基于改進反步遞推與黃金分割的新型控制

基于連續(xù)時間域的全參數(shù)自適應控制非線性系統(tǒng)的自適應控制一直是控制領域的研究熱點之一。研究結果表明，若系統(tǒng)滿足參數(shù)嚴反饋或純反饋結構，就可以用反步遞推(Backstepping)設計方法逐步構造出理想的系統(tǒng)控制函數(shù)。而基于微分幾何的非線性系統(tǒng)理論則可以判定一個系統(tǒng)本質上是否具有上述結構的幾何條件，并給出通過微分同胚進行坐標變換，將系統(tǒng)化為該結構的一般方法。反步遞推方法的優(yōu)點是：通過反向設計使能量函數(shù)和控制器的設計過程系統(tǒng)化、結構化；可以控制相對階為n的非線性系統(tǒng)，消除了經典無源性設計中相對階為1的限制。但是此方向的大多數(shù)研究成果集中在連續(xù)時間域范圍內，對于離散系統(tǒng)的研究成果并不多見。主要原因是：人們對離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定問題的理解遠沒有像對連續(xù)時間系統(tǒng)那樣深入，全局穩(wěn)定性結論只有當非線性滿足某種線性界的情況下才可以得到；對于連續(xù)系統(tǒng)非常有效的Lyapunov設計技術對離散時間非線性系統(tǒng)的自適應設計幾乎沒有什么用途，因為參數(shù)估計的增量不是線性地出現(xiàn)在Lyapunov函數(shù)的增量中。Yeh和Kokotovic首先將Backstepping方法用于參數(shù)不確定離散非線性系統(tǒng)自適應控制中。此后，Zhao和Kanellakopoulos等人采用不同于標準Backstepping方法的處理離散系統(tǒng)自適應控制的問題。可是基于Backstepping方法的控制器對大狀態(tài)初值，在過渡階段，系統(tǒng)未知參數(shù)失配時，往往需要較大的控制量，且控制量波動劇烈。這種情況往往會造成初始階段控制器難以啟動。因此有必要設計一種魯棒性能好，過渡過程平穩(wěn)的系統(tǒng)控制規(guī)律解決此類問題。文獻提出全參數(shù)自適應控制理論。該理論中的黃金分割自適應控制策略具有設計簡單、調試方便、魯棒性強、初始過渡過程平穩(wěn)等優(yōu)點。但該方法主要處理典型二階離散系統(tǒng)的控制問題。將離散系統(tǒng)Backstepping控制與黃金分割自適應控制有機結合可以兼顧兩種方法的長處，最終實現(xiàn)較好的控制效果。1系統(tǒng)輸入、輸出量考慮如下含參數(shù)不確定的離散時間嚴反饋非線性系統(tǒng)：其中,系統(tǒng)狀態(tài)變量;分別為系統(tǒng)的輸入、輸出量;為系統(tǒng)未知參數(shù)向量;αi(i=1,…,n)為已知p階非線性向量場,它具有無零漂性質,即且滿足Lipschitz條件:系統(tǒng)未知參數(shù)向量θ(k)處于一已知凸緊集Θ上，即：其中，kθ、kα為正常數(shù)。2黃金分割自適應控制器2.1虛擬控制法反步遞推（Backstepping）方法的基本思想是將復雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個子系統(tǒng)設計中間虛擬控制量，一直“后退”到整個系統(tǒng)，將它們集成起來完成整個控制律的設計。它的基本設計方法是從一個高階系統(tǒng)的內核開始（通常是系統(tǒng)的輸出量滿足的動態(tài)方程），設計虛擬的控制律保證內核系統(tǒng)的某種性能，如穩(wěn)定性、無源性等；然后對得到的虛擬控制律逐步修正算法，進而設計真正的控制器，實現(xiàn)系統(tǒng)的全局調節(jié)或跟蹤，使系統(tǒng)達到期望的性能指標。離散系統(tǒng)Backstepping控制方法首先對系統(tǒng)(1)的狀態(tài)作同胚變換：式中，βi為虛擬控制量?？扇缦逻M行設計：其中，為第i階系統(tǒng)未知參數(shù)向量估計值，估計誤差可記為：為表達方便，作如下定義：系統(tǒng)的控制律及閉環(huán)系統(tǒng)為：參數(shù)自適應算法為：其中，μi>0.