隨機變量的函數(shù)在討論正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系時，已知有結(jié)“設(shè)隨機變量則隨機變量”.這里，是隨機變量的函數(shù)，對的每一個取值，有唯一確定的取值與之對應(yīng).由于是隨機變量，其取值事先不確定，因而的取值也隨之不確定，即也是隨機變量.論：一般地，如果存在一個函數(shù)使得隨機變量滿足：則稱隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù).注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時，主要隨機變量的函數(shù)注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時，主要隨機變量的函數(shù)注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時，主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征，例如：導(dǎo)數(shù)、積分等.在概率論中，我們主要研究的是隨機變量函數(shù)的隨機特征，即由自變量的統(tǒng)計規(guī)律性出發(fā)研究因變量而的統(tǒng)計性規(guī)律.一般地，對任意區(qū)間令則因此，隨機變量與的函數(shù)關(guān)系的確定，為我們從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.隨機變量的函數(shù)因此，隨機變量與的函數(shù)關(guān)系的確定，為我們從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.隨機變量的函數(shù)因此，隨機變量與的函數(shù)關(guān)系的確定，為我們從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.例如，設(shè)是一隨機變量，則對且任意有完離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機變量的概率分布為易見，的函數(shù)顯然還是離散型隨機變量.如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布？一般方法：先根據(jù)自變量的可能取值能取值，的所有可確定因變量然后對的每一個可能取值確定相應(yīng)的于是，離散型隨機變量函數(shù)的分布確定相應(yīng)的于是，離散型隨機變量函數(shù)的分布確定相應(yīng)的于是，從而求得的概率分布.上述過程表明：的概率分布完全由的概率分布所確定.完例1設(shè)隨機變量具有以下的分布律,試求的分布律.解所有可能的取值0,1,4,由即得的分布律為完連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布一般地，連續(xù)型隨機變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機變量，但我們主要討論連續(xù)型隨機變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機變量的情形，此時我們不僅希望求出隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)，而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)則隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得：連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布可按如下方法求得：連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布可按如下方法求得：其中，而常常可由的分布函數(shù)來表達(dá)進(jìn)而可通過的分布函數(shù)求出的密度函數(shù).完的積分來表達(dá)：或用其概率密度函數(shù)例2設(shè)隨機變量求的概率密度函數(shù).解和概率密度函數(shù),設(shè)分別為隨機變量的分布函數(shù)則當(dāng)時,有當(dāng)時,因為是的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),所以有因而例2設(shè)隨機變量求的概率密度函數(shù).解再由得通常稱上式中的服從對數(shù)正態(tài)分布,它也是一種常用壽命分布.完例3設(shè)求的概率密度.解設(shè)的分布函數(shù)為則于是的密度函數(shù)例3設(shè)求的概率密度.解例3設(shè)求的概率密度.解注意到時,即時,且故完例4設(shè)求的密度函數(shù).解記的分布函數(shù)為則顯然,當(dāng)時,當(dāng)時,從而的分布函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解從而的分布函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解從而的分布函數(shù)為于是其密度函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解于是其密度函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解于是其密度函數(shù)為注:以上述函數(shù)為密度函數(shù)的隨機變量分布,它是一類更廣泛的分布在時的特例.關(guān)于分布的細(xì)節(jié)將在第五章中給出.稱為服從完例5已知隨機變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從[0,1]上的均勻分布.證明設(shè)的分布函數(shù)是由于于是對對于的分布函數(shù)是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù),函數(shù)存在且嚴(yán)格遞增.對又由其反例5已知隨機變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從[0,1]上的均勻分布.證明對例5已知隨機變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從[0,1]上的均勻分布.證明對即的分布函數(shù)是求導(dǎo)得的密度函數(shù)可見,服從[0,1]上的均勻分布.證畢.例5已知隨機變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從[0,1]上的均勻分布.證明對即的分布函數(shù)是可見,服從[0,1]上的均勻分布.證畢.例5已知隨機變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從[0,1]上的均勻分布.證明對即的分布函數(shù)是可見,服從[0,1]上的均勻分布.證畢.注：本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應(yīng)用.完定理設(shè)隨機變量具有概率密度又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有則是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為其它其中是的反函數(shù)，且證明注：從前面例題可見，在求關(guān)鍵是證明注：從前面例題可見，在求關(guān)鍵是證明注：從前面例題可見，在求關(guān)鍵是設(shè)法從中解出從而得到與等價的的不等式.而利用本定理,直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度.在滿足條件時可完證只證情況.此時在單調(diào)增加，它的反函數(shù)存在，單調(diào)增加，可導(dǎo)，分別記的分布函數(shù)為現(xiàn)在先來求的分布函數(shù)因為在取值，故當(dāng)時當(dāng)時，嚴(yán)格且在嚴(yán)格當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，將關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，即得的概率密度其它(1)對于的情況可以同樣地證明，此時有其它(2)合并(1)與(2)兩式，定理的結(jié)論得證.合并(1)與(2)兩式，定理的結(jié)論得證.合并(1)與(2)兩式，定理的結(jié)論得證.若在有限區(qū)間以外等于零，則只需假設(shè)在上恒有(或恒有此時，完例6設(shè)隨機變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.的概率密度為由解得且有從而的概率密度為例6設(shè)隨機變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.例6設(shè)隨機變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.即即有例6設(shè)隨機變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.即即有例6設(shè)隨機變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.即即有特別地,若在本例中取則得這就是上節(jié)中一個已知定理的結(jié)果.完例7設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解根據(jù)已知結(jié)果,的分布函數(shù)的分布函數(shù)例7設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解例7設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解當(dāng)時,當(dāng)時,代入的分布函數(shù)中可得例7設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解代入的分布函數(shù)中可得例7設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解代入的分布函數(shù)中可得注:在本例中,雖然是連續(xù)型隨機變量,是連續(xù)型隨機變量,也不是離散型隨機變量,分布函數(shù)在處間斷.但不的完例8設(shè)隨機變量在(0,1)上服從均勻分布,求的概率密度.解在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)故于是在區(qū)間上單調(diào)下降,有反函數(shù)從而例8設(shè)隨機變量在(0,1)上服從均勻分布,求的概率密度.解例8設(shè)隨機變量在(0,1)上服從均勻分布,求的概率密度.解已知在(0,1)上服從均勻分布,代入的表達(dá)式中,得例8設(shè)隨機變量在(0,1)上服從均勻分布,求的概率密度.解已知在(0,1)上服從均勻分布,代入的表達(dá)式中,得例8設(shè)隨機變量在(0,1)上服從均勻分布,求的概率密度.解已知在(0,1)上服從均勻分布,代入的表達(dá)式中,得即服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.完課堂練習(xí)1.設(shè)的分布律為3/103/101/101/101/55/2210-1試求:(1)的分布律;(2)的分布律.2.設(shè)隨機變量的概率密度為其他,求的概率密度.完課堂練習(xí)1.設(shè)的分布律為3/103/101/101/101/55/2210-1試求:(1)的分布律;(2)的分布律.解先根據(jù)的分布律,列出下表:5420-225/441015/2210-13/103/101/101/101/5課堂練習(xí)解先根據(jù)的分布律,列出下表:5420-225/4410