3圓周運(yùn)動的實(shí)例分析學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．進(jìn)一步理解圓周運(yùn)動的規(guī)律，了解圓周運(yùn)動在現(xiàn)實(shí)生活中的一些應(yīng)用．在具體問題中會分析向心力的來源．2．知道向心力和向心加速度公式也適用于非勻速圓周運(yùn)動，會計(jì)算非勻速圓周運(yùn)動中物體在特殊點(diǎn)的向心力和向心加速度．3．知道離心現(xiàn)象，會根據(jù)離心運(yùn)動的條件判斷物體的運(yùn)動，了解離心運(yùn)動的利用和防止.重點(diǎn)：向心力的理解和來源．難點(diǎn)：1．臨界問題的討論和分析．2．對變速圓周運(yùn)動的理解和處理.1．鐵路的彎道（1）火車轉(zhuǎn)彎時的特點(diǎn)：火車轉(zhuǎn)彎時實(shí)際是在做圓周運(yùn)動，因而具有向心加速度，需要向心力．（2）如果轉(zhuǎn)彎時內(nèi)外軌一樣高，則由外軌對輪緣的彈力提供向心力，這樣，鐵軌和車輪極易受損．（3）如果轉(zhuǎn)彎處外軌略高于內(nèi)軌，火車轉(zhuǎn)彎處鐵軌對火車的支持力不再是豎直向上的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力指向圓心，為火車提供一部分向心力，減輕了輪緣對外軌的擠壓．適當(dāng)設(shè)計(jì)內(nèi)外軌的高度差，火車以規(guī)定的速度行駛時，轉(zhuǎn)彎需要的向心力幾乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．2．拱形橋汽車以速度v過半徑為R的弧形（凸形或凹形）橋時受力如圖甲、乙所示，在最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）處，由重力G和支持力FN的合力提供向心力．在最高點(diǎn)處，F(xiàn)N＝G－eq\f(mv2,R)，在最低點(diǎn)處，F(xiàn)N＝G＋eq\f(mv2,R).3．離心運(yùn)動（1）定義：物體沿切線飛出或做逐漸遠(yuǎn)離的運(yùn)動．（2）原因：向心力突然消失或外力突然減?。?、火車轉(zhuǎn)彎問題1．當(dāng)火車在平直軌道上勻速行駛時，思考下列問題：（1）火車受幾個力作用？（2）這幾個力的關(guān)系如何？答案：（1）火車受重力、支持力、牽引力、摩擦力及空氣阻力．（2）這幾個力的合力為零，其中重力和支持力合力為零，牽引力和摩擦力及空氣阻力的合力也為零．2．在火車轉(zhuǎn)彎時火車的受力情況會有何不同呢？結(jié)合所學(xué)知識討論分析，火車所受的合力如何？答案：轉(zhuǎn)彎時需要向心力，而在平直軌道前行不需要．根據(jù)受力分析得：需提供一個向心力（效果力），火車在豎直方向受力平衡，其合力在水平方向指向內(nèi)側(cè)，用以提供向心力．3．火車車輪的輪緣和鐵軌之間擠壓的后果會怎樣？應(yīng)該如何解決這一實(shí)際問題？答案：（1）由于火車質(zhì)量、速度比較大，故所需向心力也很大．這樣的話，輪緣和鐵軌之間的擠壓作用力將很大，導(dǎo)致的后果是鐵軌容易損壞，輪緣也容易損壞．（2）解決方法：讓轉(zhuǎn)彎處外軌比內(nèi)軌高，使鐵軌對火車的支持力不再是豎直向上，此時重力和支持力不再平衡，它們的合力指向“圓心”，提供向心力，從而減輕鐵軌和輪緣的擠壓．4．為什么火車在轉(zhuǎn)彎時，通常要求以規(guī)定的速度通過呢？答案：（1）當(dāng)v＝v0，F(xiàn)向＝F合時內(nèi)外軌道對火車兩側(cè)車輪輪緣都無壓力．（2）當(dāng)v＞v0，F(xiàn)向＞F合時外軌道對外側(cè)車輪輪緣有向里的壓力．（3）當(dāng)v＜v0，F(xiàn)向＜F合時內(nèi)軌道對內(nèi)側(cè)車輪輪緣有壓力．要使火車轉(zhuǎn)彎時損害最小，應(yīng)以規(guī)定速度轉(zhuǎn)彎，此時內(nèi)外軌道對火車兩側(cè)車輪輪緣都無壓力．