1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題6題型分類一、空間向量研究距離問題1．點P到直線l的距離:已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．2．點P到平面α的距離:設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．3．兩平行直線間的距離：一條直線上任一點到另一條直線的距離.4．直線到平面的距離：直線上任一點到這個平面的距離.5．兩平行平面間的距離：一平面上任一點到另一平面的距離．二、空間向量研究夾角問題兩個平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．2．空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍線線角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))線面角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))面面角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))（一）點到直線的距離1、用向量法求點到直線的距離的一般步驟：(1)求直線的方向向量．(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．2、用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.題型1：利用空間向量求點到直線的距離1-1．（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點，，，則點A到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．1-2．（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．1-3．（2023春·高二課時練習）已知向量和直線l垂直，且在由直線l與點確定的平面內(nèi)，點在直線l上，則點到直線l的距離為.1-4．（2023春·江西贛州·高二上猶中學?？计谀┮阎睦忮F的底面為正方形，平面，，點是的中點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．1-5．（2023秋·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.（二）點到平面的距離與直線到平面的距離1、用向量法求點面距的步驟：(1)建系：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求點坐標：寫出(求出)相關(guān)點的坐標．(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(eq\o(AP,\s\up6(→))，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).2、求點到平面的距離的主要方法：(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.(3)向量法:d=|n·MA||n|(n題型2：利用空間向量求點到平面的距離2-1．（2023春·甘肅臨夏·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，點在邊上，且，為的中點．以，，分別為軸，軸，軸的正方向，井以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求：

(1)直線的一個方向向量；(2)點到平面的距離．2-2．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面，，點為中點.

(1)求證：平面；(2)求點到直線的距離.2-3．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．2-4．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校┤忮F的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長均為3，點為棱的中點，點是線段上的動點，設(shè)到平面的距離為到直線的距離為，則的最小值為.2-5．（2023春·江西·高二贛州市第四中學?？计谀┤鐖D，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．2-6．（2023秋·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．2-7．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．2-8．（2023·全國·高三專題練習）若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是．2-9．（2023春·高二課時練習）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為.2-10．（2023秋·江蘇·高二專題練習）如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點．（1）求平面和平面夾角的余弦值；（2）在線段（含端點）上是否存在點，使點到平面的距離為？請說明理由．（三）兩條異面直線所成的角1、求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進而構(gòu)造三角形求解．(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).注：用空間向量求兩條直線l1，l2夾角(1)化為向量問題：轉(zhuǎn)化為求兩直線l1，l2的方向向量u,(2)進行向量運算：計算cos(3)回到圖形問題：兩條直線l1,l2夾角題型3：利用空間向量求異面直線的夾角3-1．（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.3-2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點．

(1)求與所成角的余弦值；(2)求證：平面.3-3．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知直三棱柱，各棱長均為，為的中點，為的中點．(1)求直三棱柱的體積；(2)求證：平面；(3)求異面直線與所成角的余弦值．3-4．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.3-5．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．（四）直線與平面所成的角利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)求直線的方向向量u；(3)求平面的法向量n；(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).題型4：利用空間向量求直線與平面所成的角4-1．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是的中點.

(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.4-2．（2023·四川·校聯(lián)考一模）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，平面平面，，，，

(1)證明：；(2)求與平面所成的角的正弦值．4-3．（2024秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）如圖，在三棱柱中，底面，，，，、分別為棱、的中點，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.4-4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．

(1)求點到平面的距離；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．4-5．（2023春·江西九江·高二?？计谀┤鐖D所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.4-6．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開學考試）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.4-7．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖,在直三棱柱中,是以為斜邊的等腰直角三角形，,分別為上的點,且.

(1)若,求證:平面;(2)若,直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.4-8．（江西省新余市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.（五）兩個平面的夾角求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時.))注：利用向量方法求二面角的大小時,多采用法向量法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角是銳角還是鈍角,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.題型5：利用空間向量求二面角5-1．（2023春·北京海淀·高二清華附中?？计谀┧睦忮F中，平面，，，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．5-2．（2023春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.5-3．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習）在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.5-4．（2023秋·湖南·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在四棱錐中，，，，E為PC的中點.

(1)求證：平面PAD；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.5-5．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．5-6．（2023秋·天津河西·高二天津?qū)嶒炛袑W?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面,點為棱的中點．

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．5-7．（2023秋·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.

(1)取的中點N，求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值.(3)在線段上，是否存在一點M，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為?如果存在，求出與平面所成角的大??；如果不存在，請說明理由.題型6：利用空間向量求兩個平面的夾角6-1．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.6-2．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學?？茧A段練習）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點.

(1)求證：平面平面；(2)若平面，，求平面與平面夾角的余弦值.6-3．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.6-4．（2023秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，是上一點，平面.

(1)求證：平面；(2)從下面三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并作答：①異面直線與所成角的正切值為；②直線與平面所成角的正弦值為；③點到平面的距離為；若___________，求平面與平面夾角的余弦值.6-5．（2024秋·浙江·高三舟山中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在長方體中，點，分別在棱上，且，．

(1)證明：；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．6-6．（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，三棱柱中，是的中點，平面.

(1)求證：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.6-7．（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，E是的中點，作交于點F．

(1)求證：平面；(2)若平面與平面的夾角為，求點F到平面的距離．6-8．（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.一、單選題1．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學考試）棱長為1的正方體中，點P在棱CD上運動，點Q在側(cè)面上運動，滿足平面，則線段PQ的最小值為（

）

A． B．1 C． D．2．（2023秋·甘肅武威·高二校聯(lián)考期中）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量是，則平面與所成的角等于（）A． B． C． D．3．（2023秋·全國·高二專題練習）如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，則平面與平面所成的角為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在長方體中，，，為中點，則到平面的距離為（

）

A．1 B． C． D．25．（2023秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在棱錐中，，，兩兩垂直，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．6．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，取的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．（2023春·高二單元測試）在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，則銳二面角的大小為（

）A．30° B．45°C．60° D．75°8．（2023春·廣東深圳·高二校考期中）若平面的一個法向量為，，，，則點到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．9．（2023秋·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知，則點O到平面ABC的距離是（

）A． B． C． D．二、多選題10．（2023秋·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）中，，分別為，的中點，則（

）

A．直線與平面所成角的正弦值為B．直線與夾角的余弦值C．直線與夾角的余弦值D．直線與夾角的余弦值為11．（2023秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，為線段中點，為線段中點，則（

）

A．點到直線的距離為 B．直線到直線的距離為2C．點到平面的距離為 D．直線到平面的距離為12．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在正四棱柱中，分別是，的中點，則（

）

A．//平面B．C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題13．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知直線過定點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為．14．（2023·全國·高二專題練習）已知菱形中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面，則平面與平