對于投影算法有如下特性：文獻對上述算法閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能分析，此處不再贅述。2.2基于穩(wěn)定性分析的同胚變換為將黃金分割自適應控制引入到反步遞推過程中，考慮只進行n-2階Backstepping運算，此時得到n-2階系統(tǒng)的虛擬控制量βn-2，余下2階系統(tǒng)采用黃金分割自適應方法進行控制。根據(jù)反步遞推原理，在虛擬控制的作用下，第i階子系統(tǒng)的穩(wěn)定性與下一步的狀態(tài)變量zi+1有關，其本質是上一步調節(jié)誤差的補償量。在進行了n-2階反步遞推迭代后，對于由xn-1,xn所構成的二階子系統(tǒng)，考慮進行如下同胚變換：二階非線性離散對象的動力學過程可以用如下二階時變線性差分方程近似表示：其中，Z(k)、u(k)代表二階系統(tǒng)的輸出和輸入；λ1、λ2、β0為系統(tǒng)未知時變參數(shù)；w(k)為誤差項，通常情況下該項有界，滿足：根據(jù)全系數(shù)自適應控制理論，當采樣周期?t與最小等效時間常數(shù)Tmin之比滿足：時，對于穩(wěn)定對象，其系數(shù)λ1、λ2屬于有界閉凸集Ds:在進行系統(tǒng)設計時，可以將參數(shù)估計值投影在Ds上。定理1：對于二階離散系統(tǒng)(15)其系數(shù)λ1，λ2屬于閉凸集Ds。假設則由對象(15)和黃金分割自適應控制律：所組成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。其中：為系統(tǒng)未知參數(shù)的估計。過程中未知參數(shù)估計采用如下投影算法：其中：P為投影算子。對于系統(tǒng)(15)進入穩(wěn)態(tài)后，可以推出系統(tǒng)誤差為：綜合2.1、2.2節(jié)，離散非線性系統(tǒng)反步遞推黃金分割自適應控制系統(tǒng)結構如圖1所示。不確定離散非線性系統(tǒng)控制過程分為兩部分：Backstepping過程和黃金分割自適應控制過程。Backstepping過程首先對系統(tǒng)作同胚變換。根據(jù)穩(wěn)定性準則設計虛擬控制和參數(shù)自適應律，然后對得到的虛擬控制律采用逐步修正算法。在對系統(tǒng)進行n-2階Backstepping后，得到虛擬控制量βn-2。通過同胚變換Z(k)，余下2階非線性系統(tǒng)可化為線性時變系統(tǒng)。對此可以采用黃金分割自適應方法進行控制。2.3基于自適應控制器的優(yōu)化設計定理2：系統(tǒng)(1)在反步遞推黃金分割自適應控制器(5)、(18)及參數(shù)自適應律(10)、(19)作用下，其狀態(tài)是有界穩(wěn)定的。證明：整個閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為：其中ym為系統(tǒng)期望輸出，它是有界的。由定理1可知，Z(k)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于前n-2階系統(tǒng)，由(9)式可知，存在滿足由于未知參數(shù)估計的投影算法是有界的，因此，若z1有界，則zi有界?，F(xiàn)在證明z1的有界性。用反證法，假設z1是無界的。由于α1滿足Lipschitz條件，且有：則存在k0和κ2>0使得k>k0時，有：同理有：由定理1可知，Z(k)有界。根據(jù)投影算法的性質有：將文獻中基本引理（KeyTechnicalLemma）用于上式，并利用(6)及α的Lipschitz條件，由于Z(k)、ym的有界性，可知zn-2是有界的。同樣，對于若zi+1有界可推出zi有界。進而可知z1的有界性。這與假設相矛盾，可知假設不成立，z1有界。證畢.根據(jù)投影算法有如下特性可知：又根據(jù)χi的定義，并利用α(k)的無零漂特性和Lipschitz條件可以得到：因此可得到:當特別地，當Z(k)→0時，有y(∞)→ym(∞)。所以，黃金分割自適應控制設計可認為是鎮(zhèn)定Z(k)的過程。根據(jù)誤差項(20)，可推出系統(tǒng)跟蹤誤差：其中，λmin為系統(tǒng)未知參數(shù)的最小值。反步遞推黃金分割自適應控制器，雖然犧牲了部分穩(wěn)態(tài)指標，但卻提高了系統(tǒng)整體的魯棒性能。