向量組的線(xiàn)性相關(guān)性(一)線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)

(二)關(guān)于線(xiàn)性組合與線(xiàn)性相關(guān)的定理

齊次線(xiàn)性方程組可以寫(xiě)成向量形式x1

1

x2

2

xn

n

0我們關(guān)心齊次線(xiàn)性方程組除零解外是否還有非零解

即是否存在一組不全為零的數(shù)k1

k2

kn使關(guān)系式k1

1

k2

2

kn

n

0成立

舉例(一)線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)定義3

7(向量組的線(xiàn)性相關(guān)性)

對(duì)于向量組

1

2

s

如果存在一組不全為零的數(shù)k1

k2

ks

使關(guān)系式

k1

1

k2

2

ks

s

0成立

則稱(chēng)向量組

1

2

s線(xiàn)性相關(guān)

如果上式當(dāng)且僅當(dāng)k1

k2

ks

0時(shí)成立

則稱(chēng)向量組

1

2

s線(xiàn)性無(wú)關(guān)

設(shè)

1

(3

6)T

2

(

2

4)T

則有2

1

3

2

0

所以

1

2線(xiàn)性相關(guān)

舉例(一)線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)定義3

7(向量組的線(xiàn)性相關(guān)性)

對(duì)于向量組

1

2

s

如果存在一組不全為零的數(shù)k1

k2

ks

使關(guān)系式

k1

1

k2

2

ks

s

0成立

則稱(chēng)向量組

1

2

s線(xiàn)性相關(guān)

如果上式當(dāng)且僅當(dāng)k1

k2

ks

0時(shí)成立

則稱(chēng)向量組

1

2

s線(xiàn)性無(wú)關(guān)

設(shè)

1

(1

2)T

2

(

1

1)T

則當(dāng)且僅當(dāng)k1

k2

0時(shí)才有

k1

1

k2

2

0所以

1

2線(xiàn)性無(wú)關(guān)

定理3

5(線(xiàn)性相關(guān)的判斷法)

對(duì)于m維列向量組

1

2

n

其中

j

(a1j

a2j

amj)T(j

1

2

n)則

1

2

n線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是

以

1

2

n為列向量的矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)n

推論1

設(shè)n個(gè)n維向量

j

(a1j

a2j

anj)(j

1

2

n)

則向量組

1

2

n線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是

推論2

當(dāng)向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)

此向量組線(xiàn)性相關(guān)

例1

證明Rn中的初始單位向量組

1

2

n線(xiàn)性無(wú)關(guān)

因?yàn)閨In|

1

0

所以

1

2

n線(xiàn)性無(wú)關(guān)

因?yàn)楫?dāng)

0時(shí)

對(duì)任意k

0

都有k

0成立

而當(dāng)

0時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng)k

0時(shí)k

0才成立

例2

一個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)

而一個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)

例3

判斷向量組

1

(1

2

1

5)

2

(2

1

1

1)

3

(4

3

1

11)是否線(xiàn)性相關(guān)

對(duì)矩陣(

1T

2T

3T)施以初等變換化為階梯形矩陣

解

秩(

1T

2T

3T)

2

3

所以向量組

1

2

3線(xiàn)性相關(guān)

例4

判斷向量組

1

(1

2

0

1)

2

(1

3

0

1)

3

(

1

1

1

0)是否線(xiàn)性相關(guān)

對(duì)矩陣(

1T

2T

3T)施以初等變換化為階梯形矩陣

解

矩陣(

1T

2T

3T)的秩為3

恰等于向量組中向量的個(gè)數(shù)

故向量組

1

2

3線(xiàn)性無(wú)關(guān)

例5

證明

如果向量組

線(xiàn)性無(wú)關(guān)

則向量組

亦線(xiàn)性無(wú)關(guān)

設(shè)有一組數(shù)k1

k2

k3使

k1(

)

k2(

)

k3(

)

0成立

整理得

(k1

k3)

(k1

k2)

(k2

k3)

0

因?yàn)橄蛄拷M

線(xiàn)性無(wú)關(guān)

故

證

所以該方程組只有零解k1

k2

k3

0

從而

線(xiàn)性無(wú)關(guān)

提示該方程組的系數(shù)行列式D

2

0

定理3

6

如果向量組中有一部分向量(稱(chēng)為部分組)線(xiàn)性相關(guān)

則整個(gè)向量組線(xiàn)性相關(guān)

此定理也可敘述為

線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組中任何一部分組皆線(xiàn)性無(wú)關(guān)

例6

含零向量的向量組線(xiàn)性相關(guān)

因零向量線(xiàn)性相關(guān)

由定理3

6可知

該向量組也線(xiàn)性相關(guān)

(二)關(guān)于線(xiàn)性組合與線(xiàn)性相關(guān)的定理定理3

7

向量組

1

2

s(s

2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是

其中至少有一個(gè)向量是其余s

1個(gè)向量的線(xiàn)性組合

舉例

設(shè)有向量組

1

(1

1

1

0)

2

(1

0

1

0)

3

(0

1

0

0)

因?yàn)?/p>

1

2

3

0

故

1

2

3線(xiàn)性相關(guān)

由

1

2

3

0可得

1

2

3

2

1

3

3

1

2

(二)關(guān)于線(xiàn)性組合與線(xiàn)性相關(guān)的定理定理3

7

向量組

1

2

s(s

2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是

其中至少有一個(gè)向量是其余s

1個(gè)向量的線(xiàn)性組合

舉例

設(shè)

1

(1

2)

2

(

1/2

2)

有

1

2

2

由此可得

1

2

2

0即

1

2線(xiàn)性相關(guān)

定理3

8

如果向量組

1

2

s

線(xiàn)性相關(guān)

而

1

2

s線(xiàn)性無(wú)關(guān)

則向量

可由向量組

1

2

s線(xiàn)性表示且表示法唯一

(二)關(guān)于線(xiàn)性組合與線(xiàn)性相關(guān)的定理定理3

7

向量組

1

2

s(s

2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是

其中至少有一個(gè)向量是其余s

1個(gè)向量的線(xiàn)性組合

定理3

8

如果向量組

1

2

s

線(xiàn)性相關(guān)

而

1

2

s線(xiàn)性無(wú)關(guān)

則向量

可由向量組

1

2

s線(xiàn)性表示且表示法唯一

舉例

任何一個(gè)向量

(a1

a2

an)都可由初始單位向量組

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

n

(0

0

1)唯一地線(xiàn)性表示

即

a1

1

a2

2

an

n舉例定理3

9

設(shè)有兩個(gè)向量組

1

2

s

(A)及

1

2

t

(B)向量組(B)可由向量組(A)線(xiàn)性表示

如果s

t

則向量組(B)線(xiàn)性相關(guān)

定理又可以敘述為

如果向量組(B)可由向量組(A)線(xiàn)性表示

且向量組(B)線(xiàn)性無(wú)關(guān)

則t

s

定理3

9

設(shè)有兩個(gè)向量組

1

2

s(A)及

1

2

t

(B)向量組(B)可由向量組(A)線(xiàn)性表示

如果s

t

則向量組(B)線(xiàn)性相關(guān)

推論

設(shè)向量組(A)與向量組(B)等價(jià)

如果(A)

(B)都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的

則s

t

證

(A)線(xiàn)性無(wú)關(guān)且可由(B)線(xiàn)性表示

則s

t

(B)線(xiàn)性無(wú)關(guān)且可由(A)線(xiàn)性表示

則t

s

于是s

t

作業(yè)3.3：

例3

判斷向量組

1

(1

2

1

5)