第03講冪函數(shù)與二次函數(shù)（模擬精練+真題演練）1．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項.故選：B.2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且在區(qū)間上恒成立，所以，解得或.故選：B3．（2023·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象可知：，.故選：C.4．（2023·廣東肇慶·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是。故選：D5．（2023·北京海淀·一模）設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知，，所以二次函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，故排除第一、二個函數(shù)圖象，當(dāng)時，該二次函數(shù)的對稱軸為，故第四個圖象也不滿足題意，當(dāng)時，該二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，故第三個函數(shù)圖象滿足題意.此時函數(shù)圖象過坐標(biāo)原點，故，解得，由于，故.故選：B6．（2023·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)若的最小值為6，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，的最小值大于或等于6.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則.由得；當(dāng)時，.由得.綜合可得.故選：C．7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知x，，滿足，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】令，，則，∴為奇函數(shù)．∵，∴．又∵，∴，∴，．又∵在R上單調(diào)遞增，∴，即．故選：B．8．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，，根據(jù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知，則，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，綜上.故選：D.9．（多選題）（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增.因為,所以，即，，所以．故A正確；令，則，故B錯誤；令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，于是有，故C正確；令，則，所以因為，故D錯誤．故選：AC.10．（多選題）（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】將點代入函數(shù)得：，則.所以，顯然在定義域上為減函數(shù)，所以A錯誤；，所以為偶函數(shù)，所以B正確；當(dāng)時，，即，所以C錯誤；當(dāng)若時，假設(shè)，整理得，化簡得，，即證明成立，利用基本不等式，，因為，故等號不成立，成立；即成立，所以D正確.故選：BD.11．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}【答案】BCD【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是，解得，A錯誤；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是，解得，B正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是，解得，C正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的充要條件是，解得，，故必要條件是m∈{m|m>1}，故D正確.故選：BCD.12．（多選題）（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）設(shè)二次函數(shù)的值域為，下列各值（或式子）中一定大于的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因為二次函數(shù)的值域為，所以，所以，解得，所以，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：令，則，故C錯誤；對于D：，，故D正確；故選：BD13．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為______．【答案】【解析】由二次函數(shù)的值域為得：解得：或（舍去）所以因為所以函數(shù)的值域為：故答案為：.14．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù)______.①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】由②知，函數(shù)可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)在上可以是減函數(shù)，由③結(jié)合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數(shù)，滿足②；，滿足③，所以.故答案為：15．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過該點，則_______________________．【答案】【解析】因為，所以，設(shè)冪函數(shù)，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，所以，因此，故答案為：16．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為__________.【答案】1【解析】已知方程有兩等根，即有兩等根，，解得；，得，是函數(shù)圖象的對稱軸.而此函數(shù)圖象的對稱軸是直線，，故，若在上的最大值為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，綜上，的最大值為1.故答案為：1.17．（2023·高三課時練習(xí)）已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根.(1)是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值.【解析】（1）假設(shè)存在實數(shù)，使得成立，一元二次方程的兩個實數(shù)根，，(不要忽略判別式的要求)，由韋達(dá)定理得，，但，不存在實數(shù)，使得成立.（2），要使其值是整數(shù)，只需要能被整除，故，即，，.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且函數(shù)的值域為.（1）求實數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）由題意知，，即，解得.（2）由在上恒成立，可化為在恒成立；令，由，可得，則在上恒成立.記，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.（3）方程有三個不同的實數(shù)根，可化為有三個不同根.令，則.當(dāng)時，且遞減，當(dāng)時，且遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，且遞增.設(shè)有兩個不同的實數(shù)根且.原方程有3個不同實數(shù)根等價于或.記，則或解得.綜上，實數(shù)k的取值范圍是.19．（2023·高三課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．【解析】因為函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不符題意，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，于是．因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，所以等價于或或，解得或，即.20．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域為R.(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意且，解得；（2）由（1），的對稱軸，因為在上不單調(diào)，所以，解得．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在區(qū)間上的值域為.(1)求實數(shù)的值；(2)若不等式

當(dāng)上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，根據(jù)的圖像有：當(dāng)時，在上的最小值，不符合，舍；當(dāng)時，在上的最小值或（舍），，，滿足題意；當(dāng)時，在上的最小值（舍），；（2）由(1)，，不等式為，即，令，則，

在時恒成立，令，是對稱軸為開口向上的拋物線，在時單調(diào)遞減，，，即k的取值范圍是；綜上，.22．（2023·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若且方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由已知可得.當(dāng)時，在上為增函數(shù)，所以，解得；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，所以，解得.由于，所以.（2）由（1）知，所以在上恒成立，即，因為，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以，即.所以求實數(shù)的范圍為.（3）方程化為，化為，且.令，則方程化為.作出的函數(shù)圖象因為方程有三個不同的實數(shù)解，所以有兩個根，且一個根大于0小于1，一個根大于等于1.設(shè)，記，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，或，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.1．（2013·浙江·高考真題）已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0【答案】A【解析】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先減后增，于是a>0，故選：A.2．（2016·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則“b＜0”是“的最小值與f(x)的最小值相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意知，最小值為．令，則，當(dāng)時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；當(dāng)時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．考點：充分必要條件．3．（2015·四川·高考真題）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【解析】時，拋物線的對稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時，即..由且得.當(dāng)時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B..4．（2015·陜西·高考真題）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（）A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上【答案】A【解析】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．5．（2015·湖北·高考真題）為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為.當(dāng)_________時，的值最小.【答案】．【解析】因為函數(shù)，所以分以下幾種情況對其進(jìn)行討論：①當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時，此時，，而，所以；③當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，在上遞減．當(dāng)時，取得最大值；④當(dāng)時，在區(qū)間上遞增，當(dāng)時，取得最大值，則在上遞減，上遞增，即當(dāng)時，的值最小．故答案為：．6．（2015·浙江·高考真題）已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.【解析】（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調(diào)，