沿直線分布電荷體系電場線的解析解

靜電場的電路是由無數(shù)條空間曲線組成的曲線簇。單個點電橋的電橋分布以點電橋為中心，但多個點電橋現(xiàn)場的電橋不能直接重疊。因為電橋不是重疊的。為了了解電場線的分布，通常通過定性排列方法繪制了幾個點的電場線，并描述了近似繪制的電場線。通常，為了確定整個電場線的分布，尤其是分析方程，我們通常很難執(zhí)行分析表。首先，我們需要通過點電橋的電勢疊加獲得靜電場的電勢分布，然后通過電勢梯度獲得場的強度向量，然后根據(jù)點電勢梯度的方向獲得場的強度向量。根據(jù)特定直線裝置的原理，通過適當?shù)淖兞孔儞Q，我們可以獲得該方程的分析解，即整個電場線的方程。相應地，計算機可以通過函數(shù)圖形軟件繪制相應的電場線分布圖。1電場線是唯一除點電荷外的最簡單帶電體系為兩個點電荷構(gòu)成的體系.設兩個點電荷分別為q1和q2,彼此相距2a,其分布見圖1,其電勢函數(shù)為V(x?y)=14πε0q1√(x+a)2+y2+14πε0q2√(x-a)2+y2(1)對上式求電勢梯度即可得電場強度矢量:E=-ΔV(x?y)=-?V?xi-?V?yj=Exi+Eyj(2)電場線的斜率(切線方向)為電場強度的方向,即電場線應滿足微分方程:dydx=EyEx=-?V?y-?V?x,?V?ydx-?V?xdy=0(3)對式(1)計算?V?x和?V?t后,代入式(3),經(jīng)整理后可得q1[ydx-(x+a)dy][(x+a)2+y2]3/2+q2[ydx-(x-a)dy][(x-a)2+y2]3/2=0(4)上式可進一步化為q1d(x+ay)y[1+(x+ay)2]3/2+q2d(x-ay)y[1+(x-ay)2]3/2(5)令k1=x+ay?k2=x-ay,則有dk1[1+k21]3/2+q2q1dk2[1+k22]3/2=0(6)上式積分后的通解為k1√1+k21+q2q1k2√1+k22=C(7)即電場線方程為單參數(shù)C的曲線簇x+a√(x+a)2+y2+q2q1x-a√(x-a)2+y2=C1+q2q1≤C≤1+q2q1|)(8)給定某個參數(shù)C,即可得到關(guān)于x軸對稱的兩條電場線.在無電荷的各場點(電場強度為零的點除外),電場線是唯一的;而從點電荷出發(fā)(或止于點電荷)的電場線則有無數(shù)條.注意到式(7)中k1=x+ay?k2=x-ay的幾何意義是電場線上某點(x,y)分別與點電荷q1和q2兩條連線斜率的倒數(shù),利用這一性質(zhì)將有助于確定從點電荷出發(fā)的某條特定電場線相對應的參數(shù)C.下面根據(jù)電場線簇方程(8)分別討論幾個特例.1.1特定電場線相應參數(shù)c對于電偶極子,q1和q2為等量異號,設q1=-q2=q,則電場線簇方程為x+a√(x+a)2+y2-x-a√(x-a)2+y2=C(0≤C≤2)(9)作為確定某特定電場線相應參數(shù)C的例子,我們討論從正電荷q為起點垂直于x軸出發(fā)的電場線,k1→0,k2→-∞,由式(7)可知k1√1+k21→0?k2√1+k22→-1?C=1,因此該條電場線的方程為x+a√(x+a)2+y2-x-a√(x-a)2+y2=1上式中令x=0,可解得y=±√3a,即為該電場線與y軸的截距,圖2為該條電場線的示意圖.圖3則為式(9)通過Mathematica軟件畫出的熟知的電偶極子的電場線圖,其中取a=2;對于圖3中從正電荷q為起點沿與x軸成θ角出發(fā)的各條電場線相應的曲線簇參數(shù)C見表1.1.2有明確值a2c2的電場線設兩個電量相等的正電荷q1=q2=q,(對于兩個等量負電荷,電場線分布不變,只是方向相反)電場線簇方程為x+a(x+a)2+y2+x-a(x-a)2+y2=C(-2≤C≤2)(10)對于過坐標原點O(x=0,y=0)的電場線,可得C=0,即x+a(x+a)2+y2+x-a(x-a)2+y2=0由此可得y=0(-a<x<a),即從-a到a之間的x軸;x=0(-∞<y<+∞),即整個y軸的電場線.