火車軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差由轉(zhuǎn)彎半徑與火車速度決定．若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛速度為v，則下列說法中正確的是（）．①當(dāng)以速度v通過此彎路時，火車重力與軌道支持力的合力提供向心力②當(dāng)以速度v通過此彎路時，火車重力、軌道支持力和外軌對輪緣彈力的合力提供向心力③當(dāng)速度大于v時，輪緣擠壓外軌④當(dāng)速度小于v時，輪緣擠壓內(nèi)軌A．①③B．①④C．②③D．②④答案：A解析：火車轉(zhuǎn)彎時，若重力和軌道支持力的合力充當(dāng)向心力，即有mgtanθ＝meq\f(v2,r)成立時（v為規(guī)定行駛速度），火車輪緣對外軌和內(nèi)軌均無擠壓；當(dāng)行駛速度大于v時，重力和軌道支持力的合力不足以提供向心力，輪緣擠壓外軌，反之，輪緣將擠壓內(nèi)軌，由以上分析知，選項(xiàng)A正確．1．彎道的特點(diǎn)在實(shí)際的火車轉(zhuǎn)彎處，外軌高于內(nèi)軌，若火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即，如圖所示，則.其中R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度．2．明確圓周平面雖然外軌高于內(nèi)軌，但整個外軌是等高的，整個內(nèi)軌是等高的．因而火車在行駛的過程中，重心的高度不變，即火車重心的軌跡在同一水平面內(nèi)．故火車的圓周平面是水平面，而不是斜面．即火車的向心加速度和向心力均是沿水平面而指向圓心．3．速度與軌道壓力的關(guān)系（1）當(dāng)火車行駛速度v等于規(guī)定速度v0時，所需向心力僅由重力和彈力的合力提供，此時內(nèi)外軌道對火車無擠壓作用．（2）當(dāng)火車行駛速度v與規(guī)定速度v0不相等時，火車所需向心力不再僅由重力和彈力的合力提供，此時內(nèi)外軌道對火車輪緣有擠壓作用，具體情況如下：①當(dāng)火車行駛速度v＞v0時，外軌道對輪緣有側(cè)壓力．②當(dāng)火車行駛速度v＜v0時，內(nèi)軌道對輪緣有側(cè)壓力．二、豎直面上的圓周運(yùn)動1．汽車過拱形橋時，汽車靜止在橋頂與通過橋頂時受力情況是否相同？答案：不相同，汽車靜止在橋頂或通過橋頂，雖然都受到重力和支持力，但前者這兩個力的合力為零，后者這兩個力的合力不為零．2．汽車過拱橋橋頂時，可認(rèn)為是圓周運(yùn)動模型，那么汽車過拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？答案：汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下．3．汽車過拱形橋橋頂時，運(yùn)動有什么特點(diǎn)？答案：（1）動力學(xué)方程由牛頓第二定律G－N＝meq\f(v2,R)解得N＝G－meq\f(v2,R)＝mg－meq\f(v2,R)（2）汽車處于失重狀態(tài)汽車具有豎直向下的加速度，N＜mg，對橋的壓力小于重力．這也是為什么橋一般做成拱形的原因．（3）汽車在橋頂運(yùn)動的最大速度為eq\r(Rg)根據(jù)動力學(xué)方程可知，汽車行駛速度越大，汽車對橋面的壓力越小，當(dāng)汽車的速度為eq\r(Rg)時，壓力為零，這時汽車保持在橋頂運(yùn)動的最大速度，等于或超過這個速度，汽車將離開橋頂，做平拋運(yùn)動．4．汽車通過凹形橋最低點(diǎn)時，汽車對橋的壓力為什么比汽車的重力大呢？答案：汽車通過凹形橋最低點(diǎn)時，汽車具有豎直向上的加速度，N＞mg，對橋的壓力大于重力．一輛質(zhì)量m＝2.0t的小轎車，駛過半徑R＝90m的一段圓弧形橋面，重力加速度取g＝10m/s2，求：（1）若橋面為凹形，汽車以20m/s的速度通過橋面最低點(diǎn)時，對橋面壓力是多大？