一類偏積分微分方程的二階差分格式

1.關(guān)于二者正則性方程在這項研究中，我們研究了以下有限差分格式：。(其中核β(t)=t-1/2/Γ(1/2),在t=0點是奇異的)0≦x≦1,0≦t≦T,滿足如下邊界條件:和初始條件:問題(1.1)-(1.3)常出現(xiàn)在帶有粘彈性流體模型及帶有記憶功能的熱傳導(dǎo)物質(zhì).它的齊次方程曾被Sanz-Serna研究,它是介于標(biāo)準(zhǔn)熱傳導(dǎo)(拋物)方程和波動(雙曲)方程之間的一類方程.實際上,積分算子I1/2將每一個(局部可積的)函數(shù)f(t)(t>0),映射為如下函數(shù):滿足下列性質(zhì)(見):因此π-1/2I1/2能看成不定積分算子的平方根,通過運用分?jǐn)?shù)次計算的理論(見),可以定義微分算子d=d/dt的平方根D1/2:在(1.1)的齊次方程兩邊運用D1/2可得:因此方程(1.1)的齊次方程可被看作介于方程:Du=auxx與D2i=buxx(a,b為正常數(shù))之間的一類方程.近年來,國內(nèi)外有很多人研究了這類方程.陳傳淼、和Wahlbin采用向后Euler格式,空間方向采用線性有限元,積分項通過內(nèi)積求積技巧進(jìn)行離散,得到解的正則性條件及誤差估計.-Marcos研究了一類非線性的積分微分方程,采用了一階時間全離散差分格式.Mclean,使用了Euler和二階向后差分格式,空間方向用Galerkin有限元方法,并給出了問題(1.1)-(1.3)的正則性估計.Sanz-Serna也研究了這類問題,在時間方向,他采用了向后Euler格式和一階卷積求積逼近積分項,對光滑與非光滑的初始值導(dǎo)出了相應(yīng)的誤差估計.徐大考慮了Euler和Crank-Nicolson格式和一階、二階卷積求積,得到了帶權(quán)的誤差估計.由于時間離散必須保留前面所有的值,它將要求大量的內(nèi)存,為了克服這些困難,黃元清提出了一種迭代格式,從而減少了大量的計算和內(nèi)存.Sloan,建議減少求積區(qū)間,使用高階的求積公式.本文運用二階向后差分格式進(jìn)行時間離散,空間方向采用有限二階差分格式,對積分項采用二階卷積求積.由于方程的解在t=0不光滑,導(dǎo)致誤差估計在整個過程都不能達(dá)到時間的二階精度.全文中,我們假設(shè)附注1.對充分光滑v(x)及f(x,t),(1.1)-(1.3)存在唯一的解,并且滿足下面的正則性.類似地,時間導(dǎo)數(shù)滿足:如果在(1.8),(1.9)中,選取適當(dāng)?shù)摩群蛂,就能得到如下正則性估計(‖·‖0為連續(xù)的L2模)(見的(7.12)):全文按如下安排:第二節(jié)介紹數(shù)值格式,第三節(jié)討論數(shù)值格式的穩(wěn)定性,第四節(jié)給出誤差估計,及一些歸納性的附注.最后一節(jié)給出數(shù)值例子,數(shù)值結(jié)果與我們的理論分析十分吻合.2.階積分近似我們給出如下網(wǎng)格xj=jh,j=0,1,…,J,其中h=1/J(J是正整數(shù)),時間步長記為k,給出時間的一個劃分tn=nk,n=0,1,…,N,(N=[T/k]),記近似u(xj,tn),定義二階向后差分為:我們介紹以下二階積分近似,運用二階卷積積分公式(見)其中βp是下列級數(shù)的系數(shù):采用校正積分權(quán)wn0以保證積分能達(dá)到二階精度,因此積分公式(2.2)對多項式1準(zhǔn)確成立,即:定義以下差分記號:則(1.1)-(1.3)的離散格式可以寫成如下形式:當(dāng)n≥2時即當(dāng)n=1時即其中為了后面的需要,我們收集了差分計算的一些記號和結(jié)論.用記號Un(n=0,1,…,N)表示RJ-1中的向量,即Un表示向量().在分析過程中,如遇到U0和UJ,我們定義U0=UJ=0.如(V1,V2,…,VJ-1),(W1,W2,…,WJ-1)為RJ-1中的向量,我們規(guī)定:容易驗證下面的等式成立(見):3.穩(wěn)定性本節(jié)給出離散格式(2.4)-(2.6)的穩(wěn)定性.首先由Cauchy不等式很容易得到下述引理.引理3.1.當(dāng)U0=UJ=0時有:2)當(dāng)0≤n≤N,0≤m≤N時:證明.同理可得故證畢.引理3.2.如果實值序列{a0,a1,…,an,…}滿足在開球域D={z∈C:|z|<1}內(nèi)是解析的.