第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（模擬精練+真題演練）1．（2023·上海金山·上海市金山中學(xué)校考模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）19世紀美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量進制隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若（，），則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依題意，得，又，故．故選：B．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，有以下命題：①；②；③；④．其中正確命題的序號是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】因為，，所以，，所以，即：所以，故①正確，②錯誤；又因為，所以，所以，即：，所以，故③正確，④錯誤．故選：B.4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）18世紀數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級數(shù)得到了以下的結(jié)果：當很大時，（常數(shù)）.利用以上公式，可以估計的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意,所以,故選：C．5．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，所以，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.6．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，，若在上單調(diào)遞增，因為是上的增函數(shù)，則需使是上的增函數(shù)且，則且，解得.因為?，故是的必要不充分條件，故選：C.7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若方程有解，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】（當且僅當，也即時取等號）∴，故選：C.8．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】由知,結(jié)合，以及換底公式可知，，當且僅當，，即時等號成立，即時等號成立，故的最小值為，故選：B.9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）下列運算中正確的是（

）A．B．C．當時，D．若，則【答案】BC【解析】，A錯；，B正確；當時，，C正確；時，，所以，D錯．故選：BC．10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，現(xiàn)有下面四個命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】當時，由，可得，則，此時，所以A正確；當時，由，可得，則，所以B正確.故選：AB.11．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）的圖象如下所示．函數(shù)的圖象上有兩個不同的點，，則（

）A．， B．在上是奇函數(shù)C．在上是單調(diào)遞增函數(shù) D．當時，【答案】BCD【解析】對于A，由圖像可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，所以，因為經(jīng)過，所以，所以，，故A錯誤.對于B，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以在上是奇函數(shù)，故B正確.對于C，對于，由題意不妨令，則，因為，，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確.對于D，，因為，，所以，所以，當且僅當時等號成立，即當時，成立，故D正確.故選：BCD12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】令、，則、，在同一坐標系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，因為函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，所以，，解方程組，因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，則，，所以，當且僅當a=b=1時，等號成立，所以A、D錯誤，B、C正確.故選：BC13．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）設(shè)定義在上且，則______．【答案】【解析】因為，所以，，同理可得.故答案為：14．（2023·全國·模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當時，（為的導(dǎo)函數(shù)）；③函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，，因此滿足性質(zhì)①；若，則當時，，則，當時，，有，因此滿足性質(zhì)②；當時，，則，當時，，有，當時，，有，于是，，即函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，因此函數(shù)滿足性質(zhì)③，所以具有性質(zhì)①②③的函數(shù)可以為．故答案為：15．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，若，，則的最大值為__________．【答案】3【解析】因為，所以，.又，，所以，.因為，，根據(jù)基本不等式有，當且僅當，即，時等號成立，所以.則，所以的最大值為.故答案為：.16．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若，且，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，設(shè)，而為奇函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，因為，所以即為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因為，所以1，解得，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：17．（2023·全國·高三專題練習）求值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3＋log38－；(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；(10)2log32－log3＋log38－3log55；【解析】(1)原式.(2)(3)原式=.(4)原式==.(5)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(6)原式.(7)原式＝(8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝·＝·＝.(10)2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.18．（2023·全國·高三專題練習）（1）計算；（2）已知，求實數(shù)x的值；（3）若，，用a，b，表示．【解析】（1）原式=；（2）因為，所以，所以，所以x=109；（3）因為，所以，所以．19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的定義域；(2)當函數(shù)的值域為R時，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，令，即①，或②，或③，解①得：，解②得：，解③得：，所以定義域為；（2）因為的值域為R，故能取遍所有正數(shù)，由絕對值三角不等式，故，所以，故實數(shù)的取值范圍是.20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，有意義時的取值范圍為，其中為實數(shù)．(1)求的值；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最大值．【解析】（1）因為有意義時的取值范圍為，所以的解集為，所以和是方程的兩根．由韋達定理可得，解得．（2）由（1）知，，令，因為為增函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值21．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求常數(shù)的值；(2)當時，判斷的單調(diào)性；(3)若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，即，所以，故，則，當時，顯然不成立，經(jīng)驗證：符合題意；所以；（2）單調(diào)遞增由（1）知：，若，則，而，即，所以，故單調(diào)遞增.（3）由，令，所以，由（2）知：在上遞增，而在上遞減，所以在上遞減，則.又在區(qū)間上無解，故22．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)的定義域為，值域為，且函數(shù)為上的嚴格減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意有，得或，由且，則，又∵已知函數(shù)的定義域為，∴．為上的嚴格減函數(shù)，函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，有；函數(shù)的定義域為，值域為，則有且，說明是方程的兩個相異實數(shù)根，且，即方程在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)有兩相異實根．設(shè)，則有，解得，又因為，綜上可得：，即實數(shù)a的取值范圍為.1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故3．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，當時，，則.故選：C.4．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以.故選：D.6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C.7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故選：B.8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關(guān)于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】；．【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，