在發(fā)明中學(xué)習(xí)

線性代數(shù)概念引入之四:矩陣運(yùn)算

李尚志

中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

在發(fā)明中學(xué)習(xí)李尚志

1.線性函數(shù)例1

在平面上建立直角坐標(biāo)系.將平面上每個(gè)點(diǎn)P繞原點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α到點(diǎn)P'.寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)P‘的坐標(biāo)(x',y')之間的函數(shù)關(guān)系式.矩陣乘法

1.線性函數(shù)例1在平面上建立直角坐標(biāo)系.(2)將x軸繞原點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到直線lα.平面上任一點(diǎn)P關(guān)于直線lα的對(duì)稱點(diǎn)為P'.寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)P'的坐標(biāo)(x',y')之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)將x軸繞原點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到直線lα.平在發(fā)明中學(xué)習(xí)線代數(shù)概念引入之四矩陣運(yùn)算課件在發(fā)明中學(xué)習(xí)線代數(shù)概念引入之四矩陣運(yùn)算課件

在旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式中,x’是x,y的線性函數(shù)(一次齊次函數(shù))

可以表示成可以直接寫f1=(cosα,-sinα).

類似地有在旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式一般地,任意一個(gè)n元線性函數(shù)可以由它的一次項(xiàng)系數(shù)組成的行向量(a1,…,an)來(lái)表示,稱為這個(gè)線性函數(shù)f的坐標(biāo).可直接寫f=(a1,…,an)n個(gè)自變量看成一個(gè)整體X,寫成列向量

函數(shù)f在自變量X上的作用可以看作行f與列X相乘:

一般地,任意一個(gè)n元線性函數(shù)2.線性映射的矩陣f:自變量

因變量旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱2.線性映射的矩陣一般地,考慮映射f:X=Y=如果每個(gè)yi

都是x1,…,xn

的一個(gè)線性函數(shù)決定,則映射f:X

Y由m個(gè)行向量fi決定.f稱為線性映射.寫成看作矩陣A=與列X相乘的結(jié)果.在發(fā)明中學(xué)習(xí)線代數(shù)概念引入之四矩陣運(yùn)算課件3.線性映射的合成:Y=Z=是X的m個(gè)線性函數(shù)f1,…,fn

的線Z=CX=BAX,C=BA的第i行元素分別乘A的各行相加得到.性組合,仍是X的線性函數(shù),其坐標(biāo)的坐標(biāo)(即A的各行)的相應(yīng)的線性組合

3.線性映射的合成:是X的m個(gè)線性函數(shù)f1,…,fn

4.利用分塊運(yùn)算理解矩陣乘法1、AB=A(B1,,B2,…,Bk),A依次乘B的各列。例.對(duì)可逆方陣A，解矩陣方程AX=B.將X,B按列分塊,A(X1,…,Xk)=(B1,…,Bk)即(AX1,…,AXk)=(B1,…,Bk),AXj=Bj(j=1,2,…,k)相當(dāng)于同時(shí)解k個(gè)有公共系數(shù)矩陣A的線性方程.同時(shí)對(duì)k個(gè)增廣矩陣(ABj)做同樣的初等行變換?？梢院喜⒌揭黄鹱鞒醯刃凶儞Q:(AB)(IX），X=A-1B。2、A=(A1,…,An)=x1A1+…+xnAn.4.利用分塊運(yùn)算理解矩陣乘法3、行變換:BAB列變換:BBAA：施工方案，B：被施工的材料3、行變換:BAB

例.

5.初等變換與初等矩陣解。BAB與IAI經(jīng)過(guò)相同的行變