一、函數(shù)連續(xù)性增量函數(shù)連續(xù)二、函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點§1.8函數(shù)連續(xù)性與間斷點上頁下頁結(jié)束返回首頁1/221思索：怎樣描述這種現(xiàn)象？一、函數(shù)連續(xù)性曲線不停曲線斷開函數(shù)f(x)隨x改變而逐步改變;

突變現(xiàn)象下頁數(shù)學語言：增量2/2221.增量概念：一、函數(shù)連續(xù)性曲線不停曲線斷開注:①也記Δx=x1-x0,即自變量x從初值x0變到終值x1；

②增量Δ

x和Δ

y可正可負;

③在第2章導數(shù)部分將再次研究增量.下頁3/2232函數(shù)連續(xù)性定義提醒:下頁設x=x0+Dx

則當Dx

0時

x

x0

所以設函數(shù)y=f(x)在點x0某一個鄰域內(nèi)有定義

那么就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)

Dy=f(x0+Dx)-f(x0)

假如4/224思索：怎樣用e-d語言敘述函數(shù)連續(xù)性定義？

e>0

d>0

當|x-x0|<d

有|f(x)-f(x0)|<e

提醒：下頁2函數(shù)連續(xù)性定義設函數(shù)y=f(x)在點x0某一個鄰域內(nèi)有定義

假如那么就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)

5/225例1證下頁6/226左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)

函數(shù)y=f(x)在點x0處左連續(xù)且右連續(xù)

下頁7/227例2解左連續(xù)但不右連續(xù),下頁函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)

函數(shù)y=f(x)在點x0處左連續(xù)且右連續(xù)

8/228注:3連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)函數(shù)

叫做在該區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

連續(xù)函數(shù)舉例（1）多項式函數(shù)P(x)在區(qū)間(-

+

)內(nèi)是連續(xù)

這是因為

函數(shù)P(x)在(-

+

)內(nèi)任意一點x0處有定義而且下頁

假如區(qū)間包含端點

那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)

在左端點連續(xù)是指右連續(xù)

9/229（2）正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-

+

)內(nèi)是連續(xù)

這是因為

函數(shù)y=sinx在(-

+

)內(nèi)任意一點x處有定義而且首頁在區(qū)間上每一點都連續(xù)函數(shù)

叫做在該區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

連續(xù)函數(shù)舉例3連續(xù)函數(shù)實際上,初等函數(shù)在定義區(qū)間上都是連續(xù)，（見下節(jié)）.10/2210二、函數(shù)間斷點設函數(shù)f(x)在點x0某去心鄰域內(nèi)有定義

在以前提下

假如函數(shù)f(x)有以下三種情形之一

(1)在x0沒有定義

則函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)

而點x0稱為函數(shù)f(x)不連續(xù)點或間斷點

(2)即使在x0有定義

但f(x)不存在

(3)即使在x0有定義且f(x)存在

但f(x)

f(x0)

下頁1間斷點（不連續(xù)點）定義11/22112間斷點舉例

例1

下頁12/2212

例2

當x

0時

函數(shù)值在-1與+1之間變動無限屢次

所以點x=0是函數(shù)間斷點

所以點x=0稱為函數(shù)振蕩間斷點

下頁2間斷點舉例13/2213所以點x=1是函數(shù)間斷點

假如補充定義

令x=1時y=2

則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù)

所以x=1稱為該函數(shù)可去間斷點

例3

下頁2間斷點舉例14/2214因函數(shù)f(x)圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象

我們稱x=0為函數(shù)f(x)跳躍間斷點

例4

下頁2間斷點舉例15/2215通常把間斷點分成兩類

設

x0是函數(shù)f(x)間斷點

假如左極限f(x0-)及右極限f(x0+)都存在

那么x0稱為函數(shù)f(x)第一類間斷點

不屬于第一類間斷點間斷點

稱為第二類間斷點

在第一類間斷點中

左、右極限相等者稱為可去間斷點

不相等者稱為跳躍間斷點

無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二類間斷點

3間斷點類型下頁16/2216可去型第一類間斷點跳躍型無窮型第二類間斷點oyxoyxoyx下頁oyx振蕩型17/2217狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.★★僅在x=0處連續(xù),在定義域R內(nèi)其余各點處處間斷.但其絕對值處處連續(xù).下頁18/2218小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足三個條件;3.間斷點分類與判別;2.區(qū)間上連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點下頁19/2219練習：研究以下函數(shù)在x=0連續(xù)性，若是間斷，指出間斷點類型。解：1)2)∴

x=0為第一類間斷點。下頁20/2220