中學(xué)數(shù)學(xué)精品課件第二十七章相似相似三角形的判定第3課時(shí)

1.理解三角形相似的判定定理和直角三角形相似的特殊判定方法．2.能夠運(yùn)用三角形相似的判定定理和直角三角形相似的特殊判定方法進(jìn)行推理論證和計(jì)算．學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.三角形相似的判定方法.2.全等三角形與相似三角形的關(guān)系.復(fù)習(xí)鞏固

上一節(jié)課，我們猜測(cè)到以下的兩個(gè)命題，它們是不是

真命題呢?1.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；2.斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似．這兩個(gè)命題是否真命題。新課導(dǎo)入

1．如何證明“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”呢？如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，求證△ABC∽△A'B'C'．探究新知分析證明：在線段A'B'、A'C'（或它的延長(zhǎng)線）上截取A'D=AB，A'E=AC,連接DE.證明∴△ABC∽△A'B'C'．探究新知：∵∠A=∠A'∴△A'DE≌△ABC∴∠A'DE=∠B,∠A'ED=∠C,DE=BC.又∵∠B=∠B'∴∠A'DE=∠B'∴DE//B'C'∴△A'DE∽△A'B'C'∵∠A=∠A',∠B=∠B',

∠C=∠C'

由此可得:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'．探究新知

如圖，在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C'=90°，．求證Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'．分析：要證Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'，可設(shè)法證，只需證探究新知若設(shè)

證明：設(shè)，則AB=kA'B,AC=kA'C'．∴．∴Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'．由勾股定理得：探究新知

BDACEF解：∵∠B=∠C,

∠DFB=∠EFC∴△DFB∽△EFC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似)∵∠B=∠C,

∠A=∠A∴△ABE∽△ACD(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似)例1.如圖：∠C=∠B,請(qǐng)指出圖中的相似三角形.例題解析

例2.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上一點(diǎn)，AE=5，ED⊥AB，垂足為D．求AD的長(zhǎng)．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°．又∠C=90°，∠A=∠A，△AED∽△ABC．．∴例題解析∴

AECBD例3.如圖:AB=3AC,BD=2AE,且BD⊥AD,AE⊥EC,

求證：△ABD∽△CAE∵AB=2AC,BD=2AE∴Rt△ABD∽R(shí)t△CAE例題解析證明：∵BD⊥AD,AE⊥EC,∴△ABD和△CAE都是直角三角形．∴

1．如圖，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的長(zhǎng)．解：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A∴△ABD∽△ACB．∴∴∴AD=4課堂練習(xí)∴

解：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC證明：∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∵∠CDB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC．課堂練習(xí)2．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似嗎？證明你的結(jié)論．

（1）已知：在等腰△ABC中，AB=AC，在等腰△A'B'C'中，A'B'=A'C'，且∠B=∠B'．求證△ABC∽△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'．課堂練習(xí)3．(1）底角相等的兩個(gè)等腰三角形是否相似？頂角相等的兩個(gè)等腰三角形呢？證明你的結(jié)論.證明：∵AB=AC∴∠B=∠C．∵A'B'=A'C'，∴∠B'=∠C'．又∠B=∠B'，∴∠C=∠C'．

（2）已知：在等腰△ABC中，AB=AC，在等腰△A'B'C'中，A'B'=A'C'，并且∠A=∠A'．求證△ABC∽△A'B'C'．證明：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，∴2∠B=180°-∠A．．同理，在△A'B'C'中，A'B'=A'C'，∠B'=∠C'，∴2∠B'=180°-∠A'．又∠A=∠A'，∴∠B=∠B'．∴△ABC∽△A'B'C'．課堂練習(xí)∴

三角形相似的判定方法共有幾種：1．通過(guò)定義（比較復(fù)雜，煩瑣）；2．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似（只能在特定的圖形里面使用）；3．三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；4．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；5．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；6．兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例．課堂小結(jié)相似三角形的判定第1課時(shí)

問(wèn)題1相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的就是相似三角形.根據(jù)所學(xué)相似多邊形的知識(shí)，你能給出相似三角形的定義嗎？對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.則△ABC∽△A′B′C′.用符號(hào)語(yǔ)言怎么表示呢？問(wèn)題2

（1）兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？相似比是多少？（2）兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？?jī)蓚€(gè)等腰直角三角形呢？（3）兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？?jī)蓚€(gè)等邊三角形呢？問(wèn)題3

判定三角形全等，我們并不是驗(yàn)證六個(gè)條件，而是利用了幾個(gè)簡(jiǎn)便的判定定理，那么判定三角形相似我們又能找到哪些簡(jiǎn)便的方法呢？問(wèn)題如圖，任意畫兩條直線a，b，再畫三條與a，b都相交的平行線l1，l2，l3．探究l1，l2，l3在直線a，b上截得的線段有什么關(guān)系．l3

l1l2ABDEFHab通過(guò)計(jì)算可以得到：，，，平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．說(shuō)明：

①定理的條件是“兩條直線被一組平行線所截”；

②是“對(duì)應(yīng)線段成比例”，注意“對(duì)應(yīng)”兩字．l3

l1l2ABDEFHab（=），左上左下右上右下（=）．左下左上右下右上結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．l2l3l1l3ll'ABCDEl2ABCDEl1ll'

如圖，在△ABC中，DE∥BC，且

DE分別交

AB，AC于點(diǎn)

D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？CABDE用相似的定義證明△ADE∽△ABCCABDE證明：在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F.F∵DE∥BC，DF∥AC，∴∵四邊形DFCE為平行四邊形，∴△ADE∽△ABC.∴平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定三角形相似的定理：

問(wèn)題：如圖，DE∥BC，且DE分別交BA，CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E，△ABC與△ADE相似嗎？如何證明呢？DBAl3l1

l2CE

l4

l5CDBAEF思考：你能結(jié)合圖形，用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言概括探索得到的結(jié)論嗎？平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.若DE∥BC,則△ADE∽△ABC.例如圖，已知AB∥CD∥EF，下列結(jié)論正確的是（）D練習(xí)1.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG=2，GD=1，DF=5，求的值.2.如圖，

在△ABC中，DE∥BC,且AD=3，DB=2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.拓展

如