（2）若橋面為凸形，汽車以10m/s的速度通過橋面最高點(diǎn)時，對橋面壓力是多大？（3）汽車以多大速度通過凸形橋面頂點(diǎn)時，對橋面剛好沒有壓力？答案：（1）2.89×104N（2）1.78×104N（3）30m/s甲解析：（1）汽車通過凹形橋面最低點(diǎn)時，在水平方向受到牽引力F和阻力f，在豎直方向受到橋面向上的支持力N1和向下的重力G＝mg，如圖甲所示．圓弧形軌道的圓心在汽車上方，支持力N1與重力G＝mg的合力為N1－mg，這個合力就是汽車通過橋面最低點(diǎn)時的向心力，即F＝N1－mg，由向心力公式知：N1－mg＝meq\f(v2,R).解得橋面的支持力大小為N1＝mg＋meq\f(v2,R)＝2.89×104N，根據(jù)牛頓第三定律，汽車對橋面最低點(diǎn)的壓力大小是2.89×104N.乙（2）汽車通過凸形橋面最高點(diǎn)時，在水平方向受到牽引力F和阻力f，在豎直方向受到豎直向下的重力G＝mg和橋面向上的支持力N2，如圖乙所示．圓弧形軌道的圓心在汽車的下方，重力G＝mg與支持力N2的合力為mg－N2，這個合力就是汽車通過橋面頂點(diǎn)時的向心力，即F＝mg－N2，由向心力公式知：mg－N2＝meq\f(v2,R)，解得橋面的支持力大小為N2＝mg－meq\f(v2,R)＝1.78×104N，根據(jù)牛頓第三定律，汽車在橋的最高點(diǎn)時對橋面壓力的大小為1.78×104N.（3）設(shè)汽車速度為v′時，通過凸形橋面頂點(diǎn)時對橋面壓力為零．根據(jù)牛頓第一定律，這時橋面對汽車的支持力也為零，汽車在豎直方向只受到重力G作用，重力G＝mg就是汽車駛過橋頂點(diǎn)時的向心力，即F＝mg，由向心力公式知mg＝eq\f(v′2,mR)解得：v′＝eq\r(gR)＝30m/s，即汽車以30m/s的速度通過橋面頂點(diǎn)時，對橋面剛好沒有壓力．1．輕繩模型如圖所示，細(xì)繩系的小球或在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動的小球，在最高點(diǎn)時的臨界狀態(tài)為只受重力，則，則.在最高點(diǎn)時：（1）時，拉力或壓力為零．（2）v＞時，物體受向下的拉力或壓力．（3）v＜時，物體不能達(dá)到最高點(diǎn)．即繩類的臨界速度為.2．輕桿模型如圖所示，在細(xì)輕桿上固定的小球或在管形軌道內(nèi)運(yùn)動的小球，由于桿和管能對小球產(chǎn)生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的條件是在最高點(diǎn)的速度大于或等于零，小球的受力情況為：（1）v=0時，小球受向上的支持力FN=mg.（2）0＜v＜時，小球受向上的支持力0＜FN＜mg.（3）v=時，小球除受重力之外不受其他力．（4）v＞時，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大．即桿類的臨界速度為.三、勻速圓周運(yùn)動的處理方法1．試推導(dǎo)圓錐擺運(yùn)動中，繩與中心軸的夾角滿足cosα＝eq\f(g,lω2).答案：根據(jù)牛頓第二定律mgtanα＝m（lsinα）ω2可推得cosα＝eq\f(g,lω2).2．試根據(jù)上面的式子，分析細(xì)繩與豎直中心軸的夾角與什么因素有關(guān)？與小球的質(zhì)量有什么關(guān)系？答案：由cosα＝eq\f(g,lω2)可知繩與中心軸的夾角跟圓錐擺的角速度和繩長有關(guān)，跟物體的質(zhì)量無關(guān)．3．圓錐擺運(yùn)動的周期如何求出？答案：mgtanα＝m（lsinα）ω2＝m（lsinα）（eq\f(2π,T)）2得T＝2πeq\r(\f(lcosα,g)).