圖形變換矢量運(yùn)算矢量和

圖形變換17十月20232數(shù)學(xué)基礎(chǔ)UVU＋V矢量的數(shù)乘

矢量的點(diǎn)積性質(zhì)圖形變換17十月20233矢量的長(zhǎng)度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積圖形變換17十月20234齊次坐標(biāo)定義：n+1維向量表達(dá)n維向量(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線圖形變換17十月20235優(yōu)越性提供了用矩陣運(yùn)算進(jìn)行圖形變換的有效方法；表達(dá)的一致性，便于硬件運(yùn)算；簡(jiǎn)化了復(fù)合圖形變換的形式，提高了效率；可以表達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。圖形變換17十月20236圖形變換17十月20237窗口視圖變換用戶域和窗口區(qū)用戶域：定義整個(gè)草圖的自然空間（WD）實(shí)數(shù)域，空間連續(xù)無(wú)限窗口區(qū)：用戶域中的一個(gè)子窗口屏幕域和視圖區(qū)屏幕域：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域是一個(gè)有限的整數(shù)域視圖區(qū)：小于或等于屏幕域的區(qū)域一般為矩形可以同時(shí)定義多個(gè)圖形變換17十月20238xvmax-xvminxwmax-xwminyvmax-yvminywmax-ywmin其中:SX=SY=window(xwmin,ywmin)(xwmax,ywmax)view(xvmin,yvmin)(xvmax,yvmax)XV=SX*XW+BXYV=SY*YW+BYBx

=SX*(xvmin-xwmin)BY

=SY*(yvmin-ywmin)圖形變換17十月20239窗口到視圖的變換示例二維圖形顯示的一般流程三維圖形顯示流程圖圖形變換17十月202310用戶坐標(biāo)系下的圖形數(shù)據(jù)變換到觀察坐標(biāo)系對(duì)觀察空間裁剪投影到二維NDC變換到DC顯示輸出二維圖形的幾何變換圖形變換17十月202311變換矩陣為：縮放，旋轉(zhuǎn)，對(duì)稱，錯(cuò)切投影平移平移變換圖形變換17十月202312P(x,y)P

(x

,y

)Ytxty比例變換圖形變換17十月202313Sx=Sy，等比例變換;0<Sx(Sy)<1，縮?。籗x(Sy)>1，放大。圖形變換17十月202314YX對(duì)稱變換圖形變換17十月202315圖形變換17十月202316ABCC’A’B’YX關(guān)于Y軸對(duì)稱b=d=0,a=-1,e=1圖形變換17十月202317關(guān)于Y軸對(duì)稱圖形變換17十月202318ABCA’B’C’YX關(guān)于X軸對(duì)稱b=d=0,a=1,e=-1圖形變換17十月202319關(guān)于X軸對(duì)稱圖形變換17十月202320ABCA’B’C’YX關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱b=d=0,a=-1,e=-1圖形變換17十月202321關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖形變換17十月202322ABCC’B’A’YX關(guān)于直線y=x對(duì)稱b=d=1,a=e=0圖形變換17十月202323關(guān)于直線y=x對(duì)稱圖形變換17十月202324ABCB’A’C’YX關(guān)于直線y=-x對(duì)稱b=d=-1,a=e=0圖形變換17十月202325關(guān)于直線y=-x對(duì)稱旋轉(zhuǎn)變換圖形變換17十月202326繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形變換17十月202327繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（用－θ代替逆時(shí)針中的θ

）圖形變換17十月202328YX圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)等效于坐標(biāo)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)錯(cuò)切變換圖形變換17十月202329x

AA’yy方向的錯(cuò)切圖形變換17十月202330y方向的錯(cuò)切圖形變換17十月202331

A’xyAx方向的錯(cuò)切圖形變換17十月202332x方向的錯(cuò)切復(fù)合變換復(fù)合平移復(fù)合比例復(fù)合旋轉(zhuǎn)相對(duì)任意點(diǎn)的比例相對(duì)任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)復(fù)雜任意變換圖形變換17十月202333圖形變換17十月202334

(dx1,dy1)(dx3,dy3)(dx2,dy2)dx3=dx1+dx2dy3=dy1+dy2復(fù)合平移圖形變換17十月202335復(fù)合比例124sx=sx1.sx2sy=sy1.sy2圖形變換17十月202336復(fù)合旋轉(zhuǎn)a1a2參考點(diǎn)（Rx,Ry）平移物體使參考點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)縮放將物體移回原始參考點(diǎn)位置圖形變換17十月202337相對(duì)任意點(diǎn)的比例圖形變換17十月202338圖形變換17十月202339..相對(duì)任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)參考點(diǎn)（Rx,Ry）平移物體使參考點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)將物體移回原始參考點(diǎn)位置....圖形變換17十月202340復(fù)雜任意變換若干次簡(jiǎn)單變換合成一次復(fù)雜變換一次復(fù)雜變換往往可以分解成若干次簡(jiǎn)單變換的有序組合圖形變換17十月202341通用復(fù)合變換和計(jì)算效率以二維幾何變換為例：P’=PM1M2M3

每點(diǎn)27次乘法,18次加法利用矩陣乘法的結(jié)合律： P’=P(M1M2M3)，令M=M1M2M3（54次乘法,36次加法，但只需要運(yùn)算一次）； 但P’=PM運(yùn)算每點(diǎn)只要9次乘法,6次加法，在需要變換的點(diǎn)比較多時(shí)，能有效的提高效率。圖形變換17十月202342仿射變換形式為：

x′=ax+by+c

y′=dx+ey+f

的坐標(biāo)變換稱為二維仿射變換。特點(diǎn)：平行線轉(zhuǎn)換成平行線,有限點(diǎn)轉(zhuǎn)換成有限點(diǎn)；平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、對(duì)稱和錯(cuò)切是二維仿射變換的特例；任何常用的二維仿射變換總可以表示為這五種變換的組合。圖形變換17十月202343