2022-2023學(xué)年廣西河池市八校高一下學(xué)期第一次聯(lián)考（4月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，逐個(gè)元素判定，即可求解.【詳解】由集合，因?yàn)?，所以．故選：B．2．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的特征即可求解，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可知得，所以．故選：D．3．已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號即可求解.【詳解】∵點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，∴，，由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的非正半軸；由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，綜上所述，的終邊位于第三象限．故選:C4．（

）A． B．C． D．·【答案】A【分析】由平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】，故選：A5．某三角形直觀圖是面積為2的等邊三角形，則原三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解法一：根據(jù)斜二測法畫直觀圖的步驟，把給出的直觀圖還原回原圖形，然后直接利用三角形的面積公式求解；解法二：根據(jù)斜二測畫法中直觀圖與原圖形面積的關(guān)系求解．【詳解】解法一：把邊長為的正三角形還原回原三角形如圖，

過作垂直于軸于，因?yàn)椤魇沁呴L為的正三角形，所以，過作平行于軸交軸于，則，所以對應(yīng)的原圖形中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系下的縱坐標(biāo)為，即原三角形底邊上的高為，所以．因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，所以，解法二：由題意直觀圖是面積為2的等邊三角形，即面積為，所以原圖形的面積為．故選：C．6．若向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，，因?yàn)?，可得，解得．故選：C．7．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．10 D．34【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算以及模長公式即可求解.【詳解】，所以，故選:A8．在中，已知，，，則角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算得的值，然后根據(jù)邊，從而得角的范圍，結(jié)合特殊角三角函數(shù)值可得答案.【詳解】由題知，，，在中，由正弦定理可得：，即，所以，因?yàn)椋?，所以?故選：C．二、多選題9．在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．存在四個(gè)點(diǎn)，使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形B．存在四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成正四面體C．不存在這樣的四個(gè)點(diǎn)，使得構(gòu)成的四面體每個(gè)面都是直角三角形D．存在有三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形的四面體【答案】ABD【分析】由正方體的特征，結(jié)合選項(xiàng)即可找到對應(yīng)的圖形，即可求解.【詳解】對于A，如圖四邊形為平行四邊形，所以A正確，

對于B，四面體是正四面體，所以B正確，

對于C，如圖四面體中，，故每個(gè)面都是直角三角形，所以C不正確，

對于D，如圖四面體中，，,均是直角三角形、為等邊三角形，所以D正確，故選：ABD．

10．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B．為純虛數(shù)C．的模等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【分析】根據(jù)歐拉公式、復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】對于A：，∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限，故A正確；對于B：，∴為實(shí)數(shù)，故B不正確；對于C：由，所以，所以，故C正確；對于D：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．如圖，在中，若點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，設(shè)AD，BE，CF交于一點(diǎn)O，則下列結(jié)論中成立的是（

）

A． B．C． D．【答案】AC【分析】用向量的加、減法運(yùn)算法則對選項(xiàng)一一計(jì)算即可得出答案.【詳解】根據(jù)向量減法可得，故A正確；因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，故B錯(cuò)誤；由題意知O是△ABC的重心，則，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．八一廣場是南昌市的心臟地帶，江西省最大的城市中心廣場，八一南昌起義紀(jì)念塔為八一廣場標(biāo)志性建筑，塔座正面鐫刻“八一南昌起義簡介”碑文，東、南、西三面各有一幅反映武裝起義的人物浮雕．塔身正面為“八一南昌起義紀(jì)念塔”銅胎鎏金大字，塔頂由一支直立的巨型“漢陽造”步槍和一面八一軍旗組成．八一南昌起義紀(jì)念塔的建成，表達(dá)了億萬人民永遠(yuǎn)緬懷老一輩無產(chǎn)階級革命家創(chuàng)建和培育解放軍的豐功偉績，鼓勵(lì)國人進(jìn)行新的長征．現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場上對八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為紀(jì)念塔最頂端，B為紀(jì)念塔的基座（即B在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、D兩點(diǎn)，測得CD的長為m．興趣小組成員利用測角儀可測得的角有、、、、，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB的是（