長為L的細(xì)線，拴一質(zhì)量為m的小球，一端固定于O點(diǎn)，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動（這種運(yùn)動通常稱為圓錐擺運(yùn)動），如圖所示．?dāng)[線L與豎直方向的夾角是α，求：（1）線的拉力F；（2）小球運(yùn)動的線速度的大?。唬?）小球運(yùn)動的角速度及周期．答案：（1）eq\f(mg,cosα)（2）eq\r(gLtanαsinα)（3）eq\r(\f(g,Lcosα))2πeq\r(\f(Lcosα,g))解析：做勻速圓周運(yùn)動的小球受力如圖所示，小球受重力mg和繩子的拉力F.因?yàn)樾∏蛟谒矫鎯?nèi)做勻速圓周運(yùn)動，所以小球受到的合力指向圓心O′，且是水平方向．由平行四邊形定則得小球受到的合力大小為mgtanα，線對小球的拉力大小為.由牛頓第二定律得mgtanα=.由幾何關(guān)系得r=Lsinα.所以，小球做勻速圓周運(yùn)動線速度的大小為.小球運(yùn)動的角速度：.小球運(yùn)動的周期：.1．指導(dǎo)思路凡是做勻速圓周運(yùn)動的物體一定需要向心力，而物體所受外力的合力充當(dāng)向心力，這是處理該類問題的理論基礎(chǔ)．2．解題步驟（1）明確研究對象，對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖．（2）找出物體做勻速圓周運(yùn)動的圓心，求出Fn.（3）列方程：Fn＝mrω2＝meq\f(v2,r)＝mvω.（4）解方程求出結(jié)果．3．幾種常見的勻速圓周運(yùn)動的實(shí)例圖表：圖形受力分析力的分解方法滿足的方程及向心加速度或mgtanθ＝mlsinθ·ω2a＝gtanθ或mgtanθ＝mrω2a＝gtanθ或mgtanθ＝mrω2a＝gtanθa＝mBg/m四、離心運(yùn)動1．做勻速圓周運(yùn)動的物體，突然間外力消失，物體沿切線方向飛出．思考為什么物體會沿切線方向飛出而不是沿著其他方向飛出呢？答案：這是由于慣性的作用．做勻速圓周運(yùn)動的物體，總是想沿著切線方向運(yùn)動，只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運(yùn)動．一旦失去外力作用，物體由于慣性將沿著物體速度的方向飛出．2．結(jié)合生活實(shí)際，舉出物體做離心運(yùn)動的例子．你能說出這些例子中離心運(yùn)動是怎樣發(fā)生的嗎？答案：（1）離心運(yùn)動的例子：①汽車轉(zhuǎn)彎②洗衣機(jī)脫水③棉花糖④魔盤游戲⑤轉(zhuǎn)動的砂輪打磨工件時脫落顆粒的運(yùn)動⑥制作無縫鋼管（2）①汽車轉(zhuǎn)彎時的離心運(yùn)動發(fā)生的原因：當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎時速度過大，所需要的向心力增大，而地面能夠提供的最大靜摩擦力不足以提供向心力時，會因離心運(yùn)動造成交通事故．②洗衣機(jī)脫水時水滴做離心運(yùn)動的原因：當(dāng)洗衣機(jī)脫水筒轉(zhuǎn)速增大時，濕衣服里的水滴速度增大，所需要的向心力增大，當(dāng)衣服對水的附著力不足以提供水滴所需要的向心力時，會因離心運(yùn)動造成水滴和衣服的分離．3．討論并思考當(dāng)提供的外力F大于、等于、小于所需的向心力時，物體做什么樣的運(yùn)動？答案：如圖所示（1）提供的外力F超過所需的向心力，物體靠近圓心運(yùn)動．（2）提供的外力F恰好等于所需的向心力，物體做勻速圓周運(yùn)動．（3）提供的外力F小于所需的向心力，物體做遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動．（4）當(dāng)F＝0時物體將沿切線方向飛出，做直線運(yùn)動．4．日常生活中，我們見到的哪些現(xiàn)象（或機(jī)械）是離心運(yùn)動的應(yīng)用？答案：①離心干燥器②離心沉淀器③洗衣機(jī)的脫水筒④用離心機(jī)把體溫計(jì)的水銀柱甩回玻璃泡內(nèi)．