需要指出的是該帶電體系中坐標原點處的電場強度為零,電場線在此處可交匯,且交匯線為非光滑的折線,故其切線方向不唯一.圖4則為相應于式(10)通過Mathematica軟件畫出的等量同號電荷體系的電場線圖.1.3不等量同號荷體系的電場線對于不等量異號或不等量同號的帶電體系可作類似討論.設q1=2q,q2=-q的不等量異號電荷體系,其電場線簇方程為x+a(x+a)2+y2-x-a2(x-a)2+y2=C-12≤C≤32)(11)考慮從正電荷2q為起點,垂直于x軸出發(fā)的電場線,可得C=0.5,即x+a(x+a)2+y2-x-a2(x-a)2+y2=12若取a=2,相應于上式的電場線見圖5.從圖5中可見該電場線包含一條以負電荷-q為端點沿正向x軸的直線y=0(a<x<+∞),另有從2q出發(fā)的上下兩條曲線與x軸相交匯.由于在交匯點有多條電場線,而該點上又不存在電荷,因此該交匯點的電場強度必為零.設該點的坐標為x(>a),根據(jù)點電荷的電場強度公式應有2q(x+a)2-q(x-a)2=0(12)式(12)的解為x=(3+22)a=11.66.圖6為取a=2時通過Mathematica軟件畫出的相應于式(11)的不等量異號電荷體系的電場線圖.而圖7則為取a=2,q1=2q,q2=q時的不等量同號電荷體系的電場線分布圖,其中電場強度為零的點位于x軸上x=(3-22)a=0.343處,在該處也有多條電場線相交匯.2i=1nvix-aidy[x-aidy]3/2+3/2設有n個點電荷位于xy平面,q1,q2,…,qi,…,qn,第i個點電荷qi的坐標為(x=ai,y=bi),其相應電勢函數(shù)為V(x?y)=14πε0∑i=1nqi(x-ai)2+(y-bi)2(13)計算電勢梯度并代入電場線應滿足的微分方程(3),經(jīng)整理后可得∑i=1nqi[(y-bi)dx-(x-ai)dy][(x-ai)2+(y-bi)2]3/2=0(14)上述微分方程的解析求解一般比較困難,下面限于討論一種特殊情況,即所有n個點電荷都位于一條直線上(不妨設都位于x軸上),此時式(14)中的所有bi=0(i=1,2,…,n),即有∑i=1nqi[ydx-(x-ai)dy][(x-ai)2+y2]3/2=0(15)上式可化為∑i=1nqid(x-aiy)[1+(x-aiy)2]3/2=0(16)令ki=x-aiy(i=1?2???n),其幾何意義為電場線上某點(x,y)與點電荷qi連線的斜率倒數(shù),則式(16)的通解為∑i=1nqiki1+ki2=C(17)即n個沿直線分布點電荷體系的普遍電場線簇方程為∑i=1nqi(x-ai)(x-ai)2+y2=C(18)下面作為例子討論在物理學中有重要應用的線性電四極子和線性電八極子.2.1y+lx2+y2+y2+y2+y2+y2+y2+x-lx-l2+y2+k-l線性電四極子的電荷分布如圖8所示,即q1=q,a1=-l;q2=-2q,a2=0;q3=q,a3=l根據(jù)式(18),其電場線簇方程為F4(x?y)=x+l(x+l)2+y2-2xx2+y2+x-l(x-l)2+y2=C(-2≤C≤2)(19)對于從正電荷q1為起點,垂直于x軸出發(fā)的電場線,k1→0,k2→-∞,k3→-∞,由此可得C=1;而對于從正電荷q3為起點,垂直x軸出發(fā)的電場線,k1→+∞,k2→+∞,k3→0,由此可得C=-1.圖9為相應于方程F4(x,y)=±1的兩條電場線的示意圖.而圖10則是通過Mathematica軟件畫出的線性電四極子的電場線圖.2.2電八極子電場線的分布線性電八極子由兩個線性電四極子組成(設彼此相距2a),其電場線簇方程為F8(x?y)=x+2l+a(x+2l+a)2+y2-2(x+l+a)(x+l+a)2+y2+x+a(x+a)2+y2+x-a(x-a)2+y2-2(x-l-a)(x-l-a)2+y2+x-2l-a(x-2l-a)2+y2=C(-2≤C≤2)(20)圖11為相應于l=2,a=1時的電八極子電場線分布圖;圖12則為取l=2,a=0時,即兩個電四極子緊靠在一起時形成的電八極子的電場線圖.3均勻帶均勻帶電場線的等長位置及其分布本文限于討論電荷連續(xù)分布的直線帶電體系.