考點(diǎn)31空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積4.(2022·新高考Ⅰ卷·T4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m3【命題意圖】本題以實(shí)際問(wèn)題為載體考查棱臺(tái)的體積公式,考查運(yùn)算求解能力.【解析】選C.依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V.棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140×106m2,下底面積S'=180.0km2=180×106m2,所以V=13h(S+S'+SS')=13×9×(140×106+180×106=3×(320+607)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3).8.(2022·新高考Ⅰ卷·T8)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π,且3≤l≤33,則該正四棱錐體積的取值范圍是()A.18,814B.274,814C.274,643D.18,27【命題意圖】本題主要考查了正四棱錐的外接球問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.【解析】選C.因?yàn)榍虻捏w積為36π,所以球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h,則l2=2a2+h2,32=2a2+(h-3)2,所以6h=l2,2a2=l2-h2,所以正四棱錐的體積V=13Sh=13×4a2×h=23×l2-l436×l26=19l所以V'=194l3-l56=19l324?l當(dāng)3≤l<26時(shí),V'>0,當(dāng)26<l≤33時(shí),V'<0,所以當(dāng)l=26時(shí),正四棱錐的體積V取最大值,最大值為643又l=3時(shí),V=274,l=33時(shí),V=81所以正四棱錐的體積V的最小值為274所以該正四棱錐體積的取值范圍是274,643.7.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.100πB.128πC.144πD.192π【命題意圖】本題考查球的表面積求解,同時(shí)還涉及了正弦定理的運(yùn)用,考查了運(yùn)算求解能力,對(duì)空間想象能力要求較高.【解析】選A.設(shè)正三棱臺(tái)上、下底面所在圓面的半徑分別為r1,r2,所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°,即r1=3,r2=4,設(shè)球心到上、下底面的距離分別為d1,d2,球的半徑為R,所以d1=R2-9故|d1-d2|=1或d1+d2=1,即|R2-9-R2-16|=1或R2-9+R2-16=1,解得R2=4.(2022·全國(guó)甲卷文科)(同2022·全國(guó)甲卷理科T4)如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為()A.8B.12C.16D.20【命題意圖】本題考查多面體的體積的求法,考查多面體的三視圖等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.【解析】選B.由三視圖還原幾何體,如圖,則該直四棱柱的體積V=2+42×2×2=1210.(2022·全國(guó)甲卷文科)(同2022·全國(guó)甲卷理科T9)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若S甲S乙=2,則V甲VA.5B.22C.10D.5【命題意圖】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解,考查運(yùn)算求解能力.【解析】選C.設(shè)母線長(zhǎng)為l,甲圓錐底面半徑為r1,乙圓錐底面半徑為r2,則S甲S乙=πr所以r1=2r2,又2πr1l+則r1+所以r1=23l,r2=13所以甲圓錐的高h(yuǎn)1=l2-49乙圓錐的高h(yuǎn)2=l2-19所以V甲V乙=13π12.(2022·全國(guó)乙卷文科·T12)(與理科T9相同)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為()A.13B.12C.33【命題意圖】考查球與四棱錐的接切問(wèn)題、四棱錐的體積、利用基本不等式求最值以及空間想象能力.【解析】選C.設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為r,設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為α,則S四邊形ABCD=12·AC·BD·sinα≤12·AC·BD≤12·2r·2r=2(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立)即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí),底面ABCD面積最大值為2r2,又r2+h2=1,則VO-ABCD=13·2r2·23r2·r當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2,即h=33時(shí)等號(hào)成立9.(2022·北京高考·T9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為()A.3π4B.πC.2πD.【命題意圖】考查空間立體圖形,綜合性較強(qiáng),難度稍大.【解析】選B.若PQ=5,則Q點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓周,所求即為此圓的面積.設(shè)點(diǎn)P在底面上的射影為點(diǎn)O,則由已知得,O為△ABC的中心,CO=23,PC=6,所以PO=26,當(dāng)CO上存在一點(diǎn)Q使得PQ=5,此時(shí)QO=1,則動(dòng)點(diǎn)Q在以QO為半徑,O為圓心的圓內(nèi),所以面積為π.5.(2022·浙江高考數(shù)學(xué)科·T5)(4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.22πB.8πC.223πD.16【命題意圖】本題主要考查空間幾何體的三視圖,意在考查學(xué)生由空間幾何體的三視圖還原空間幾何體的能力及圓柱、圓臺(tái)與球的體積公式的應(yīng)用.【解析】選C.根據(jù)所給幾何體的三視圖,畫(huà)出該幾何體的直觀圖,如圖所示,可知該幾何體是由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱及一個(gè)圓臺(tái)組合成的,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為2;圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,高為2,所以該幾何體的體積為V=12×43π·13+π×12×2+13×2(π×12+π×12×π×22+π×22)=11.(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別為V1,V2,V3,則()A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V1【命題意圖】本題主要考查組合體的體積,熟練掌握棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵.【解析】選CD.設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D⊥平面ABCD,FB∥ED,則V1=13·ED·S△ACD=13·2a·12·(2a)2=43a3,V2=13·FB·S△ABC=13·a·12·(2a)2=23a3,如圖,連接BD交AC于點(diǎn)M,連接EM,FM,易得BD⊥AC,又ED⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則ED⊥AC,又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,則AC⊥平面BDEF,又BM=