體溫計(jì)盛水銀的玻璃泡上方有一段非常細(xì)的縮口，測定體溫后，升到縮口上方的水銀柱因受縮口的阻力不能自動縮回玻璃泡內(nèi)，在醫(yī)院里將許多用過的體溫計(jì)裝入水袋內(nèi)放在離心機(jī)上，轉(zhuǎn)動離心機(jī)，可把水銀柱甩回到玻璃泡內(nèi)．當(dāng)離心機(jī)轉(zhuǎn)得比較慢時，縮口的阻力F足以提供所需的向心力，縮口上方的水銀柱做圓周運(yùn)動；當(dāng)離心機(jī)轉(zhuǎn)得很快時，阻力F不足以提供所需的向心力，水銀柱做離心運(yùn)動而回到玻璃泡內(nèi)．在日常生活中我們通常是用手將體溫計(jì)中的水銀柱甩回玻璃泡內(nèi)的．5．日常生活中，我們見到的哪些現(xiàn)象（或機(jī)械）中是防止出現(xiàn)離心運(yùn)動的？答案：例如汽車、火車在轉(zhuǎn)彎時若速度超過允許范圍，就會因離心現(xiàn)象而造成嚴(yán)重交通事故．高速轉(zhuǎn)動的砂輪，若轉(zhuǎn)速過大，使構(gòu)成砂輪的砂粒間的作用力不足以提供其所需的向心力，就會引起砂輪某些組成部分的離心現(xiàn)象而造成事故．一根長l＝0.625m的細(xì)繩，一端拴一質(zhì)量m＝0.4kg的小球，使其在豎直平面內(nèi)繞繩的另一端做圓周運(yùn)動，求：（1）小球通過最高點(diǎn)時的最小速度；（2）若小球以速度v＝3.0m/s通過圓周最高點(diǎn)時，繩對小球的拉力多大？若此時繩突然斷了，小球?qū)⑷绾芜\(yùn)動？答案：（1）2.5m/s（2）1.76N沿切線方向飛出做離心運(yùn)動解析：（1）如圖所示，此時小球的速度就是通過圓周最高點(diǎn)的最小速度v0，由向心力公式有：mg＝meq\f(v\o\al(2,0),l)，解得：v0＝eq\r(gl)＝2.5m/s.（2）小球通過圓周最高點(diǎn)時，若速度v大于最小速度v0，所需的向心力F向?qū)⒋笥谥亓，這時繩對小球要施拉力F，如圖所示，此時有F＋mg＝meq\f(v2,l)，解得：F＝meq\f(v2,l)－mg＝1.76N．若在最高點(diǎn)時繩子突然斷了，則提供的向心力mg小于需要的向心力meq\f(v2,l)，小球?qū)⒀厍芯€方向飛出做離心運(yùn)動（實(shí)際上是平拋運(yùn)動）．1．物體做離心運(yùn)動的條件：做圓周運(yùn)動的物體，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足夠的向心力時，物體做遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動，即離心運(yùn)動．2．離心運(yùn)動的受力特點(diǎn)：物體做離心運(yùn)動并不是物體受到離心力作用，而是由于外力不能提供足夠的向心力．所謂“離心力”也是由效果命名的，實(shí)際并不存在．3．合外力與向心力的關(guān)系（如圖）（1）若F合＝mrω2或F合＝eq\f(mv2,r)，物體做勻速圓周運(yùn)動，即“提供”滿足“需要”．（2）若F合＞mrω2或F合＞eq\f(mv2,r)，物體做半徑變小的近心運(yùn)動，即“提供過度”，也就是“提供”大于“需要”．（3）若F合＜mrω2或F合＜eq\f(mv2,r)，則外力不足以將物體拉回到原軌道上，而做離心運(yùn)動，即“需要”大于“提供”或“提供不足”．（4）若F合＝0，則物體做直線運(yùn)動．1．下列說法中正確的是（）．A．在光滑水平面上汽車無法轉(zhuǎn)彎B．火車轉(zhuǎn)彎時受到的支持力提供向心力C．火車轉(zhuǎn)彎時的速度大于轉(zhuǎn)彎時規(guī)定速度，則內(nèi)軌受壓力D．圓錐擺所受的合外力就是向心力答案：AD解析：光滑面沒有摩擦力，無法產(chǎn)生向心力，故A正確；火車轉(zhuǎn)彎時是合力提供向心力，故B錯誤；火車轉(zhuǎn)彎時速度大于規(guī)定速度，外軌受壓力，故C錯誤；圓錐擺所受的合外力就是向心力，故D正確．2．如圖所示，一質(zhì)量為m的物塊，在細(xì)線的拉力作用下，沿較大的