設電荷線密度為λ,其電荷分布如圖13所示.根據(jù)n個點電荷帶電體系的電場線簇方程,在式(18)中將qi換為dq=λda,求和號換為積分號,則有∫L/2-L/2λ(x-a)da(x-a)2+y2=C′(21)對于均勻分布的帶電體系,λ=Q/L為常數(shù),則可完成式(21)的積分,即得電場線簇方程為(x+L2)2+y2-(x-L2)2+y2=C(-L≤C≤L)(22)注意到(x+L2)2+y2與(x-L2)2+y2分別為場點(x,y)到端點A-L2?0與端點BL2?0的距離,方程(22)則表示一動點到兩定點A與B的距離之差為常數(shù)C,即為雙曲線簇,因此方程(22)可化為標準雙曲線方程4x2C2-4y2L2-C2=1(0＜C2＜L2)(23)對于過坐標原點O(x=0,y=0)的電場線,可得C=0,即(x+L2)2+y2-(x-L2)2+y2=0(24)上式的解為x=0(-∞<y<+∞),即為沿y軸的直線.對于過端點A-L2?0和端點BL2?0的電場線,可分別得C=L和C=-L,即(x+L2)2+y2-(x-L2)2+y2=±L(25)上式的解為y=0(-∞<x<-L/2),(L/2<x<+∞)即兩條分別從端點A出發(fā)沿x軸負向延伸和從端點B出發(fā)沿x軸正向延伸的直線.圖14為取L=4時的均勻帶電直線的電場線圖.當L→∞時,方程(22)可化為x=C(-∞<C<+∞),即位于x軸的無限長均勻帶電直線其電場線分布為垂直于x軸的直線簇.接下來討論兩段均勻帶電直線的電場線,設其中電荷線密度為λ1的帶電直線長為L1,電荷線密度為λ2的帶電直線長為L2,兩者之間相距2a,如圖15所示.類似式(13)的討論可知其電場線簇應為λ1[(x+a+L1)2+y2-(x+a)2+y2]+λ2[(x-a)2+y2-(x-a-L2)2+y2]=C′(26)對于λ1=-λ2=λ,L1=L2=L的情形,即兩段帶異號電荷的等長直線,則有λ[(x+a+L)2+y2-(x+a)2+y2-(x-a)2+y2+(x-a-L)2+y2]=C′(27)若令L→0為小量,有f(L)=(x+a+L)2+y2≈f(L=0)+LdfdL|L=0=(x+a)2+y2+L(x+a)(x+a)2+y2則式(27)可化為λLx+a(x+a)2+y2-x-a(x-a)2+y2=C′注意到λL=Q為帶電直線上的電荷,令C=C′/Q,上式即回到電偶極子的電場線方程(9).因此對于兩段帶等量異號電荷直線的電場線大體應接近于電偶極子的電場線分布.圖16是通過Mathematica軟件畫出的相應于式(27)的電場線分布圖.圖17則為相應于兩段帶等量同號電荷直線的電場線分布圖,它接近于兩個等量同號點電荷的電場線分布.本文通過求解靜電場電場線所滿足的微分方程,得到了相應電場線的嚴格解析解,原則上解決了任意的(分立或連續(xù))一維沿直線分布帶電體系的電場線問題.由此可以對各種沿直線分布帶電體系的電場線進行詳細的研究(限于篇幅本文僅簡略討論了電偶極子,線性電四極子和電八極子等例子).與用數(shù)值求解電場線的近似方法相比,本文所得到的解析結(jié)果更加準確、全面.它可以對任意一條具體的電場線(由參數(shù)C所確定)進行解析研究.值得指出的是,在一般教材中所繪的電場線圖中,接近電場強度為零的點附近的電場線通常有意無意略去不畫.本文則對這些電場強度為零的特殊點的電場線給出了精確的走向,從而能夠更好地了解相應電場的分布特性.通過對電場線解析解及利用計算機所繪電場線分布圖的研究,我們認為教科書上常見的“電場線始于正電荷,終于負電荷;電場線既不相交也不中斷”的說法其實并不嚴格和完整,在上述說法中還需要附加說明電場強度為零的點應除外.實際上電場強度為零的點可以認為等價于無窮遠點,因此電場線可以交匯于電場強度為零的點.此外,在利用計算機作電場線分布圖時,由于已知解析的電場線簇方