形如(1)的標稱嚴反饋系統(tǒng)在實際中是不存在的。實際系統(tǒng)總存在未建模動態(tài)或輸入擾動。(15)式中的誤差項可認為是上述過程的近似，代表了廣泛的一類非線性不確定因素。一般自適應控制器，在過渡階段，參數(shù)估計值與真值相差較大，控制器很難啟動。在參數(shù)估計不等于真值的情況下，黃金分割自適應控制律仍可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，本文提出的反步遞推黃金分割算法與標準反步遞推的設計方法相比的計算量有所降低。其原因是反步遞推的最后兩步被黃金分割自適應過程所取代。由前述標準反步遞推過程可知，控制器的計算量主要集中在對(6)式的計算上，并且階數(shù)愈高，計算愈復雜。而黃金分割自適應算法相對簡單得多。由2.1節(jié)參數(shù)逼近過程可知，Backstepping算法中自適應過程存在過參數(shù)(overparameterization)問題。對于連續(xù)系統(tǒng)，過參數(shù)問題較容易解決，可直接利用Lyapunov穩(wěn)定性方法設計調節(jié)函數(shù)。但是由于采樣周期的存在，基于Lyapunov穩(wěn)定性原理的自適應設計方法很難應用于離散系統(tǒng)。很多學者就此展開討論。Yeh和Kokotovic(1995)僅對第一步Backstepping過程進行參數(shù)估計，而沒有考慮高階過程對參數(shù)的影響。YingZang,ChangyunWen(2001)等人將估計參數(shù)放到Backstepping的最后一步進行，利用虛擬控制量及實際控制量在每一步迭代所引起的誤差之和作為新息構造參數(shù)估計器。但是在非線性系統(tǒng)中將誤差簡單作和，累積到最后一步的處理方法也是不精確的。上述兩種處理方法均是以犧牲控制精度為代價，來減少計算量的。過參數(shù)估計也有其可取之處，即可以通過對各子系統(tǒng)模型參數(shù)的調整補償子系統(tǒng)中未建模動態(tài)和未知擾動對系統(tǒng)的影響。過參數(shù)冗余計算的結果，提高了系統(tǒng)的控制精度，增強了整個系統(tǒng)的魯棒性能。3反步遞推黃金分割自適應控制算法的實驗結果考慮如下參數(shù)未知嚴反饋離散時間非線性系統(tǒng)：其中，θ1=0.5,θ2=0.8.控制目標是使系統(tǒng)輸出到達原點。系統(tǒng)狀態(tài)的初值為:x(0)=[0.1,0.1,0.1,0.1]T；未知參數(shù)最初估計值設為θ?(0)=T。應用反步遞推黃金分割自適應控制律(5)、(18)及參數(shù)自適應律(10)、(19)，即可實現(xiàn)對上式的控制。其中相關參數(shù)取值如下：需要說明的是μi、c2。它們的作用如下：首先，在參數(shù)估計的指標泛函中，它們是關于參數(shù)估計變化量的懲罰因子，通過適當選取，可以限制以動態(tài)線性系統(tǒng)代替非線性系統(tǒng)的范圍；其次，由于它們的取值大于0，因此參數(shù)估計迭代算法中新息項的分母始終不為0，從而克服了算法的奇異現(xiàn)象；另外，它們的存在也使得算法對個別反常數(shù)據(jù)具有魯棒性。仿真結果圖2、3所示。圖2表示系統(tǒng)(23)采用反步遞推黃金分割自適應控制方法所得到得結果。圖3表示在同樣條件下采用標準Backstepping方法時系統(tǒng)的輸出及控制量。比較可知，標準Back-stepping方法的控制器在過渡階段，系統(tǒng)輸出抖動劇烈，同時所需的控制量較大，且變化很快。執(zhí)行器很難適應控制律的這種變化。相比之下，圖2的控制量與輸出震蕩小得多。反步遞推黃金分割自適應控制律延長了系統(tǒng)的過渡過程，但是閉環(huán)系統(tǒng)在參數(shù)估計不等于真值時，仍可以保持閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，引入黃金分割自適應控制算法后計算量明顯減小。采用Matlab軟件仿真上述控制過程發(fā)現(xiàn)，k=60時，反步遞推黃金分割自適應控制算法計算用時0.080秒，而標準反步遞推算法進行控制仿真用時0.231秒，可見前者的算法優(yōu)勢明顯。4反步遞推黃