第08講拓展二：直線(xiàn)與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問(wèn)題）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一：直線(xiàn)與平面所成角1、斜線(xiàn)在平面上的射影：過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)垂足及斜足的直線(xiàn)叫做斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影.注意：斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線(xiàn)的射影上.如圖，直線(xiàn)是平面的一條斜線(xiàn)，斜足為，斜線(xiàn)上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線(xiàn)是斜線(xiàn)在平面上的射影.2、直線(xiàn)和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線(xiàn)與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線(xiàn)與平面所成角的范圍為；（2）直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；（3）直線(xiàn)與平面平行（或直線(xiàn)在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.結(jié)論：直線(xiàn)與平面所成角的范圍為.3、傳統(tǒng)法之定義法（如右圖）：具體操作方法：①在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面引（通常都是找+證明）垂線(xiàn)；②連接斜足與垂足；③則斜線(xiàn)與射影所成的角，就是直線(xiàn)與平面所成角.4、傳統(tǒng)法之等體積法求垂線(xiàn)段法(如右圖）①利用等體積法求垂線(xiàn)段的長(zhǎng)；②5、利用向量法求線(xiàn)面角設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）二、題型精講題型01求直線(xiàn)與平面所成角（定值）（傳統(tǒng)法）【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，則與平面所成的正弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022秋·上海閔行·高三上海市文來(lái)中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為_(kāi)_________.【典例3】（2022春·廣東江門(mén)·高一江門(mén)市第一中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．【典例4】（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體的棱長(zhǎng)均相等，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與底面所成角的正弦值．【變式1】（2022春·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，底面，，且，是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值是________．【變式2】（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，.(1)證明：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.題型02求直線(xiàn)與平面所成角（定值）（向量法）【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)最小時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知直角梯形，，，，，四邊形為正方形，且平面⊥平面．(1)求證：⊥平面；(2)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【典例3】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．A． B． C． D．【變式2】（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，，，為棱上一點(diǎn).(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，且平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【變式3】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱中，，，在線(xiàn)段上，且.(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.題型03易錯(cuò)題型利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值（忽視最后正弦轉(zhuǎn)余弦）【典例1】（2023·高二單元測(cè)試）已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)到平面的距離為，則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為_(kāi)_________.【典例3】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.（1）證明：；（2）若，，設(shè)為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.【變式1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，則和平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為_(kāi)_____.【變式3】（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，，.(1)證明：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．題型04求直線(xiàn)與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）四棱錐，平面，底面是菱形，，平面平面.(1)證明：⊥；(2)設(shè)為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.【典例2】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓錐的底面上有四點(diǎn)，且圓弧，點(diǎn)在線(xiàn)段上，若．(1)證明：平面；(2)若為等邊三角形，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)，記與平面所成的角為，求的最小值．【典例3】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn)，是二面角的平面角.(1)證明：點(diǎn)在上；(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦的最大值.【變式1】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)若是棱的中點(diǎn)，求的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.【變式2】（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，可以通過(guò)以直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上．(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦最大值．題型05已知直線(xiàn)與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┤鐖D所示空間直角坐標(biāo)系中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，直線(xiàn)和底面所成角為，則點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足（

）A． B． C．D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，，互相垂直，，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與平面所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形中，，與相交于點(diǎn)，平面，，，．若直線(xiàn)與平面所成的角為45°，則＝________．【變式1】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【變式3】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末）已知幾何體如圖所示，其中四邊形，，均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在上，若直線(xiàn)與平面所成的角為45°，則___________.題型06直線(xiàn)與平面所成角中的探索性問(wèn)題【典例1】（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)都相等，，，為棱BC的中點(diǎn)，在棱上運(yùn)動(dòng)，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校考期中）如圖，在三棱柱中，平面，，是的中點(diǎn)．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)在直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出CP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，