正態(tài)分布專(zhuān)題訓(xùn)練一、知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一正態(tài)曲線與正態(tài)分布1_(x_］lJ21?我們稱(chēng)fx)=^2n廠2。2,x￡R，其中"WR,o>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱(chēng)其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線.若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fx),則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?N(",02).特別地，當(dāng)"=0，0=1時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若X?Ng02)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(XWx)為圖中區(qū)域A的面積，而P(aWXWb)為區(qū)域B的面積.1A-0%JK0XPuhx知識(shí)點(diǎn)二正態(tài)曲線的特點(diǎn)對(duì)xWR,fx)>0,它的圖象在x軸的上方.2?曲線與x軸之間的面積為1.3.4.5.3.4.5.6.7.曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=g對(duì)稱(chēng).曲線在x=g處達(dá)到峰值二注.當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸.當(dāng)O一定時(shí)，曲線的位置由“確定，曲線隨著“的變化而沿x軸平移，如圖①.當(dāng)“一定時(shí)，曲線的形狀由O確定，O較小時(shí)曲線“瘦高”表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；O較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識(shí)點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3。原則P(g—oWXW”+o)~0.6827；P(g—2oWXW”+2o)~0.9545；P(g—3oWXW”+3o)~0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(—-,+-),但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間［"—3o,〃+3o］內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(“，02)的隨機(jī)變量X只?。?—3o,〃+3o］中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3。原則.二、題型歸納考點(diǎn)一：正態(tài)分布曲線【例1】下列是關(guān)于正態(tài)曲線f（x）=（xGR）性質(zhì)的說(shuō)法:曲線關(guān)于直線x二卩對(duì)稱(chēng)，且恒位于x軸上方；曲線關(guān)于直線x二b對(duì)稱(chēng)，且僅當(dāng)xg［-3q,3b］時(shí)才位于x軸上方；曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，因此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);曲線在x二卩處位于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左、右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；曲線的位置由卩確定，曲線的形狀由6確定.TOC\o"1-5"\h\z其中說(shuō)法正確的是（）①④⑤B.②④⑤C.③④⑤D.①⑤【考點(diǎn)精練】（多選）甲、乙兩類(lèi)水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（卩,b2），N（卩Q2）,，其正態(tài)分布1122的密度曲線f（x）=「e-（2嚴(yán)，xGR，如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）2nbL甲1.99~01———3040.8①甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量卩］二0.4kg乙類(lèi)水果的質(zhì)量比甲類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于均值左右甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量比乙類(lèi)水果的平均質(zhì)量小乙類(lèi)水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)b2二1.99（多選）設(shè)X?N（u,b2），Y?N（u,b2），這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的112221P(XW。)WP(XW。)21對(duì)任意正數(shù)t,P(XWt)〉P(YWt)

對(duì)任意正數(shù)t,P（X〉t）〉P（Y〉t）（多選）下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個(gè)敘述中，正確的有（）曲線在x軸上方，且與x軸不相交當(dāng)X〉卩時(shí)，曲線下降，當(dāng)x〈卩時(shí)，曲線上升當(dāng)卩一定時(shí)，。越小，總體分布越分散，。越大，總體分布越集中曲線關(guān)于直線x=u對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x=u時(shí)，位于最高點(diǎn)（多選）一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說(shuō)法中不甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小丙科總體的平均數(shù)最小乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同考點(diǎn)二：正態(tài)分布（小題）【例2-1】若隨機(jī)變量X?N（3q2）,且P（X>5）=0.2，則P（1<X<5）等于（）A.0.6B.0.5A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3xe（-a,+a），則參數(shù)卩，b的值分【例2-2xe（-a,+a），則參數(shù)卩，b的值分別是（）A.卩=3，b=2B.卩=-3，b=2C.卩=3，【考點(diǎn)精練】1.若隨機(jī)變量X?N（3,b2）,且P（X>5）=0.2，則P（l<X<5）=（A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3某軍工企業(yè)為某種型號(hào)的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布N（1,32）,從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間［4,7］內(nèi)的概率為（）（注：若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（y,b2）,則P（卩—b<g<卩+b）u68.3%，P(卩-2b<g<卩+2b)u95.4%)A.31.7%B.27.18%C.13.A.31.7%B.27.18%C.13.55%D.4.5%在某市2020年3月份的高三線上質(zhì)量檢測(cè)考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N（98,100）.已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大TOC\o"1-5"\h\z約排在全市第()A.1500名B.1700名C.4500名D.8000名4.隨機(jī)變量匕服從正態(tài)分布N(l,4)，若P(2<g<3)=a，則P(￡<-1)+P(1<￡<2)=()111A.B.——aC?a+0.003aD?—a222考點(diǎn)三：正態(tài)分布的應(yīng)用(解答題)【例3】哈爾濱市香坊區(qū)為了了解全區(qū)1萬(wàn)名學(xué)生的漢字書(shū)寫(xiě)水平，在全區(qū)范圍內(nèi)進(jìn)行了漢字聽(tīng)寫(xiě)考試，發(fā)現(xiàn)其成績(jī)服從正態(tài)分布N(76,49)，現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將所得成績(jī)整理后，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.估算該校50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)X(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)求這50名學(xué)生成績(jī)?cè)冢?0,100］的人數(shù)；現(xiàn)從該校50名考生成績(jī)?cè)冢?0,100］的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，該兩人成績(jī)排名(從高到低)在全區(qū)前228名的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：X?N(pq)，貝yP(^—g<X<p+G)二0.6826，P(p—2a<X<卩+2a)?0.9544，P(p—3a<X<p+3a)u0.9974【考點(diǎn)精練】1?某市在實(shí)施垃圾分類(lèi)的過(guò)程中，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的A類(lèi)社區(qū)(全市共320個(gè))中隨機(jī)抽取了50個(gè)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)，得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過(guò)8噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū).垃圾量112.5,15.5)115.5,18.5)118.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)^7.5,30.5)[30.5,33.5)頻數(shù)56912867估計(jì)該市A類(lèi)社區(qū)這一天垃圾量的平均值X.若該市A類(lèi)社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N(R,27.04)，其中卩近似為50個(gè)樣本社區(qū)的平均值X(精確到0.1噸，估計(jì)該市A類(lèi)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù).根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個(gè)社區(qū)中，這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個(gè)跟蹤調(diào)查其垃圾來(lái)源.設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：若X服從正態(tài)分布N(PQ2),則P(卩—a<X<p+a)u0.6827，P(卩-2a<X<卩+2a)u0.9545，P(卩-3a<X<卩+3a)u0.9973.