則對任意正整數(shù)N,任意序列(V0,V1,V2,…,VN)∈RN+1有當(dāng)且僅當(dāng):證明.見[3,p27;8,命題3.5].容易驗證β(t)為正類型核,即,對于Res>0.當(dāng)|z|<1時,有,因此,得到,對于|z|<1.發(fā)生函數(shù),滿足引理3.2的條件.下面給出格式的穩(wěn)定性.定理3.3.如果按照(2.4)-(2.6)定義,當(dāng)k=O(h2)時,那么證明.當(dāng)m=1,2時,記,由定義很容易驗證故由(3.3),對2≤n≤N求和得因此對2≤n≤N有當(dāng)n≥2時,在(2.4.1)的兩邊同時乘以,并對j(1≤j≤(J-1))求和可得當(dāng)n=1時,在式(2.4.2)的兩邊同時乘以,并對j(1≤j≤(J-1))求和可得故當(dāng)n≥2時由(2.8),先交換求和次序,再對每個固定的j,由引理3.2可將上式等號的右邊第一項化為因此由(3.5)及引理3.2和上式可得整理得假設(shè),則進(jìn)一步得到從而得到當(dāng)N≥2時:當(dāng)N=1時,由(3.7)得即不等式是由基本不等式及引理3.1得<δ2U1,U1〉≤0.因此由于wn0=O(k1/2n-1/2)(見[4,定理2.4.(1)])(1≤n≤N),可得由(3.9)、(3.10)及(3.11)即得.證畢.4.當(dāng)n2時,解析定理推導(dǎo),當(dāng)n2時,當(dāng)n2時,當(dāng)n2時,重新解釋,重新確定,得到了上下方型的假設(shè),并確定了上下方方程的數(shù)值解這一節(jié)將研究離散格式(2.4)-(2.6)的誤差估計.首先給出ε(uxx)(tn)=(E(uxx)-I1/2uxx)(tn)界,其中E(φ)(tn)在(2.2)中被定義.引理4.1.如果β(t)=t-1/2/Γ(1/2),則對n≥1有證明.見[8,引理7.2].引理4.2.若uxx是0≤t≤T上實的,連續(xù)可微的函數(shù),且uxxtt在0<t<T上連續(xù)可積,則存在一個僅僅依賴于T的正常數(shù)C,滿足:證明.從假設(shè)(1.7)得到當(dāng)n=1時,當(dāng)n≥2時,其中第二個不等式運用了積分中值定理(tn-1≤ξ≤tn)由(4.3)-(4.5)及引理4.1即得.證畢.定理4.3.假設(shè)u為問題(1.1)-(1.3)的解,(U0,…,UN)(N=[T/k])是滿足(2.4)-(2.6)的數(shù)值解,對充分光滑的v(x)及f(x,t),u滿足u∈C((0,T];,進(jìn)一步假設(shè)問題(1.1)-(1.3)的解滿足假設(shè)條件(1.7),當(dāng)k=O(h2)時證明.令,其中,則當(dāng)n≥2時,而故其中當(dāng)n=1時,其中根據(jù)定理3.3,可得由帶積分余項的Taylor展開可得,對一切x(0≤x≤1)均有:當(dāng)n≥3時,由上述兩式可得(1≤j≤J-1)當(dāng)n=2時由上述兩式可得(1≤j≤J-1)當(dāng)n=1時故(1≤j≤J-1)對一切1≤j≤J-1,n≥3,由假設(shè)條件(1.7)均有即同理可得因此很容易得到很顯然,對一切0≤t≤T和1≤j≤J-1有如下一致估計故由引理4.2及(2.3),對一切1≤n≤N和1≤j≤J-1有故根據(jù)(4.7),(4.8),(4.10)即得.證畢.從上述結(jié)論可知,雖然在時間,空間方向上均采用了二階離散格式,卻并不能得到所期待的二階精度,但與一階離散格式的結(jié)果(見)相比,它的精度有了明顯的提高.附注3.對格式作稍微的調(diào)整能夠使它適合類似如(1.1)的弱奇異方程,其中積分項由代替,通過平行的分析就能得出上述方程數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性.5.偏積分微分方程假設(shè)這一節(jié),我們給出求積公式中的βp及數(shù)值例子.在做數(shù)值計算過程中,遇到的最主要的困難是βp的確定,Sanz-Serna中已經(jīng)給出一階離散格式,得到了一階卷積求積格式的系數(shù)cp其中.而且下面我們將確定βp,其中βp是下列級數(shù)的系數(shù)通過比較系數(shù)可得例1.考慮如下偏積分微分方程假設(shè)u(x,t)=x(1-x)(t3/2+1),可知,我們利用離散格式(2.4)-(2.6),選擇k=h2,這時誤差階應(yīng)為O(k3/2+h2).取步長分別為k=0.01,h=0.1,對于t=0.2,