人教版(2023版)初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第1課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)知能演練提升一、能力提升1.下列關(guān)于拋物線y=-x2+2的說(shuō)法正確的是()A.拋物線開口向上B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)C.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大D.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)2.若正比例函數(shù)y=mx(m≠0),y隨x的增大而減小,則它和二次函數(shù)y=mx2+m的圖象大致是()3.已知點(diǎn)(-9,y1),(4,y2),(-2,y3)都在拋物線y=ax2+m(a>0)上,則()A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y34.若二次函數(shù)y=ax2+c當(dāng)x取x1,x2(x1≠x2)時(shí),函數(shù)值相等,則當(dāng)x取x1+x2時(shí),函數(shù)值為()A.a+c B.a-c C.-c D.c5.若拋物線y=ax2+k(a≠0)與y=-2x2+4關(guān)于x軸對(duì)稱,則a=,k=.

6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+3與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線交拋物線y=13x2于點(diǎn)B,C,則BC的長(zhǎng)為.7.已知點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)均在拋物線y=x2-1上,下列說(shuō)法:①若y1=y2,則x1=x2;②若x1=-x2,則y1=-y2;③若0<x1<x2,則y1>y2;④若x1<x2<0,則y1>y2,其中正確的是.(填序號(hào))

8.已知函數(shù)y1=-13x2,y2=-13x2+3和y3=-13x2-1,y4=-13x(1)分別畫出它們的圖象;(2)說(shuō)出各個(gè)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);(3)試說(shuō)明函數(shù)y2=-13x2+3,y3=-13x2-1,y4=-13x2+6的圖象分別由拋物線y1=-139.已知直線y=2x與拋物線y=ax2+3相交于點(diǎn)(2,b).(1)求a,b的值;(2)若直線y=2x上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)為A,拋物線y=ax2+3的頂點(diǎn)為B,求S△AOB.★10.如圖,二次函數(shù)y=-12x2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D-3,92,與x軸交于(1)求c的值;(2)設(shè)點(diǎn)C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點(diǎn),直線AC將四邊形ABCD的面積二等分,試證明線段BD被直線AC平分,并求此時(shí)直線AC的函數(shù)解析式.二、創(chuàng)新應(yīng)用★11.某大劇場(chǎng)的上部為能夠旋轉(zhuǎn)的拱形鋼結(jié)構(gòu),并且具有開啟、閉合功能,如圖①.舞臺(tái)頂部橫剖面拱形可近似看作拋物線的一部分,其中舞臺(tái)高度為1.15m,臺(tái)口高度為13.5m,臺(tái)口寬度為29m,如圖②.以ED所在直線為x軸,過(guò)拱頂點(diǎn)A且垂直于ED的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.①②(1)求拱形拋物線的函數(shù)解析式;(2)舞臺(tái)大幕懸掛在長(zhǎng)度為20m的橫梁MN上,其下沿恰與舞臺(tái)面接觸,求大幕的高度(精確到0.01m).

知能演練·提升一、能力提升1.D∵y=-x2+2,∴拋物線開口向下,對(duì)稱軸為y軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小,∴A,B,C都不正確,D正確,故選D.2.A∵正比例函數(shù)y=mx(m≠0),y隨x的增大而減小,∴該正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、第四象限,且m<0.∴二次函數(shù)y=mx2+m的圖象開口向下,且與y軸交于負(fù)半軸.綜上所述,符合題意的只有A選項(xiàng).故選A.3.C4.D因?yàn)閽佄锞€y=ax2+c的對(duì)稱軸為y軸,再由拋物線的對(duì)稱性知x1和x2互為相反數(shù),所以x1+x2=0,把x=0代入y=ax2+c得y=c.故選D.5.2-46.6在函數(shù)y=ax2+3中,當(dāng)x=0時(shí),y=3,故點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3).把y=3代入y=13x2,解得x=±3,故點(diǎn)B坐標(biāo)為(-3,3),點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,3),BC=67.④若y1=y2,則x1=x2或x1=-x2,所以①與②均錯(cuò)誤;若0<x1<x2,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大,則y1<y2,所以③錯(cuò)誤;若x1<x2<0,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,則y1>y2,所以④是正確的.8.解(1)函數(shù)圖象如下圖,從上到下依次為函數(shù)y4=-13x2+6,y2=-13x2+3,y1=-13x2,y3=-13x2(2)如下表:拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y1=-13x向下y軸(0,0)y2=-13x2+向下y軸(0,3)y3=-13x2-向下y軸(0,-1)y4=-13x2+向下y軸(0,6)(3)分別由拋物線y1=-13x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度、向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度、向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到9.解(1)因?yàn)辄c(diǎn)(2,b)在直線y=2x上,所以b=4.又因?yàn)辄c(diǎn)(2,b)即點(diǎn)(2,4)在拋物線y=ax2+3上,所以4a+3=4.所以a=14(2)在y=2x中,令y=2,則x=1,所以A(1,2).又因?yàn)閽佄锞€y=14x2+3的頂點(diǎn)B為所以S△AOB=12OB·|xA|=12×3×1=10.分析(1)將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出c的值;(2)要證明線段BD被直線AC平分,從“直線AC將四邊形ABCD的面積二等分”來(lái)尋求解題思路,不難發(fā)現(xiàn)S△ABC=S△ADC.通過(guò)面積法可得公共邊AC上的兩條高相等,再通過(guò)全等可得線段BD被直線AC平分.解(1)因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)D-3,92,所以-12×(-3(2)如圖,過(guò)點(diǎn)D,B分別作直線AC的垂線,垂足分別為E,F,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)M,因?yàn)锳C將四邊形ABCD的面積二等分,即S△ABC=S△ADC,所以DE=BF.又因?yàn)椤螪ME=∠BMF,∠DEM=∠BFM,所以△DEM≌△BFM.所以DM=BM,即AC平分BD.因?yàn)閏=6,所以拋物線的解析式為y=-12x2+6所以A(-23,0),B(23,0).因?yàn)镸是BD的中點(diǎn),所以M32設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,由直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,M,可得-解得k所以直線AC的解析式為y=3310x+二、創(chuàng)新應(yīng)用11.解(1)由題設(shè)可知,OA=13.5+1.15=14.65(m),OD=292(m),則A(0,14.65),C29設(shè)拱形拋物線的解析式為y=ax2+c,則14解得a=-54841,c=14.6