某學(xué)校工會(huì)積極組織該校教職工參與“日行萬(wàn)步”活動(dòng)界定日行步數(shù)不足4千步的人為“不健康生活方式者”，不少于10千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般生活方式者”?某日，學(xué)校工會(huì)隨機(jī)抽取了該校400名教職工，統(tǒng)計(jì)他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示f頻率藺1距022怡怡)5m02h!■kiF丄-ioooou0246810n14（1）求400名教職工日行步數(shù)（千步）的樣本平均數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)E（千步）服從正態(tài)分布N（pQ2），其中卩為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差b的近似值為2.5，求該校被抽取的400名教職工中日行步數(shù)（千步）E丘（2,4.5）的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.若工會(huì)從該校教職工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)金額每人0元；“一般生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人100元；“超健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人200元.求工會(huì)慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（PQ2）,則PS—b<g<y+b)u0.6827，P(卩-2o<g<+2o)q0.9545“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義法治的價(jià)值追求考試作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用?某單位準(zhǔn)備通過(guò)考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄用298名職員，其中275個(gè)高薪職位和23個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.本次招聘考試的成績(jī)服從正態(tài)分布?考試后考生成績(jī)的部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：考試平均成績(jī)是180分，360分及其以上的高分考生有30名.（1）求最低錄取分?jǐn)?shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）考生甲的成績(jī)?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？請(qǐng)說(shuō)明理由.參考資料：①當(dāng)X?N（y,b2）時(shí)，令y=X—^，則Y?N（0,1）?②當(dāng)Y?N（0,1）時(shí)，P（Y<2.17人0.985，bP（Y<1.28）u0.900，P（Y<1.09）u0.862，P（Y<1.04）u0.851.2021年遼寧、廣東、河北、湖北、湖南、江蘇、福建、重慶等八省市將全部采用“3+1+2”的新高考模式.“3”指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，這三門(mén)科目考試參加統(tǒng)一高考，由教育部考試中心統(tǒng)一命題，以原始成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)；“1”指的是物理和歷史中的一科，考生必須從物理和歷史兩個(gè)科目中選擇一科，由各省自主命題，以原始成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī).為了讓考生更好的適應(yīng)新高考模式，某省幾個(gè)地市進(jìn)行了統(tǒng)一的高考適應(yīng)性考試.在所有入考考生中有30000人選考物理，考后物理成績(jī)X（滿分100分）服從正態(tài)分布N(55,102).分別估計(jì)成績(jī)?cè)冢?5,65］和75分以上者的人數(shù)；(運(yùn)算過(guò)程中精確到0.0001，最后結(jié)果保留為整數(shù))附1：P(y-o<X5+0)a0.6827，P(卩―2a<X“+2q)=0.9545，P(卩―3a<X"+3q)=0.9973.X—u本次考試物理成績(jī)X服從正態(tài)分布N(u,o2).令耳二，貝⑷?N(0,1)，若本次考試物理成績(jī)的前o25%劃定為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)物理優(yōu)秀等級(jí)劃線分大約為多少分？附2：若耳?N(0,1)，則P(H<0.8)a0.75.2021年3月24日，某些國(guó)際服裝企業(yè)因抵制新疆棉花聲明在中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)上引發(fā)熱議對(duì)此，中國(guó)外交部發(fā)言人25日表示，中國(guó)光明磊落，中國(guó)人民友善開(kāi)放，但中國(guó)民意不可欺、不可違某記者隨機(jī)采訪了100名群眾，調(diào)查群眾對(duì)此事件的看法，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，抽取的100名群眾的年齡頻率分布直方圖如圖所示.求這100名受訪群眾年齡的平均數(shù)X(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代