGF=90°,如圖3,

/.ZCGD+ZAGF=90°,

vZFAG4-ZAGF=90°,

???Z.CGD=zFAG=Z.ABE,

vZBAE=ZD=90°,

???AABE~ADGC,

ABAE

—-f

DGDC

二AB?DC=DG-AE,

DG=AD—AE-EG=na-2a=（n-2）a,

（：a）2=（n-2）a-a,

???n=8+4A/2或n=8-4>/2（由于n>4,所以舍），

即：n=8+4V2

9.如圖，已知四邊形ABC。中，AB//DC,AB=DC,且AB=4cm,BC=8cm,對(duì)角線4C=4而

(1)求證：四邊形ABCO是矩形；

(2)如圖，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，衣BP=2CQ,連接BQ、AP

若4P_LBQ,求BP的值；

(3)如圖，若動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒6cm的速度在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A止，過點(diǎn)。作BC垂

線于點(diǎn)尸，連接尸。,將△PQC沿PQ折疊，使點(diǎn)C落在直線2c上的點(diǎn)E處，得△PQE,是否

存在某一時(shí)刻t,使得△EAQ為直角三角形?請(qǐng)求出所有可能的結(jié)果.

【答案】（1）證明：：AB〃DC,AB=DC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

?；AB=4,BC=8,AC=4V5>

，AB2+BC2=80,AC2=80,

，AB2+BC2=AC2

AZB=90°,

...四邊形ABCD是矩形；

(2)解：如圖，過Q作QE_LBC于E,

.CQ_CE_QE

**CA-CB-AB'

.CQCEQE

**wl-V~~~'

ACQ=V5QE,CE=2QE,

丁AP1BQ,ZABC=90°,

???△ABP^ABEQ,

.AB_BP

**BE-QE'

VBE=BC-CE=8-2QE,遍BP=2CQ=2V5QE,

；.BP=2QE,

?4_2QE

**8-2QE~~QE'

AQE=3,

/.BP=6cm；

(3)解:當(dāng)NAEQ=90。時(shí)，

由折疊的性質(zhì)得CQ=EQ=V5t,QP±BC,EP=CP,

???QP〃AB,

AACQP^ACAB,

.?3=U,即隼=也，

CAAB4V54

APQ=t,EP=CP=2t,

?.?ZAEQ=ZABC=ZQPE=90°,

AZQEP+ZAEB=90°,ZBAE+ZAEB=90°,

AZBAE=ZQEP,

.?.△ABESAEPQ,

-AB_BE4___8-4t

*,EPPQ，m即2t：-t，

.It郡.

10.如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C

在y軸的正半軸上，OA=5,OC=4.

y

(1)在0(2邊上取一點(diǎn)口，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為；

D點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(2)如圖②，若AE上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、E重合)自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為

每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<5),過P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作

AE的平行線交DE于點(diǎn)N.求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，以A、M、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)時(shí)刻點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【答案】(1)依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，

\,在RsABE中，AE=AO=5,AB=4,BE==3.

ACE=2.

.?.E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).

在RSDCE中，DC2+CE2=DE2,

XVDE=OD.

(4-OD)2+22=OD2.

解得：0D=25

；.D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2.5).

故答案為：(0,2.5),(2,4)；

(2)VPM/7ED,

AAAPM^AAED.

/.PM：ED=AP：AE,

???PM=AE±D,

AE

又?.,AP=t,ED=2.5,AE=5,

5ti

/.PM=2=-3

52

VPM/7DE,MN〃EP,

.??四邊形NMPE為平行四邊形.

又,.?NDEA=90。，

???四邊形PMNE為矩形.

.??S矩形PMNE=PM?PE=^t(5-t)=-lt2+lt；

(3)(I)若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA(如圖①)

在RtAAED中，ME=MA,

■:PM1AE,

；.P為AE的中點(diǎn)，

.\t=AP=-AE=2.5,

2

又：PM〃ED,

.??M為AD的中點(diǎn).

過點(diǎn)M作MF_LOA,垂足為F,則MF是4OAD的中位線,

；.MF=-OD=-，OF=-OA=2.5,

242

...當(dāng)t=2.5時(shí)，(0V2.5V5),AAME為等腰三角形.

此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,1.25).

(II)若以AE為等腰三角形的腰,則AM=AE=5（如圖②）

22

在RtAAOD中，AD=VOD+AO=竽.

過點(diǎn)M作MF_LOA,垂足為F,

：PM〃ED,

AAAPM^AAED.

AP：AE=AM：AD.

，t=AP==2V5.

AD

PM=t=V5"

.?.MF=MP=V5,OF=0A-AF=OA-AP=5-2遍，

當(dāng)t=2V5時(shí)，(0<2V5<5),此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(5-2西，花).

(111)根據(jù)圖形可知EM=EA的情況不成立.

綜合綜上所述，當(dāng)t=2.5或t=2代時(shí)，以A,M,E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為

(:,：)或(5-2巡，V5).

24

11.如圖，在長(zhǎng)方形ABCO中，AB=CD=6cm,BC=Wcm,點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以2c初秒的速度沿8C

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒：

(1)PC=cm.(用f的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，&ABPqMDCP?

(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以心加秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這

樣v的值，使得△A8P與APQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，BP=2t,

則PC=(10-2t)cm；

故答案為：(10-2t)；

(2)解：當(dāng)t=2.5時(shí)，4ABP絲△DCP,

?.?當(dāng)t=2.5時(shí)，BP=2.5x2=5,

/.PC=10-5=5,

,在△ABP和ADCP中，

AB=DC

{zB=Z.C=90°