）

A．m、、、 B．m、、、C．m、、、 D．m、、、【答案】ACD【分析】根據(jù)解三角形的條件，逐項(xiàng)判斷可解三角形求出塔高AB的選項(xiàng)即可.【詳解】對于A：由m，、可以解，又，可求塔高度AB；對于B：在中，由，無法解三角形，在中，由，無法解三角形，在中，已知兩角、無法解三角形，所以無法解出任意三角形，故不能求塔高度AB；對于C：由，、可以解，可求AC，又，即可求塔高度AB；對于D：由，可求，在中，由正弦定理可求BC，在中，由BC，可求AB．即D項(xiàng)可求塔高AB．故選：ACD．

三、填空題13．已知向量，滿足，，且，的夾角為45°，則【答案】【分析】，結(jié)合數(shù)量積的公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，且，的夾角為45°，所以.故答案為：14．正六棱錐底面邊長為1，側(cè)棱長為3，則棱錐高為．【答案】【分析】根據(jù)正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合勾股定理列方程求正六棱錐的高.【詳解】因幾何體為正六棱錐，則其底面為正六邊形，因?yàn)檎呅蔚倪呴L為，所以，又正六棱錐的頂點(diǎn)與底面中心的連線為正六棱錐的高，側(cè)棱，所以正六棱錐的高．故答案為：．

15．已知，都是復(fù)數(shù)，，的共軛復(fù)數(shù)分別為，．下列命題中，真命題的序號是．①若，則；②若，則；③如果，那么；④若，則為實(shí)數(shù)．【答案】③④【分析】通過特殊值法可判斷①②；根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛，模，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算可判斷③；由復(fù)數(shù)相等，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算可判斷④.【詳解】在①，②，④中設(shè)，（，，，），則，對于①，若，則，此時(shí)不一定有（如），故①錯(cuò)；對于②，若，則，都是實(shí)數(shù)，所以，若，，則，故②錯(cuò)；對于④，若，則，所以，故④正確．對于③，令，，，則，如果，即，則，故③正確.故答案為：③④．16．如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15nmile的C處．現(xiàn)甲船以35nmile/h的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25nmile的B處的乙船，則甲船到達(dá)B處需要的時(shí)間為h．【答案】1【分析】利用方向坐標(biāo)畫出圖形，結(jié)合圖形利用余弦定理求出的值，再計(jì)算甲船到達(dá)處需要的時(shí)間．【詳解】如圖所示，中，，，；所以，即，又甲船的速度為，所以甲船到達(dá)處需要的時(shí)間為．故答案為：1．四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，其中又為非零實(shí)數(shù)．(1)若是實(shí)數(shù)，求的值；(2)若，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)有關(guān)的概念即可解出.（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)有關(guān)的概念即可求出.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，又為非零實(shí)數(shù),則.（2）因?yàn)?則，則，所以，則，因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，則.18．已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）首先求出，的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解?（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，所以，解得，故的值為．19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)求角C的大??；(2)若，且的面積為，求邊長c．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等變換求解；（2）由的面積為，得到，再結(jié)合，求得a，b，然后利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，則．（2）∵的面積為，則，∴根據(jù)題意得，則或，若，則為等邊三角形，；若，則，即

∴或．20．已知函數(shù)．(1)求的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)對稱中心為，；單調(diào)增區(qū)間為，(2)最大值為，最小值為【分析】（1）整體法求解函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)求出，換元法求解函數(shù)在上的最值.【詳解】（1）令，，則，．所以的對稱中心為，由，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）令，由知，所以要求在區(qū)間上的最值，即求在上的最值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，．21．“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來測量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)都在圓周上，角的對邊分別為，，，滿足(1)求；(2)若的面積為，且，求的周長【答案】(1)(2)cm【分析】（1）根據(jù)題意可求圓的直徑，再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，則（cm），由正弦定